এরকম ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্ব থাকতে পারে?

আমার কাজের সময় আমি নিম্নলিখিত সমস্যাটি নিয়ে এসেছি:

আমি নীচের বৈশিষ্ট্য সহ যে কোনও জন্য একটি -ম্যাট্রিক্স , অনুসন্ধান করার চেষ্টা করছি : $n \times n$ $(0,1)$ $M$ $n > 3$

এর নির্ধারক $M$ ।
কোন খালি নয় এমন সাব-সেট নির্বাচন জন্য $I,J\subseteq\{1,2,3\}$ সঙ্গে $|I| = |J|$ , $M^I_J$ এর বিজোড় নির্ধারক আছে যদি এবং কেবলমাত্র $I=J$ ।

এখানে $M^I_J$ এর submatrix উল্লেখ করে $M$ এ সূচকের সঙ্গে সারি সরানোর দ্বারা নির্মিত $I$ এবং সূচকের সঙ্গে কলাম $J$ ।

এখনও অবধি, আমি এলোমেলো স্যাম্পলিংয়ের মাধ্যমে এই জাতীয় ম্যাট্রিক্স সন্ধান করার চেষ্টা করেছি তবে আমি কেবলমাত্র একটি ম্যাট্রিক্স খুঁজে পেতে সক্ষম হলাম যার প্রথম বৈশিষ্ট্য বাদে সমস্ত বৈশিষ্ট্য রয়েছে , অর্থাৎ ম্যাট্রিক্সে সর্বদা একটি বিজোড় নির্ধারক থাকে। আমি কোনও সাফল্য ছাড়াই বিভিন্ন মাত্রা এবং বিভিন্ন ইনপুট / আউটপুট সেট চেষ্টা করেছি। সুতরাং এটি আমাকে ভাবতে বাধ্য করে:

প্রয়োজনীয়তার মধ্যে কি কোনও নির্ভরতা রয়েছে, যা তাদের একই সাথে সত্য হতে বাধা দেয়?

অথবা

এমন ম্যাট্রিক্সের উপস্থিতি কি কেউ আমাকে উদাহরণ দিতে পারে?

ধন্যবাদ, Etsch

— Etsch
সূত্র

আপনি কি এলোমেলো উপগ্রহ বা কোনও উপসেট বলতে চান?

— সুরেশ ভেঙ্কট

দেখে মনে হচ্ছে এবং each একে অপরের সাথে দ্বন্দ্ব , কারণ ওখানেই থেমে কিছুই এক র্যান্ডম উপসেট হচ্ছে অন্য র্যান্ডম উপসেট হবে। অথবা আপনি কি চান যে এটি একক জুটি , ?

det (M_{o_{1}}^{i_{1}}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{i_1}_{o_1}) \equiv 1 \pmod{2}$

det (M_{o_{2}}^{i_{1}}) \equiv 0 (\mod 2)

$\det(M^{i_1}_{o_2}) \equiv 0 \pmod{2}$

o_{1}

$o_1$

o_{2}

$o_2$

{o_{1}, o_{2}, o_{3}}

$\{o_1,o_2,o_3\}$

{i_{1}, i_{2}, i_{3}}

$\{i_1,i_2,i_3\}$

— পিটার শোর

হ্যাঁ, এবং স্থির হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, for এর জন্য একটি , , এবং , , এবং তারপরে প্রশ্নটি রয়েছে: (7x7) ম্যাট্রিক্স মতো , , সংজ্ঞায়িত 20 টি বৈশিষ্ট্য অনুসারে এবং এর মতো।

I = {i_{1}, i_{2}, i_{3}}

$\mathcal{I} = \{i_1,i_2,i_3\}$

O = {o_{1}, o_{2}, o_{3}}

$\mathcal{O} = \{o_1,o_2,o_3\}$

n = 7

$n=7$

i_{1} = 1

$i_1 = 1$

i_{2} = 2

$i_2 = 2$

i_{3} = 5

$i_3 = 5$

o_{1} = 2

$o_1 = 2$

o_{2} = 3

$o_2 = 3$

o_{3} = 4

$o_3 = 4$

M

$M$

det (M) \equiv 0 (\mod 2)

$\det(M) \equiv 0\pmod{2}$

det (M_{2, 3, 4}^{1, 2, 5}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{1,2,5}_{2,3,4}) \equiv 1 \pmod{2}$

det (M_{2, 3}^{1, 2}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{1,2}_{2,3}) \equiv 1\pmod{2}$

— এটস

প্রশ্নটি সহজ করার জন্য এবং পড়তে সহজ করে তুলতে আপনি কেবল , , , , , করতে পারবেন না?

i_{1} = 1

$i_1 = 1$

i_{2} = 2

$i_2 = 2$

i_{3} = 3

$i_3 = 3$

o_{1} = 1

$o_1 = 1$

o_{2} = 2

$o_2 = 2$

o_{3} = 3

$o_3 = 3$

— Jukka Suomela

স্বচ্ছতার জন্য সম্পাদিত।

— জেফি

এ জাতীয় কোনও ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান নেই।

Desnanot-Jacobi পরিচয় বলছেন যে জন্য , তাই ব্যবহার এটি, আমরা তবে আপনার প্রয়োজনীয়তাগুলি বাম হাতের দিকটি 0 (Mod 2) এবং ডানদিকের দিকটি 1 (Mod 2) হতে বাধ্য করে, তারা বেমানান দেখায়। $i \neq j$

det M_{i j}^{i j} det M = det M_{i}^{i} det M_{j}^{j} - det M_{i}^{j} det M_{j}^{i}

$\det M_{ij}^{ij} \det M = \det M_i^i \det M_j^j -\det M_i^j \det M_j^i$

det M_{12}^{12} det M = det M_{1}^{1} det M_{2}^{2} - det M_{1}^{2} det M_{2}^{1}

$\det M_{12}^{12} \det M = \det M_{1}^{1} \det M_{2}^{2} - \det M_{1}^{2} \det M_{2}^{1}$

— পিটার শোর
সূত্র

নিস! তবে, এখন আমি বিভ্রান্ত হয়ে পড়েছি কারণ প্রশ্নকর্তা বলেছিলেন যে একা প্রশ্নের দ্বিতীয় বুলেটটি সন্তুষ্ট হতে পারে, যা সত্যই আপনি যে উদ্ধৃতিটি উদ্ধৃত করেছেন তার বিপরীতে।

— Tsuyoshi Ito

@ শুয়োশি: দ্বিতীয় গুলি কীভাবে পরিচয়ের বিরোধিতা করে? পরিচয় ম্যাট্রিক্স দ্বিতীয় বুলেটটি সন্তুষ্ট এবং দেশানোট-জ্যাকবাকি পরিচয়টি সন্তুষ্ট করে তা পরীক্ষা করা সহজ । (আপনি যদি , যা পরিচয় শর্তটিকে লঙ্ঘন করে যা আমি স্রেফ আমার উত্তরে যুক্ত করেছি।)

I

$I$

I

$I$

i = j

$i = j$

— পিটার শর

দুঃখিত, আমার পূর্ববর্তী মন্তব্যটি বোগাস ছিল এবং মনে হয়েছে যে আমি ভেবেছিলাম তার চেয়ে বেশি বিভ্রান্ত। কেন আপনার প্রশ্নের দ্বিতীয় সমীকরণের বাম-বামদিকে প্রশ্নটির প্রয়োজনীয়তা 0 মড 2 হতে বাধ্য করে?

— Tsuyoshi Ito

এখন দেখছি তুমি কী বোঝাতে চেয়েছিলে আপনাকে প্রথম সারি এবং প্রথম কলামটি সরিয়ে ফেলতে হবে না।

— Tsuyoshi Ito

@Etsch: আমি ভাবছিলাম নিচে আমি লিখেছি যখন । আমি মনে করি এটি এখন সঠিক।

M

$M$

M_{1, 2, 3}^{1, 2, 3}

$M^{1,2,3}_{1,2,3}$

— পিটার শর