প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে একটি সাধারণ উত্সের সাথে ন্যূনতম সর্বাধিক ভার্টেক্স-বিচ্ছিন্ন পথগুলি সন্ধান করা

একটি প্ল্যানার unweighted গ্রাফ, এবং প্রান্তবিন্দু জোড়া একটি সংগ্রহ দেওয়া ( একটি ধ্রুবক হয়), খুঁজুন প্রান্তবিন্দু-টুকরো করা (উৎস ব্যতীত) থেকে পাথ করার যেমন দীর্ঘতম দৈর্ঘ্যের দৈর্ঘ্য হ্রাস করা হয়। $(s,t_1),\dots,(s,t_k)$ $k\ge2$ $k$ $s$ $t_i$

প্রশ্ন: সমস্যার জন্য বহু-কালীন অ্যালগরিদম আছে কি?

কিছু সম্পর্কিত ফলাফল:

যদি স্থির না করা হয় তবে সমস্যাটি এনপি-হার্ড হলেও ; $k$ $t_1=\dots=t_k$
যদি ইনপুট গ্রাফটি ওজনযুক্ত হয় এবং পাথের উত্স একত্রিত হয় না, অর্থাৎ পাথগুলি তবে জন্য সমস্যা এনপি-হার্ড ; $(s_1,t_1),\dots,(s_k,t_k)$ $k=2$
বিভিন্ন উদ্দেশ্য নিয়ে সমস্যা, যথা পথের দৈর্ঘ্যের যোগফলকে হ্রাস করা
- কাকতালীয় উত্সগুলির জন্য সর্বনিম্ন ব্যয়ের প্রবাহ অ্যালগরিদম সহ দ্রবণীয়;
- নন-কাকতালীয় উত্স এবং সাধারণ জন্য এনপি-হার্ড ; $k$
- অ-কাকতালীয় উত্স এবং ধ্রুবক জন্য উন্মুক্ত । $k$

ds.algorithms graph-algorithms

— সের্গেই পুপিরেভ
সূত্র

দেখে মনে হচ্ছে এটি সম্পর্কিত অনেকগুলি ফলাফল রয়েছে। আপনি প্রশ্নের গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্কিত ফলাফল সংক্ষিপ্ত করতে পারেন?

— Tsuyoshi Ito

জি ইনপুট গ্রাফটি (যা প্রতিটি প্রান্তের ইতিবাচক-পূর্ণসংখ্যার দৈর্ঘ্য রয়েছে)? আমি ধরে নিচ্ছিলাম যে জি ওজনযুক্ত নয়, তবে আমি বুঝতে পেরেছি যে আপনি সম্ভবত দুটি সেটিংস মিশ্রণ করছেন: (1) জি যদি ভারী হয়, তবে কে = 2 এর ক্ষেত্রে এনপি-সম্পূর্ণ হয় মূলত থিয়েরেম 14 দ্বারা কাগজে লিখেছেন আপনি যে কোবায়শি এবং সোমারের সাথে সংযুক্ত ছিলেন, যা আমার উত্তরে উদ্ধৃত [এইচপি0২] এর ২ নং বিভাগের মূল অনুচ্ছেদেও মূলত একই same (২) জি যদি ভারী না হয়, তবে আমি দেখতে পাচ্ছি না যে কোবায়শি এবং সোমারের লেখা কাগজটি কে = 2 এবং বিভিন্ন উত্সের ক্ষেত্রে এনপি-কঠোরতাটিকে কেন বোঝায়।

— Tsuyoshi Ito

আমার সেটিংসে কোনও গ্রাফ ওজনযুক্ত নয়, সুতরাং আপনি ঠিক বলেছেন: কে = 2 এবং বিভিন্ন উত্সের ক্ষেত্রে এনপি-কঠোরতার উপর আমার দাবি (সম্ভবত) ভুল।

— সের্গে পুপিরেভ

স্যুওশি ইতো এর মন্তব্য বিবেচনা করে আমি সমস্যার বিবরণ আপডেট করেছি।

— সের্গে পুপিরেভ

এই ঠিক কি আপনি জিজ্ঞাসা নয়, কিন্তু সমস্যা দ্বারা NP-সম্পূর্ণ হলে ট একটি ধ্রুবক কিন্তু ইনপুটের অংশ নয়।

এই Holst ডের এবং ডি Pina [HP02] ভ্যানে উপপাদ্য 1 প্রমাণ, যেখানে বলা আছে থেকে অনুসরণ করে: একটি প্ল্যানার গ্রাফ দেওয়া জি , স্বতন্ত্র ছেদচিহ্ন গুলি এবং টন মধ্যে জি , এবং ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ট এবং খ , এটা সিদ্ধান্ত নিতে দ্বারা NP-সম্পূর্ণ হয়েছে কিনা আছে ট মধ্যে pairwise অভ্যন্তরীণভাবে প্রান্তবিন্দু-টুকরো করা পাথ গুলি এবং t সর্বাধিক দৈর্ঘ্য প্রতিটি খ ।

লক্ষ করুন যে থিওরেম 1 এর বিবৃতিতে সমস্যাটি দুটি দিক থেকে আপনার চেয়ে পৃথক। একটি পার্থক্য হ'ল, যেমনটি আমি উল্লেখ করেছি যে কে ইনপুটটির অংশ হিসাবে দেওয়া হয়েছে। অন্যটি হ'ল [এইচপি0২] এ সমস্যাটি সাধারণ উত্স এবং বিভিন্ন ডুবে যাওয়া পাথের পরিবর্তে সাধারণ পয়েন্টগুলির সাথে সম্পর্কিত পাথ সম্পর্কে। আমি প্রথম পার্থক্য ঠিক করতে জানি না; পার্থক্যটি এত বড় যে সম্ভবত কে কে ঠিক করার জন্য আমাদের সম্পূর্ণ ভিন্ন প্রমাণের প্রয়োজন হবে । তবে আমি জানি কমপক্ষে দ্বিতীয় পার্থক্য কীভাবে ঠিক করা যায়।

[এইচপি02] এর উপপাদ্য 1 এর প্রমাণ 3SAT থেকে হ্রাস দেয়। এই হ্রাসের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে: হ্রাস দ্বারা নির্মিত উদাহরণ ( জি , এস , টি , কে , বি ), ভার্টেক্স টি এর ডিগ্রি সর্বদা কে এর সমান । যাক টন ₁ , ..., T _ট হতে ট এর প্রতিবেশীদের টি । তারপরে জিজ্ঞাসা করার পরিবর্তে K জোড়ের দিকের অভ্যন্তরীণভাবে শীর্ষস্থানীয়-বিচ্ছিন্ন পাথ সর্বাধিক খ এর প্রতিটি দৈর্ঘ্যের s এবং t এর মধ্যে রয়েছে, আমরা সমানভাবে জিজ্ঞাসা করতে পারি যে জোড় প্রান্তে-দ্বিখণ্ডিত-বিচ্ছিন্ন-উত্স ব্যতীত P ₁ ,…, P _{k এর} মতো যে প্রতিটি পি _i সর্বাধিক b −1 এর দৈর্ঘ্যের s এবং t _i এর মধ্যে একটি পথ ।

[এইচপি02] এইচ। ভ্যান ডার হলস্ট এবং জেসি ডি পিনা। পরিকল্পনাকারী গ্রাফগুলিতে দৈর্ঘ্যের সীমানা বিচ্ছিন্ন পাথগুলি। বিচ্ছিন্ন প্রয়োগিত গণিত , 120 (1–3): 251–261, আগস্ট 2002. http://dx.doi.org/10.1016/S0166-218X%2801%2900294-3

— সোসোশি ইতো
সূত্র

k

$k$

k

$k$

@ সের্গেপুপিরেভ: আপনি লিখেছেন যে কে একটি ধ্রুবক। (আপনি এটি লিখেছিলেন কারণ আপনি এটির অর্থ কী তা জানতেন, তাই না?) প্রাসঙ্গিক কাগজগুলিতে আমি যে অভিশাপ থেকে শিখেছি তা থেকে, কে কোনও ধ্রুবক কিনা বা সম্পর্কিত সমস্যাগুলির ক্ষেত্রে বর্তমান পরিস্থিতিটিতে একটি বিরাট তাত্পর্যপূর্ণ বলে মনে হচ্ছে সমস্যার জটিলতা

— Tsuyoshi Ito

k

$k$

k

$k$

@ সের্গেপুপিরেভ: আমি এমন একটি কাগজ খুঁজে পাচ্ছি না যা কে ধ্রুবক হিসাবে সেই ক্ষেত্রে জটিলতার কথা বলে, তবে এর অর্থ কেবল এটি আমার অজানা ।

— Tsuyoshi Ito