সাধারণ গ্রাফগুলিতে 2 টিরও কমের সাথে সংযোগ দূরত্ব?

প্রান্ত সহ একটি ওয়েট অনিরীক্ষিত গ্রাফ দেওয়া , আমি যে কোনও উল্লম্ব জোড়ের মধ্যবর্তী স্থানে প্রায় 2 এর চেয়ে কম দূরত্ব গণনা করতে চাই। অবশ্যই, আমি subquadratic স্পেস এবং sublinear ক্যোয়ারী সময় ব্যবহার করতে চাই। $m = o(n^2)$

আমি জুইকের ফলাফল সম্পর্কে অবহিত যা ম্যাট্রিক্সের গুণকে ব্যবহার করে তবে আমি আগ্রহী যদি কোনও সংশ্লেষী অ্যালগরিদম এই সমস্যার জন্য পরিচিত হয়?

ds.algorithms graph-algorithms

— সিদ্ধার্থ
সূত্র

হাই @ সিদ্ধার্থ, আমি দুঃখিত যদি এটি একটি বোবা প্রশ্ন: জুইকের ফলাফল মনে হয় চতুর্ভুজ স্থান ব্যবহার করেছে, এটি কি সঠিক?

— হিসিয়েন-চিহ চাং 之之

এছাড়াও, যোগমূলক ত্রুটি অনুমোদিত?

— হিশিয়ান-চিহ চাং 之之

@ হিসিয়েন-চিহচ্যাং 張顯之 - আমি কেবলমাত্র গুণিক আনুমানিকতার ফলাফলগুলিতে আগ্রহী ছিলাম। আমি অনুমান করি যে অ্যাডিটিভ আনুমানিকতার ক্ষেত্রে এটি নিজস্বভাবে আকর্ষণীয় হতে পারে - ঘন গ্রাফগুলির জন্য সহজ, আমার ধারণা। একটি স্প্যানার ব্যবহার করতে পারে এবং ঘন পর্যাপ্ত গ্রাফের জন্য অ্যাডিটিভ আনুমানিকতা পেতে পারে। বিরল গ্রাফগুলির জন্য, যতদূর আমি জানি, স্প্যানাররা সাহায্য করবে না।

— সিদ্ধার্থ

নিম্নলিখিত যুক্তি কাজ করে না?

উল্লম্ব এবং

প্রান্ত সহ যে কোনও গ্রাফ

বিবেচনা করুন । প্রান্তের সমস্ত ওজন

হতে বিবেচনা করুন । যে কোনও দূরত্বের ওরাকল যা

চেয়ে আরও দৃ strictly়তরূপে সান্নিধ্য করতে পারে, তা গ্রাফের মধ্যে রয়েছে কিনা তা প্রতিটি সম্ভাব্য প্রান্তের জন্য সিদ্ধান্ত নিতে ব্যবহার করা যেতে পারে। তবে এটি অবশ্যই বোঝায় যে এই জাতীয় দূরত্বের ওরাকল অবশ্যই

বিট ব্যবহার করবে। কোন? (যুক্তি একটি বিট handwavy কিন্তু সঠিক হওয়া উচিত।) (আনুষ্ঠানিকভাবে, বিট সংখ্যা , যেখানে । এই ।

G

$G$

n

$n$

m

$m$

1

$1$

2

$2$

Ω (m)

$\Omega(m)$

\log_{2} (\binom{N}{m})

$\log_2 \binom{N}{m}$

N = (\binom{n}{2})

$N=\binom{n}{2}$

\geq m \log_{2} (N / m)

$\geq m \log_2 (N/m)$

— Sariel হর-Peled

ধন্যবাদ সারিল - একটি নীচের দিকে আবদ্ধ করা সম্ভব হতে পারে তবে আমি এটির সাথে ভাল আছি। আমি যা চাই তা হ'ল সাবক্যাড্র্যাটিক স্পেস এবং সাবলাইনার ক্যোয়ারির সময়। প্রান্তযুক্ত গ্রাফগুলির জন্য , নীচে আবদ্ধ সমস্যার জন্য কিছু বলে না - এটি কি ঠিক?

Ω (m)

$\Omega(m)$

m = o (n^{2})

$m = o(n^2)$

Ω (m)

$\Omega(m)$

— সিদ্ধার্থ

উত্তর:

যতদূর আমি জানি, উপমূখীয় স্থান এবং সাবলাইনার ক্যোয়ারির সময়গুলিতে 2 এর কমের কাছাকাছি গণনার দূরত্বের কোনও প্রকাশিত ফলাফল নেই। আনুমানিক দূরত্বগুলি দ্রুত পুনরুদ্ধার করার জন্য, আপনি বসওয়ানা এবং কবিতা দ্বারা "দ্রুততর অ্যালগরিদমগুলির জন্য সমস্ত-জুড়ির আনুমানিক সংক্ষিপ্ততম পাথগুলিতে" ফলাফল এবং রেফারেন্সগুলি দেখতে চাইতে পারেন (তাদের এফওএসএস পেপারের জার্নাল সংস্করণটি সম্পর্কিত কাজের একটি ভাল পর্যালোচনা আছে); এগুলির কোনওটিই subquadratic স্থান অর্জন করে না।

সংক্ষিপ্তভাবে আনুমানিক দূরত্ব পুনরুদ্ধার করার জন্য, আপনি উপরোক্ত দুটি গবেষণাপত্রে ফলাফল এবং রেফারেন্সগুলি দেখতে চাইতে পারেন। [গ্যাবারের উত্তরের সাথে যুক্ত হিসাবে, একটি সতর্কতার শব্দ: উপরের কাগজপত্রগুলিতে স্পার্সিটির ধারণা সম্পর্কে সতর্ক থাকুন - আনুমানিক , যদি আপনি হন তবে একটি গ্রাফ অপ্রয়োজনীয় বলে মনে হচ্ছে সম্ভবত ইতিমধ্যে জানেন]। $2$ $m = o(n^2)$

হিসাবে Sariel উপরে মন্তব্য অন্যতম মধ্যে নির্দিষ্ট একটি প্রাকৃতিক কম্পিউটিং পড়তা এর দূরত্বের চেয়ে কম জন্য স্থান উপর আবদ্ধ কম হয় , যে, গ্রাফ আকারে রৈখিক। যদি ক্যোয়ারির সময়টি সীমাবদ্ধ না হয়, তবে এই নিম্ন সীমাটি উন্নত করা যাবে না (তুচ্ছভাবে, কেউ কেবল গ্রাফ সংরক্ষণ করে স্বল্পতম পথ অ্যালগরিদম ব্যবহার করতে পারেন)। ক্রমাগত ক্যোয়ারী সময়ের জন্য, আমি দুটি নিম্ন সীমাটি জানি। প্রথমত, প্যাট্রাস্কু এবং রডডিটির কিছুটা শর্তসাপেক্ষ নিম্ন সীমানা ছিল তাদের FOCS 2010 পেপারে যা প্রায় চেয়ে কমের জন্য আবেদন করে । দ্বিতীয়, সোমার এট। অল। অত্যন্ত বিরল গ্রাফের জন্য কিছু নিম্ন সীমানা ছিল। আমি অন্য কোনও (অ-তুচ্ছ) নিম্ন সীমা সম্পর্কে অবগত নই। $2$ $\Omega(m)$ $2$

উপরের সীমাগুলির ক্ষেত্রে, উপরের কাগজপত্রগুলির ফলাফলগুলি কমের কাছাকাছি হওয়ার পক্ষে সাধারণ বলে মনে হয় না । আমরা সম্প্রতি এই সমস্যাটিতে কিছু অগ্রগতি করেছি। কাগজটি শীঘ্রই আরক্সিবের উপর থাকা উচিত, তবে আপনি যদি চান তবে আমাকে একটি ইমেল প্রেরণ করুন এবং আমি কাগজটি ভাগ করে খুশি হব। $2$

আশাকরি এটা সাহায্য করবে.

। রছিত আগরওয়াল

— Rachit
সূত্র

আপনি রচিত আগরওয়ালের ২০১১ ইনফোকমের কাগজে আগ্রহী হতে পারেন:

রছিত আগরওয়াল, পি। ব্রাইটেন গডফ্রে, স্যারিল হার-পিলড আনুমানিক দূরত্বের প্রশ্নাবলী এবং স্পার্স গ্রাফগুলিতে কমপ্যাক্ট রাউটিং, আইইইই ইনফোকাম ২০১১

বিমূর্ত থেকে:

[একটি হিসাবে] গড় ডিগ্রি সহ গ্রাফ , আমাদের ডেটা স্ট্রাকচারের বিশেষ ক্ষেত্রে স্পেস সহ প্রসারিত 2 টি পথ পুনরুদ্ধার করে [...] cost এর ব্যয়ে) ক্যোয়ারির সময়। $\Theta(\log n)$ $O(n^{3/2})$ $O(\sqrt{n})$

মনে রাখবেন যে তাদের দূরত্বের ওরাকলটি কেবল বিরল গ্রাফের জন্য, তবে লগারিদমিক ডিগ্রি সীমাবদ্ধ হবে বলে মনে হয়। যুক্ত বোনাস, অ্যালগরিদম ওজনযুক্ত গ্রাফের জন্যও কাজ করে।

— গাবর রেটওয়ারী
সূত্র

আপনিও একবার দেখে নিতে পারেন

প্যাটারাকু, রোডিটি, থারআপের বাইরে দূরত্বের ওરેકলস - জুইক বাউন্ড , FOCS 2010

তাদের প্রসারিত ২ সহ আকারের এর দূরত্বের ওরাকল রয়েছে এটি ধ্রুবক সময়ে প্রশ্নগুলি সমর্থন করে। $O(n^{5/3})$

— zotachidil
সূত্র

ধন্যবাদ! অগ্রওয়াল এবং মিহাইয়ের কাগজটি "2" এর চেয়ে কম "প্রায় অনুমান সম্পর্কে কিছু বলে মনে হচ্ছে না, যদি না আমি কিছু মিস করি।"

— সিদ্ধার্থ

এটি নয়, তবে এটি আপনাকে প্রসারিত উন্নতির জন্য কীভাবে বাণিজ্য বন্ধ করতে হবে সে সম্পর্কে ধারণা দিতে পারে।

— zotachidil