সেখানে কতগুলি টাউটোলজি রয়েছে?

Question

প্রদত্ত , কিভাবে অনেক ট -DNFs সঙ্গে এন ভেরিয়েবল এবং মি অনুলাপ ক্লজ হয়? (বা কয়টি কে- সিএনএফ অসন্তুষ্টিজনক?)$m, n, k$$k$$n$$m$$k$

Comments

কিছুটা অনুপ্রেরণা আমাদের বিশ্বাস করতে সহায়তা করবে এটি কেবল একটি এলোমেলো প্রশ্ন নয়।

— আন্দ্রেজ বাউর

@ আন্দ্রেজবাউর: আমি স্যাট সলভার এবং তাদের অভিনয় সম্পর্কে পড়ছিলাম।

— বেনামে

Answer 1

উত্তরটি , এম এবং এন এর উপর নির্ভর করে । সঠিক গণনাগুলি সাধারণত জানা যায় না, তবে একটি "থ্রেশহোল্ড" ঘটনাটি রয়েছে যে কে , এম , এন এর বেশিরভাগ সেটিংসের জন্য হয় প্রায় সমস্ত কে- এস্যাট দৃষ্টান্তটি সন্তুষ্টযোগ্য, বা প্রায় সমস্ত উদাহরণ অসন্তুষ্টযোগ্য। উদাহরণস্বরূপ, জন্য ট = 3 , এটা প্রায়োগিক পরিলক্ষিত হয়েছে যে, যখন মি < 4.27 এন , সমস্ত কিন্তু একটি ণ ( 1 ) 3-স্যাট ভগ্নাংশ দৃষ্টান্ত Satisfiable হয়, এবং যখন মি > 4.27 এন , সমস্ত কিন্তু একটি $k$$m$$n$$k$$m$$n$$k$$k=3$$m < 4.27 n$$o(1)$$m > 4.27n$ ভগ্নাংশটি অসন্তুষ্টিজনক। (সীমাবদ্ধতার কঠোর প্রমাণও রয়েছে))$o(1)$

একটি সূচনা পয়েন্ট হ'ল "দি এসিপটোটিক অর্ডার অফ কে-স্যাট থ্রেশহোল্ড" ।

আমিন Coja-Oghlan এছাড়াও করেছেন কাজ অনেক এই satisfiability থ্রেশহোল্ড সমস্যা।

Answer 2

রায়ান এর উত্তরের পরিপূরক হিসাবে এটি একটি বর্ধিত মন্তব্য, যা দোর সংখ্যার পক্ষে যথেষ্ট পরিমাণে বেড়ে যায় এমন দোরগোড়াকে কেন্দ্র করে যে উদাহরণটি প্রায় নিশ্চিতভাবেই অসন্তুষ্টিজনক। কেউ আরও বৃহত্তর চৌম্বকগুলিও গণনা করতে পারেন যেখানে এন এর ফাংশন ছাড়িয়ে গেলে ক্লজগুলির সংখ্যা অসন্তুষ্টি জোর করে ।$n$

নোট করুন যে কিছু প্রযুক্তিগত সমস্যাগুলি সমাধান করা দরকার। পুনরাবৃত্তি ক্লজ-এ গণনা করা হয় , তারপর মি বৃহৎ হিসাবে হিসাবে পরিবর্তন না করে আকাঙ্ক্ষিত তৈরি করা যেতে পারে এন । এটি মি এবং এন এর মধ্যে বেশিরভাগ সম্পর্ককে ধ্বংস করবে । সুতরাং ধরুন যে এম পৃথক ধারাগুলির সংখ্যা। আমাদের আরেকটি বিশদ সম্পর্কে সিদ্ধান্ত নেওয়া দরকার, উদাহরণগুলি এনকোড করা হয়েছে কিনা তা যাতে কোনও ক্লাসের মধ্যে আক্ষরিক ক্রম বা কোনও দৃষ্টিকোণের মধ্যে ধারাগুলির ক্রম থাকে। ধরুন এটি গুরুত্বপূর্ণ নয়, সুতরাং দুটি দৃষ্টান্তকে সমান হিসাবে বিবেচনা করা হয় যদি সেগুলিতে একই ক্লজ থাকে এবং দুটি অনুচ্ছেদ সমান হয় যদি সেগুলিতে একই অক্ষর থাকে। এই অনুমানগুলি দিয়ে আমরা এখন স্বতন্ত্র ধারাগুলির সাথে সংখ্যার সাথে আবদ্ধ করতে পারি যা প্রকাশ করা যেতে পারে$m$$m$$n$$m$$n$$m$ পরিবর্তনশীল। প্রতিটি দফা প্রতিটি পরিবর্তনশীল ইতিবাচক বা নেতিবাচক ঘটে, বা এ সব না থাকতে পারে, এবং তারপর মি ≤ 3 এন ।$n$$m\le 3^n$

প্রথমে তে কোনও বাধা ছাড়াই স্যাট বিবেচনা করুন । উদাহরণস্বরূপ সন্তুষ্টিজনক এর মতো সবচেয়ে বড় মি ? সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই আমরা ধরে নিতে পারি যে অল-জিরো অ্যাসাইনমেন্টটি একটি সমাধান। এরপরে 3 এন - 2 এন এর পৃথক পৃথক ধারা রয়েছে যার সমাধানের সাথে সামঞ্জস্য রয়েছে, প্রতিটি অন্তত একটি অবহেলিত আক্ষরিক সমন্বিত। সুতরাং কোনও সন্তোষজনক উদাহরণের জন্য মি ≤ 3 এন - 2 এন । প্রতিটি দফায় অন্তত একটি অবহেলিত আক্ষরিক থাকে এমন দৃষ্টান্তের উদাহরণটিতে অনেকগুলি ধারা রয়েছে এবং সমস্ত শূন্য কার্যক্রমে সন্তুষ্ট। আরও, কমপক্ষে 3 এন এর সাথে কবুতর নীতি দ্বারা কোনও উদাহরণ$k$$m$$3^n-2^n$$m\le 3^n-2^n$ ধারা অসন্তুষ্টিজনক।$3^n-2^n+1$

এর ফলে এই জাতীয় ধারাগুলির বিভিন্ন উপসেট পাওয়া যায়, প্রতিটি স্বতন্ত্র উদাহরণ উপস্থাপন করে যা কিছু কার্যক্রমে সন্তুষ্ট। তুলনায়, বিভিন্ন দৃষ্টান্তের মোট সংখ্যা 2 3 এন ।$2^{3^n-2^n}$$2^{3^n}$

এখন দৃষ্টান্ত যাতে প্রতিটি দফা সর্বাধিক হয়েছে জন্য উপরের পরিবর্তন লিটারেল, আছে Σ k আমি = 0 ($k$জাতীয় ধারাগুলি পৃথককরিএবং∑ কে i = 0 ($\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}2^i$$\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}$$m\le \sum_{i=0}^k \binom{n}{i}(2^i - 1)$$m$$2^{\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}(2^i - 1)}$$2^{\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}2^i}$ $k$-SAT instances.

Comments

I also produced the same result back in 2008 ish. There are also complimentary functions for literals and variables such that if you assume no repetition of literals, variables or clauses then if more than x many or y many literals or variables occurs respectively then the given instance is not satisfiable. I would have to dig to find those two functions. +1

— Tayfun Pay