সমাধানে সমীকরণ মডিউল সিস্টেমের হয়

আমি লিনিয়ার সমীকরণ মডুলো কে সমাধান করার জটিলতায় আগ্রহী , নির্বিচারে কে (এবং প্রধান শক্তিগুলির মধ্যে বিশেষ আগ্রহের সাথে), বিশেষত:

সমস্যা। অজানা মডুলো লিনিয়ার সমীকরণের প্রদত্ত সিস্টেমের জন্য , কোনও সমাধান রয়েছে কি? $m$ $n$ $k$

তাদের কাগজ বিমূর্ত সালে গঠন ও logspace-MOD এর ক্লাস গুরুত্ব শ্রেণীর উপর মডুলাস _ট এল , Buntrock, Damm, Hertrampf এবং Meinel দাবী করেছে যে তারা " তাদের তাত্পর্য প্রতিপাদন দ্বারা প্রকট যে সসীম রিং উপর রৈখিক বীজগণিত সব মান সমস্যার এই ক্লাসগুলির জন্য সম্পূর্ণ $\mathbb Z/k\mathbb Z$ । কাছাকাছি পরিদর্শন করার সময়, গল্পটি আরও জটিল। উদাহরণস্বরূপ, বন্ট্রক এট আল। দেখান ( কাভাহের সন্ধান করা পূর্বের এবং অবাধে অ্যাক্সেসযোগ্য খসড়াটিতে একটি প্রুফ স্কেচ দ্বারা, ধন্যবাদ!) যে লিনিয়ার সমীকরণগুলির সিস্টেমগুলি সমাধান করার পরিবর্তে পরিপূরক শ্রেণীর কোমড _কেএল এর মধ্যে রয়েছে ,কে প্রাইম এই শ্রেণীর সমান হতে জানা যায় না মডুলাস _টএল জন্য ট কি আমি সম্পর্কে উদ্বিগ্ন যে তারা কোনো মন্তব্য না সম্পর্কে সমাধানে রৈখিক সমীকরণ সিস্টেম কিনা গেলিক ভাষার হয় - যৌগিক, কিন্তু কখনও মনে রাখবেন যে ট এমনকি অন্তর্ভুক্ত মধ্যে coMod _টএল জন্য ট যৌগিক!

প্রশ্ন: সমাধানে রৈখিক সমীকরণ মডিউল ট সিস্টেমের মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা হয় coMod _ট এল সব ইতিবাচক ট জন্য?

আপনি সিস্টেম সমাধান করতে পারেন এর সমীকরণ একটি উচ্চ ক্ষমতা modulo কুই একটি মৌলিক এর পি , আপনি সমাধান করতে পারে তাদের modulo পি পাশাপাশি; সুতরাং সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার পদ্ধতি মডুলো q হয় কোমড _পি এল- হার্ড। আপনি যদি দেখান যে এই সমস্যাটি Mod _q L এ রয়েছে , আপনি সমস্ত কে- তে Mod _k L = coMod _k L দেখিয়ে শেষ করবেন । এটি প্রমাণ করা কঠিন হতে পারে। কিন্তু এটা হয় coMod _ট এল ?

— নীল দে বৌদ্রাপ
সূত্র

কাগজের খসড়াটির জন্য সিটিসিয়ার্স লিঙ্ক । PS: সাথে ডিল করার আরো একটি শক্তসমর্থ উপায় ব্যবহার করছে যেখানে গৃহীত অনুস্মারক সেট । প্রুফ জটিলতায় একটি সম্পর্কিত প্রশ্নও রয়েছে, সি.এফ. " রৈখিক বীজগণিত প্রমাণ জটিলতা " Soltys এবং কুক, APAL 2004. দ্বারা

\mod_{k}

$\mod_k$

\mod_{k}^{A}

$\mod_k^A$

A \subseteq [k - 1]

$A \subseteq [k-1]$

\mod k

$\mod k$

— Kaveh

শুধু কে = 4 এবং প্যারিটি-এল সম্পর্কে কী?

— ডোমোটরপ

আমি বলতে আমি মনে করি যে আমরা সম্মতিসূচক এই প্রশ্নের উত্তর দিতে পারেন খুশি: যে, সিদ্ধান্ত নেওয়ার একটি রৈখিক সঙ্গতি সম্ভবপর মডিউল কিনা ট হয় coMod _ট এল -complete।

আমরা আসলে এই সমস্যাটিকে প্রধান ক্ষমতাগুলির বিশেষ ক্ষেত্রে হ্রাস করতে পারি। এক যে প্রদর্শিত হতে পারে:

সাধারণ ফর্ম। বর্গ coMod _ট এল langauges নিয়ে গঠিত এল ফর্মের এল = এল _{পি ₁} ∩ এল _{পি ₂} ∩ ... ∩ এল _{পি _দ} , যেখানে এল _{পি _ঞ} ∈ coMod _{পি _ঞ} এল এবং যেখানে পি _ঞ এর মৌলিক উত্পাদক উপর রেঞ্জ ট ।

বাকি উপপাদ্য দ্বারা, সমীকরণ একটি সিস্টেম কোনো সমাধান modulo প্রধানমন্ত্রী ক্ষমতা প্রতিটি বিভাজক ট একই সিস্টেম, গেলিক ভাষার একটি সমাধান বৃদ্ধি দেয় ট । সুতরাং সমাধানে রৈখিক সমীকরণ সিস্টেমের যদি ধরে মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা হয় coMod _পি_{_ঞ} এল বোঝা যায় যে সমীকরণ সমাধানে ব্যবস্থা গেলিক ভাষার ট মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা হয় coMod _টএল । $p_{\!j}^{e_j}$ $p_{\!j}^{t_j}$

ম্যাককেঞ্জি এবং কুক দ্বারা বর্ণিত সমাহারগুলি হ্রাস করার জন্য ম্যাককেঞ্জি এবং কুক দ্বারা বর্ণিত একটি স্ট্যান্ডার্ড অ্যালগরিদম রয়েছে, যার শূন্যস্থানটির জন্য স্প্যানিং সেট তৈরির একটি প্রধান শক্তি (যথা, প্রদত্ত রিংয়ের উপরে A x = y এর জন্য, [ এ | y) এর শূন্যস্থানটির জন্য একটি ভিত্তি তৈরি করুন ] এবং দেখুন solutions1 এর চূড়ান্ত সহগ সহ কোনও সমাধান উপস্থিত রয়েছে কিনা); এবং পরবর্তীকালে নালস্পেসেস মডুলো প্রাইম শক্তিগুলি নালস্পেসেস মডুলো প্রাইমস এবং ম্যাট্রিক্স গুণমানের মডুলো প্রাইম পাওয়ারগুলি তৈরিতে হ্রাস করার জন্য। উভয় পরবর্তী কাজগুলিই এমন সমস্যা যা কোমড _কে এল এর পক্ষে সম্ভবপর , যদি আপনি জড়িত ম্যাট্রিকগুলি নির্মাণ করতে পারেন।

দেখা যাচ্ছে যে ম্যাকেনজি এবং কুকের হ্রাসের সাথে জড়িত ম্যাট্রিকগুলি ম্যাট্রিক্সের গুণ দ্বারা এবং (অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ) একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর দ্বারা ভাগ করা যেতে পারে। ভাগ্যক্রমে, প্রধান শক্তিগুলির জন্য, জড়িত ম্যাট্রিকগুলির সহগগুলি কো - এমড _পি এল- মেশিনগুলির জন্য একটি ওরাকল ব্যবহার করে ওয়ার্ক- টেপটিতে গণনা করা যেতে পারে ; এবং একটি ধ্রুবক দ্বারা বিভাগ এনসি ^{1 এ} সঞ্চালিত হতে পারে , যা আবার কোমড _পি এল তে সম্ভাব্য । সুতরাং দেখা যাচ্ছে যে পুরো সমস্যাটি চূড়ান্তভাবে কোমড _কে এল-তে সক্ষম ।

সম্পূর্ণ বিবরণের জন্য, দেখুন [ আরক্সিভ: 1202.3949 ]।

— নীল দে বৌদ্রাপ
সূত্র

আমি জানতে চাই, এটা আপনার প্রশ্নের / উত্তর মধ্যে ধ্রুবক? এর আকারটি সীমাহীন নয় এমন ক্ষেত্রে আমি আগ্রহী ।

k

$k$

k

$k$

— জুয়ান বার্মেজো ভেগা

@ জুয়ান: হ্যাঁ, কোনও ধ্রুবক হওয়া সত্ত্বেও ধ্রুবক।

k

$k$

— নিল দে বৌড্রাপ