একটি সাব মডুলার ফাংশন ডিকোপোজ করা

Question

একটি submodular ফাংশন দেওয়া উপর যেখানে এবং টুকরো করা এবং হয় । এখানে এবং উপর submodular হয় এবং যথাক্রমে।$f$$\Omega=X_1\cup X_2$$X_1$$X_2$$f(S)=f_1(S\cap X_1)+f_2(S\cap X_2)$$f_1$$f_2$$X_1$$X_2$

এখানে অজানা এবং কেবলমাত্র একটি মান কোয়েরি অ্যাক্সেস দেওয়া হয়েছে। তারপরে একটি পলটাইম অ্যালগরিদম রয়েছে যা খুঁজে পায় । যদি জন্য একাধিক পছন্দ থাকে তবে সেগুলির যে ঠিক আছে।$X_1,X_2,f_1,f_2$$f$$X_1$$X_1$

কিছু চিন্তা। আমরা যদি কোনও দুটি উপাদান খুঁজে যে উভয়ই হয় বা তবে আমরা সেগুলিকে একীভূত করতে এবং পুনরাবৃত্তভাবে এগিয়ে যেতে পারি। তবে কীভাবে এই পদক্ষেপটি কার্যকর করা যায় তা পরিষ্কার নয়।$t_1,t_2$$X_1$$X_2$

Comments

আপনি কি বলতে চাইছেন? $f(S) = f_1(S \cap X_1) + f_2(S \cap X_2)$ কোথায় $f_1$ এবং $f_2$ submodular হয় $X_1$ এবং $X_2$যথাক্রমে?

— চন্দ্র চেকুরি

হ্যাঁ, আমি সত্যিই এটি বোঝাতে চাইছিলাম। টাইপোটি নির্দেশ করার জন্য ধন্যবাদ, আমি এটি সংশোধন করব।

— আশ্বিনকুমার বিভি

আমি নীচে যা বলছি তা সঠিক কিনা তা নিশ্চিত নই তবে এখানে ধারণাটি এখানে। একটি স্বেচ্ছাসেবী উপাদান নিন$e \in \Omega$। যদি$f(e) = f_{\Omega-e}(e)$ তারপর $e$ বাকি উপাদানগুলির দ্বারা প্রভাবিত হয় না যাতে আমরা চয়ন করতে পারি $X_1 = \{e\}$ এবং $X_2 = \Omega-\{e\}$। অন্যথায় যাক$X$ অন্তর্ভুক্তিমূল্য ন্যূনতম উপসেট হতে $\Omega-e$ যেমন যে $f(e) > f_X(e)$। তাহলে মনে হবে$X \cup \{e\}$ একই বিভাজনে থাকা উচিত এবং তাই আমরা সেটটিকে একটি একক উপাদানে সঙ্কুচিত করতে পারি এবং যদি এটির চেয়ে কঠোরভাবে ছোট হয় তবে পুনরাবৃত্তি করতে পারি $\Omega$অন্যথায়, আমরা সিদ্ধান্ত নিয়েছি যে কোনও পছন্দসই পার্টিশনের উপস্থিতি নেই।

— চন্দ্র চেকুরি

একটি উত্তর হিসাবে মন্তব্য করার সিদ্ধান্ত নিয়েছে।

— চন্দ্র চেকুরি

Answer 1

একটি স্বেচ্ছাসেবী উপাদান নিন $e \in \Omega$। যদি$f(e) = f_{\Omega-e}(e)$ তারপর $e$ বাকি উপাদানগুলির দ্বারা প্রভাবিত হয় না যাতে আমরা চয়ন করতে পারি $X_1 = \{e\}$ এবং $X_2 = \Omega-\{e\}$। অন্যথায় যাক$X$ অন্তর্ভুক্তিমূল্য ন্যূনতম উপসেট হতে $\Omega-e$ যেমন যে $f(e) > f_X(e)$। তারপর$X \cup \{e\}$একই বিভাগে থাকা উচিত। যদি$X \cup \{e\} = \Omega$ আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে কোনও কাঙ্ক্ষিত পার্টিশন নেই, অন্যথায় আমরা এই সেটটিকে একটি একক উপাদানে সঙ্কুচিত করি এবং পুনরাবৃত্তি করি।