একটি সীমাবদ্ধ গ্রিডে লাইন এবং কলামের অনুমতি দ্বারা কক্ষগুলি সংযুক্ত করা

আমি জানতে চাইছি যে নিম্নলিখিত সাধারণ সমস্যাটি আগে অধ্যয়ন করা হয়েছিল এবং কোনও সমাধান জানা থাকলে।

G কে একটি সসীম (এমএক্সএন) গ্রিড হতে দিন, এস জি এর কোষগুলির একটি উপসেট ("ক্রাম্বস")। দুটি ক্রাম্বগুলি (স্থানীয়ভাবে সংযুক্ত) বলা হয় যদি তাদের স্থানাঙ্কগুলি বেশিরভাগ একের সাথে পৃথক হয় (যেমন, যদি স্কোয়ার হিসাবে আঁকা থাকে তবে তারা কমপক্ষে একটি কোণার অংশ ভাগ করে নেয়)।

এখন, গ্রিডের লাইন এবং কলামগুলি বাদ দিয়ে crumbs (তাদের সামগ্রিক সেট) পুরোপুরি সংযোগ করার চেষ্টা করা যেতে পারে। অন্য কথায়, লক্ষ্যটি হ'ল লাইনগুলির ক্রমবর্ধমান এবং কলামগুলির অনুক্রমের সাথে সামনে আসা যাতে ফলস্বরূপ গ্রিডের যে কোনও দুটি ক্রম্বগুলি (স্থানীয়ভাবে) সংযুক্ত crumbs এর একটি শৃঙ্খলে সংযুক্ত থাকে।

প্রশ্ন: সবসময় কি এর সমাধান হয়?

আমি কীভাবে এটি আক্রমণ করব তা বেশ জানি না। আরও ভাল ধারণার অভাবের জন্য, আমি একটি কাঁচা প্রোগ্রাম লিখেছি যা ব্রুট ফোর্সের মাধ্যমে সমাধানগুলি সন্ধান করে (এটি এলোমেলোভাবে ক্রমগুলি তৈরি করে এবং ফলাফলিত গ্রিডটি তার crumbs সংযুক্ত রয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করে দেখায়)। প্রোগ্রামটি এখনও পর্যন্ত সর্বদা ক্ষুদ্র (10x10 বা 7x14) গ্রিডগুলির সমাধান খুঁজে পেয়েছে এবং বৃহত্তর গ্রিডগুলি তার সরল কৌশলটির স্পষ্টতই বাইরে রয়েছে (কোনও সমাধানের বাইরে এলোমেলোভাবে হোঁচট খেতে খুব বেশি সময় লাগবে)।

প্রোগ্রাম দ্বারা সমাধান করা গ্রিডের উদাহরণ এখানে:

প্রাথমিক গ্রিড (ক্রাম্বস এক্স দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, বিন্দু দ্বারা খালি ঘর):

   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 0 X . X X . X . X X .
 1 X . . . . X . . . .
 2 . . X . . . . X . X
 3 . X . . X . X . . X
 4 . . . X . . . . . .
 5 X X . . . X X . X .
 6 . . . X . . . . X .
 7 X . X . . X . . . .
 8 X . . . X . . X X .

সমাধান:

   6 1 4 7 8 2 9 3 5 0
 1 . . . . . . . . X X
 4 . . . . . . . X . .
 5 X X . . X . . . X X
 8 . . X X X . . . . X
 7 . . . . . X . . X X
 0 . . . X X X . X X X
 3 X X X . . . X . . .
 6 . . . . X . . X . .
 2 . . . X . X X . . .

স্বাভাবিকভাবেই, সমস্যাটি সহজেই যে কোনও মাত্রা d> ২ এ সাধারণ করা যায় I আমার ধারণা, অন্যান্য সাধারণীকরণ বিবেচনা করা যেতে পারে।

আগাম ধন্যবাদ,

ইয়ান ডেভিড

ds.algorithms graph-theory graph-algorithms

— ইয়ান ডেভিড
সূত্র

আকর্ষণীয় সমস্যা কিছু আবেদন আছে?

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ শুয়োশি: আপনি যে চিত্রটি পোস্ট করেছেন সেটির সমাধান রয়েছে (আপনি যে সরবরাহ করেছেন) তা আপনারা ঠিক বলেছেন। আমি এটি মুছে ফেলেছি।

— মারজিও ডি বায়াসি

একযোগে ক্রসপোস্ট নিরুৎসাহিত করা হয়। math.stackexchange.com/questions/83231/…

— Tsuyoshi Ito

আসুন আমার উত্তরটির পূর্ববর্তী সংস্করণটির সাথে একটি অনুরূপ গণনা যুক্তিটি আরও যত্ন সহকারে চেষ্টা করুন।

$n^2 2^{5q}$ $n^2$ $5q$ $n^2 2^{5q} (n!)^2$

$c$ $\binom{n}{c}^n$ $c$ $\exp(cn\log n-O(n))$ $q=cn$ $\exp(2n\log n+O(cn))$ $c>2$

— ডেভিড এপস্টিন
সূত্র

সেট করা এবং পদগুলিকে অবহেলা করে আমি "ব্রেকিংভেন" পয়েন্টটি খুঁজে পেতে আপনার বৈষম্যের মধ্য দিয়ে তাড়া করেছিলাম, পেয়েছি । পরবর্তী মানটি উল্লেখযোগ্যভাবে 26608 এর কাছাকাছি

c = 3

$c=3$

o (n)

$o(n)$

n > 6 * 2^{15} / e^{2}

$n > 6*2^{15}/e^2$

— কঠোরতম

এটি একটি কৌতূহলোদ্দীপক কাকতালীয় ঘটনা। আমি এটি সম্পর্কে mathoverflow.net/Qestions/81368/…

— ডেভিড

এটি প্রকৃতপক্ষে একটি মার্জিত এবং দৃinc়প্রত্যয়ী প্রমাণ। (আমি আমার নিজের সুবিধার জন্য অনুমানের বিস্তারিত জানাতে আমাকে কিছুটা সময় নিয়েছি)) কেউ কেউ কংক্রিটের পাল্টা-উদাহরণ দিয়ে আসতে সক্ষম হবে কিনা তা দেখতে বাকি। @ উপরের হার্ডম্যাথের মন্তব্য পরামর্শ দেয় যে এটি কঠিন হতে পারে (সিই একটি কুৎসিত জন্তু হবে); এখন একটি সিই এর সমস্ত সারিতে একই সংখ্যার ক্রমব থাকা দরকার নেই।

— ইয়ান ডেভিড