ল্যাম্বদা-ক্যালকুলাস পদগুলি যা নিজেরাই হ্রাস করে

Question

ল্যাম্বডা ক্যালকুলাস শিখার চেষ্টা করার জন্য আমার ক্রমাগত অনুসন্ধানে, হিন্ডলি অ্যান্ড সেলডিনের "ল্যাম্বডা-ক্যালকুলাস এবং কম্বিনেটরস একটি পরিচিতি" নীচের কাগজটির (ব্রুস লেসার দ্বারা) উল্লেখ করেছে যা প্রমাণ করে যে একমাত্র হ্রাসযোগ্য ভাব যা নিজেই একই (মডুলো আলফা রূপান্তর) is হ'ল: ।$(\lambda x.xx)(\lambda x.xx)$

যদিও আমি ফলাফলটি বিশ্বাস করি, তবুও আমি যুক্তিটি মোটেই অনুসরণ করি না।

এটি বেশ সংক্ষিপ্ত (এক অনুচ্ছেদে কম)। কোন ব্যাখ্যা সবচেয়ে স্বাগত হবে।

ধন্যবাদ,

রাতের পাহারাদার

Answer 1

প্রথমে নোট করুন যে ফলাফলটি জানিয়েছে যে একমাত্র বিটা রিডেক্স যেখানে ডান হাতের অংশটি সমান (মডুলো আলফা-রূপান্তর) বাম-হাতের অংশে রয়েছে । একটি প্রসঙ্গে এই পুনর্বিবেচনা থাকাতে নিজের কাছে হ্রাসকারী অন্যান্য শর্তাদি রয়েছে।$(\lambda x. x x) (\lambda x. x x)$

আমি দেখতে পাচ্ছি যে লেসারের বেশিরভাগ প্রুফ কীভাবে কাজ করে, যদিও এমন কিছু পয়েন্ট রয়েছে যেখানে আমি প্রমাণকে কিছুটা সংশোধন না করে অতীত হতে পারি না। ধরুন যে (আমি আলফা সমতুল্যের জন্য ব্যবহার করি ), এবং ভেরিয়েবল কনভেনশন অনুসারে ধরুন যে মুক্ত হয় না ।= এক্স $(\lambda x. A) B = [B/x] A$$=$$x$$B$

বাম-হাতের এবং ডানদিকের সংখ্যা গণনা করুন । হ্রাসটি রিডেক্স থেকে একটিকে, সাথে সরিয়ে দেয় এবং এর সংখ্যার হিসাবে যত বেশি রয়েছে যোগ করে । অন্য কথায়, যদি সংখ্যা 's এবং মুক্ত ঘটনার সংখ্যা মধ্যে তারপর । ডায়োফানটাইন সমীকরণের একমাত্র সমাধান হ'ল (এবং তবে আমরা সেই সত্যটি ব্যবহার করব না)।বি বি এক্স এ এল ( এম ) λ এম # $\lambda$$B$$B$$x$$A$$L(M)$$\lambda$$M$x এম 1 + এল ( বি ) = # এক্স ( এ ) × এল ( বি ) # x ( এ ) = 2 এল ( বি ) = $\#_x(M)$$x$$M$$1 + L(B) = \#_x(A) \times L(B)$$\#_x(A) = 2$$L(B)=1$

আমি উপরের অনুচ্ছেদের জন্য লেসারের যুক্তিটি বুঝতে পারি না। তিনি এবং পারমাণবিক পদগুলির সংখ্যা গণনা করেন ; আসুন এটি লিখুন । সমীকরণটি , যার দুটি সমাধান রয়েছে: এবং । দ্বিতীয় সম্ভাবনা দূর করার কোনও সুস্পষ্ট উপায় আমি দেখছি না।# ( এম ) # ( বি ) + 1 = $\lambda$$\#(M)$# এক্স ( এ ) = 2 , # ( বি ) = 3 # এক্স ( এ ) = 3 , # ( খ ) = $\#(B) + 1 = \#_x(A) \times (\#(B) - 1)$$\#_x(A)=2, \#(B)=3$$\#_x(A)=3, \#(B)=2$

আসুন এখন উভয় পক্ষের সমান সাবটারম সংখ্যার জন্য একই যুক্তি প্রয়োগ করি । হ্রাস শীর্ষের কাছাকাছি এক সরিয়ে ফেলা হবে, এবং অনেক হিসাবে যোগ হিসাবে সেখানে ঘটনার প্রতিস্থাপিত হয় মধ্যে , অর্থাত্ 2. অত: পর এক আরো সংঘটন অদৃশ্য হবে; যেহেতু বেশী থাকা (কারণ একটিও বিনামূল্যে রয়েছে ), অতিরিক্ত সংঘটন বাম দিকে হওয়া আবশ্যক ।x একটি বি একটি বি এক্স বি λ এক্স । $B$$x$$A$$B$$A$$B$$x$$B$$\lambda x. A$

আমি বুঝতে পারছি না কিভাবে Lercher deduces যে নেই একটি subterm যেমন, কিন্তু এই প্রমাণ জন্য প্রাসঙ্গিক আসলে নয়।$A$$B$

প্রাথমিক অনুমান থেকে, একটি প্রয়োগ। যদি , সুতরাং নিজেই একটি অ্যাপ্লিকেশন , with । যেহেতু সাবটার্ম হিসাবে নিজেকে থাকতে পারে না, ফর্মটি ল্যাম্বদা এক্সপি থাকতে পারে না , তাই । একইভাবে, ।এ = এক্স এ এম এন λ x । এম এন = [ ( λ এক্স $[(\lambda x. A)/x] A$$A = x$$A$$M N$এম এম λ এক্স । পি এম = এক্স এন = $\lambda x.M N = [(\lambda x. M N)/x] M = [(\lambda x. M N)/x] N$$M$$M$$\lambda x.P$$M = x$$N = x$

---

আমি কোন গণনা যুক্তি সহ একটি প্রমাণ পছন্দ। মনে করুন যে ।$(\lambda x. A) B = [B/x] A$

যদি তবে আমাদের , যা সম্ভব নয় কারণ যেহেতু তার নিজের একটি subterm হতে পারে না। সুতরাং, যেহেতু অনুমানের ডান দিকের দিকটি একটি প্রয়োগের সমান, তাই অবশ্যই একটি অ্যাপ্লিকেশন এবং এবং ।( λ x । ক ) বি $A = x$$(\lambda x. A) B = B$$B$$A$$A_1 A_2$$\lambda x. A = [B/x] A_1$$B = [B/x] A_2$

পূর্বের সমতা থেকে, হয় বা । দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, , যেহেতু সম্ভব নয় যেহেতু নিজেই একটি subterm হতে পারে না।A 1 = λ x । [ বি / এক্স ] এ এ 1 = λ এক্স । ( λ x । এ 1 এ 2 ) $A_1 = x$$A_1 = \lambda x. [B/x] A$$A_1 = \lambda x. (\lambda x. A_1 A_2) B$

পরের সাম্যতা থেকে, বা এর কোনও মুক্ত (অন্যথায় তার নিজের একটি subterm হবে)। পরবর্তী ক্ষেত্রে, ।এ 2 এক্স বি এ 2 = $A_2 = x$$A_2$$x$$B$$A_2 = B$

আমরা দেখিয়েছি । প্রাথমিক অনুমানের ডান দিকের দিকটি , এবং = ।বি বি বি = λ x । একজন λ এক্স । x $A = x x$$B B$$B = \lambda x. A$$\lambda x. x x$