নোডগুলিতে "স্থানীয়ভাবে অভিন্ন" মোট অর্ডার সহ নিয়মিত উচ্চ-গিরিফ গ্রাফ

Question

সংজ্ঞা

আসুন এবং , r এবং g কে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার ( g> 2r + 1 সহ ) হতে দিন।ঘ দ ছ ছ > 2 R + + $\epsilon > 0$$d$$r$$g$$g > 2r+1$

যাক $G = (V,E)$ একটি সহজ হও, $d$ অন্তত -regular, undirected, ঘের সঙ্গে সসীম গ্রাফ $g$ ।

যাক $\le$ উপর মোট অর্ডার হতে $V$ ।

প্রত্যেকের জন্য $v \in V$ যাক $V_v \subseteq V$ নোড যে দূরত্ব মধ্যে হয় গঠিত $r$ থেকে $v$ মধ্যে $G$ (থেকে সবচেয়ে কম পাথ $v$ কোন $u \in V_v$ সর্বাধিক হয়েছে $r$ প্রান্ত), এবং দিন $G_v$ subgraph হতে এর $G$ দ্বারা প্রবর্তিত $V_v$ । স্মরণ করুন যে আমরা ধরে নিয়েছিলাম যে $G$ এর উচ্চতর ঘের রয়েছে; অতএব $G_v$ একটি গাছ। যাক $\le_v$ এর সীমাবদ্ধতা হতে $\le$ করার $V_v$ ।

আমরা যে একটি প্রান্ত $\{u,v\} \in E$ হয় ভাল যদি $(G_u,\le_u)$ এবং $(G_v,\le_v)$ isomorphic হয়। এটি হ'ল ভি_ভিতে একটি বাইজেকশন f \ কোলন V_u \ রয়েছে যা সংলগ্নতাগুলি$f\colon V_u \to V_v$ সংরক্ষণ করে ( if $\{x,y\} \in E$ ইফফ $\{f(x),f(y)\} \in E$ ) এবং আদেশ ( x ) \ লে y$x \le y$ ইফফ $f(x) \le f(y)$ )। অন্যথায় একটি প্রান্ত খারাপ ।

আমরা যে $(G,\le)$ হয় $\epsilon$ -শুভ সেখানে অন্তত যদি $(1-\epsilon)|E|$ভাল প্রান্ত।

প্রশ্ন

চলুন । সেখানে একটা অস্তিত্ব আছে -শুভ যুগল জন্য কোনো এবং কোন এবং (সঙ্গে )?ϵ ( G , ≤ ) ϵ > 0 আর জি আর ≪ $d = 4$$\epsilon$$(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$r \ll g$

মন্তব্য:

• আমি জেনারেল এর উত্তর জানতে চাই , তবে প্রথম অ-তুচ্ছ ঘটনা।d = $d$$d = 4$

• এর আকার যতক্ষণ না এটি সীমাবদ্ধ ততক্ষণ। আমার নির্মাণের দরকার নেই ; নিছক অস্তিত্ব বা অস্তিত্বই যথেষ্ট।$G$$G$

উদাহরণ

• যদি তবে উত্তরটি "হ্যাঁ"। আমরা কেবল পর্যাপ্ত দীর্ঘ চক্র নিতে পারি এবং চক্র সহ নোডগুলি অর্ডার করতে পারি। প্রান্ত যে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম নোড যোগদান কাছাকাছি কিছু খারাপ প্রান্ত নেই কিন্তু সব অন্যান্য প্রান্ত ভাল আছেন: প্রায় সব নোড জন্য , যুগল শুধু একটি সঙ্গে পথ বৃদ্ধি একটি ইন নোড অর্ডার।v ( G v , ≤ v ) 2 $d = 2$$v$$(G_v,\le_v)$$2r+1$

• যদি তবে উত্তরটি "হ্যাঁ"। কেবলমাত্র একটি নিয়মিত উচ্চ-গিরিফ গ্রাফ নিন।$r = 0$

• তাহলে পর্যাপ্ত ছোট, উত্তর কোন এমনকি "হ্যাঁ" হয় । শুধু একটি নিতে -dimensional গ্রিড গ্রাফ (গণ্ডি করতে প্রায় আবৃত সঙ্গে এটি তাদের স্থানাঙ্ক দ্বারা নোড lexicographically -regular), এবং অর্ডার। আবার গ্রিডের সীমানার কাছে আমাদের কিছু খারাপ প্রান্ত রয়েছে, তবে আমরা খারাপ প্রান্তকে নির্বিচারে ছোট করতে পারি।ডি ( ডি / ২ $g$$d$$(d/2)$$d$

• তাহলে সসীম হতে হবে না, উত্তর কোন এমনকি "হ্যাঁ" হয় । একটি নিয়মিত অসীম গাছের মোট ক্রম থাকে যাতে সমস্ত প্রান্তগুলি ভাল।$G$$d$

• যদি বিজোড় হয় এবং যথেষ্ট পরিমাণে বড় হয় তবে উত্তরটি "না"। সংক্ষেপে, নাওর এবং স্টকমিয়ার (1995) দেখায় যে প্রতিটি নোড কমপক্ষে একটি অ-ভাল প্রান্তের ঘটনা।$d$$r$

পটভূমি

(এই বিভাগটি নিরাপদে এড়ানো যেতে পারে))

প্রশ্নটি বিতরণ করা কম্পিউটিংয়ের ভিত্তি এবং বিশেষত স্থানীয় অ্যালগরিদমের সাথে সম্পর্কিত ।

আমরা যা বুঝতে চাই তা নীচে: কোন পরিস্থিতিতে সামগ্রিক অর্ডারের অস্তিত্ব কোনও বিতরণ ব্যবস্থায় স্থানীয় প্রতিসাম্যতা ভাঙতে সহায়তা করে। Intuitively, প্রতিটি নোডের এর একটি আউটপুট একটি ফাংশন যে উত্পাদন করতে হয়েছে , অর্থাত্, স্থানীয় আশপাশ একটি ফাংশন । যদি একটি প্রান্ত স্থানীয় প্রতিসাম্য ভাঙার তথ্য পাওয়া যায় কাছাকাছি আছে খারাপ, , এবং নোড এবং বিভিন্ন আউটপুট তৈরি করতে পারে; প্রান্তটি যদি ভাল হয় তবে নোড এবং স্থানীয়ভাবে পার্থক্যহীন এবং তাদের একই আউটপুট উত্পাদন করতে হবে।G ( G v , ≤ v ) v e = { u , v } e u v u $v$$G$$(G_v,\le_v)$$v$$e = \{u,v\}$$e$$u$$v$$u$$v$

অনেক ধ্রুপদী গ্রাফ সমস্যার জন্য এটি জানা যায় যে মোট অর্ডার সাহায্য করে না (অনেক দুর্বল সম্পর্কগুলি মূলত সম পরিমাণে সমমিতি ভাঙার তথ্য সরবরাহ করে) তবে কিছু ক্ষেত্রে এখনও খোলা রয়েছে - এবং একটি সাধারণ ফলাফল যা সমস্ত উচ্চ- কেসের ক্ষেত্রে আবৃত করে covers ঘের গ্রাফগুলি একটি যুগান্তকারী হতে পারে।

এটি একটি বিজয়ী প্রশ্ন হতে পারে: উত্তর নির্বিশেষে, আমরা নতুন কিছু শিখি। যদি উত্তরটি "হ্যাঁ" হয় তবে আমরা নতুন, শক্তিশালী নিম্ন-আবদ্ধ ফলাফলগুলি অর্জন করতে সক্ষম হতে পারি; যদি উত্তরটি "না" হয় তবে আমরা সম্ভবত দ্রুত আলগোরিদিমগুলি ডিজাইন করতে সক্ষম হতে পারি যা যে কোনও উপলব্ধ স্থানীয় প্রতিসম-ব্রেকিং তথ্যকে কাজে লাগায় ।$(G,\le)$

অবশ্যই আসল বিশ্বে আমাদের তে মোট অর্ডার নেই ; আমরা কিছু আরও আছে: প্রতিটি নোডের একটি অনন্য লেবেল আছে । তবে মোট অর্ডার এবং অনন্য লেবেলের মধ্যে ব্যবধানটি কমিয়ে আনতে সাধারণত আরও সোজা হয়; প্রায়শই একটি র‌্যামসির মতো যুক্তি দেখায় যে (সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে) লেবেলগুলি এমন কোনও তথ্য সরবরাহ করে না যা মোট ক্রমে পাওয়া যায় না।ভি ∈ ভি ℓ ( ভি ) ∈ $V$$v \in V$$\ell(v) \in \mathbb{N}$

Answer 1

হ্যাঁ , এই জাতীয় জোড়া যে কোনও , যে কোনও , কোনও এবং এমনকি ।ϵ > 0 আর জি $(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$d$

বিশদ জন্য, দেখুন arXiv: 1201.6675 ।