অনুকূল সংযোজন শৃঙ্খলাগুলি পাওয়া কি কঠিন?

Question

একটি অতিরিক্ত শৃঙ্খলা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার ক্রম $(x_1, x_2, \dots, x_n)$যেখানে এবং প্রতিটি সূচক , আমাদের কিছু সূচক । দৈর্ঘ্য উপরন্তু শৃঙ্খল হয় ; লক্ষ্য উপরন্তু শৃঙ্খল হয় ।আমি ≥ 2 x i = x জে + এক্স কে 1 ≤ জে , কে < $x_1 = 1$$i\ge 2$$x_i = x_j + x_k$$1\le j,k < i$$n$$x_n$

নিম্নলিখিত সমস্যার জটিলতা সম্পর্কে কী জানা যায়: একটি পূর্ণসংখ্যা দেওয়া হয়, যার টার্গেটটি সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত সংযোজন শৃঙ্খলার দৈর্ঘ্য কত ? এটা কি এনপি-হার্ড?$N$$N$

উইকিপিডিয়া 1981 সালে ডাউনে, লিওং এবং শেঠি দ্বারা লিখিত একটি কাগজকে দেখায় যা নিম্নলিখিত সম্পর্কিত সমস্যাটি প্রমাণ করে যে এনপি-হার্ড: পূর্ণসংখ্যার একটি সেট দেওয়া হয়েছে যা পুরো সেটটি অন্তর্ভুক্ত করে একটি অতিরিক্ত চেইনের সর্বনিম্ন দৈর্ঘ্য কত? বেশ কয়েকজন লেখক স্পষ্টতই দাবি করেছেন যে এই কাগজটি প্রমাণ করেছে যে একক-লক্ষ্য সমস্যাটি এনপি-হার্ড, তবে তা হয় না।

Comments

দুটি প্রশ্ন: বাইনারি আকারে দেওয়া হয়েছে আমি ধরে নিয়েছি, এবং জে এবং কে অভিন্ন হতে পারে (যদি তাই হয় তবে বাইনারি সম্প্রসারণের মাধ্যমে সর্বদা দৈর্ঘ্য লগ এনের ক্রম থাকে)$N$$j$$k$

— সুরেশ ভেঙ্কট

ধরে নেওয়া যাক , বাইনারি দেওয়া হয়, যদিও আমি একটি বহু-টাইম আলগোরিদিম জানি না এমনকি যখন এন ইউনারী হয়। এবং হ্যাঁ, নিজেকে যুক্ত করার অনুমতি দেওয়া হয়েছে - আসলে, মাটি থেকে নামার প্রয়োজন to 128 এর মধ্যে সংক্ষিপ্ততম চেইন (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128)। $N$$N$

— জেফি

Answer 1

সমস্যাটি ২০০২ সালে এরিক লেহম্যানের পিএইচডি থিসিস "ব্যাকরণ ভিত্তিক ডেটা সংক্ষেপণের জন্য আনুমানিক অ্যালগরিদম" হিসাবে খোলার হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে। থিসিসের পি 35 থেকে:

"তবুও, যোগ শৃঙ্খলের সমস্যার সঠিক সমাধানটি আশ্চর্যজনকভাবে অধরা থেকে যায় The এম-অ্যারি পদ্ধতি সময় পললগ (এন) এ চলে এবং একটি 1 + o (1) আনুমানিকভাবে দেয় However তবে, তাত্পর্যপূর্ণভাবে আরও সময় অনুমোদিত হওয়ার পরেও বহু ( এন), কোনও সঠিক অ্যালগরিদম জানা যায়নি।

Answer 2

এবং লেহম্যানের থিসিসের মূল কাগজে , উল্লেখগুলির সাথে সমস্যার একটি ভাল সংক্ষিপ্ত বিবরণ রয়েছে (বিভাগ ভিবি)।

Answer 3

আমি বহু-কালীন অ্যালগরিদমের দিকে কিছুটা আংশিক অগ্রগতি - আপাতদৃষ্টিতে আশ্বাসপ্রাপ্ত - দলিল করতে চাই। আপডেট : @ ডেভিড (ধন্যবাদ!) দ্বারা নির্দেশিত একটি ত্রুটির জন্য অ্যাকাউন্টে কিছু বিশদ যুক্ত করা হয়েছে।

পদ্ধতির বিষয়টি হ'ল এমআইএন-ওনেস ইভেন -৩ সিএসপি (এমওইসি) এর একটি উদাহরণে এটি হ্রাস করা, যা এক্ষেত্রে বহুবর্ষের সময় সমাধানযোগ্য সমস্যা হতে পারে। হ্রাসের প্রমাণটি কিছুটা অস্পষ্ট, তবে আমি আশাবাদী এটি বিদ্যমান!

এমওইসি-র একটি উদাহরণ হ'ল একটি মহাবিশ্বের ভেরিয়েবলের আকারের সাবসেটের একটি পরিবার এবং একটি পূর্ণসংখ্যা কে । প্রশ্ন সর্বোচ্চ ওজন পরিতৃপ্ত নিয়োগ নেই কিনা তা ব্যবহারকারীকে ট , যেখানে একটি নিয়োগ মহাবিশ্ব থেকে একটি ফাংশন { 0 , 1 } , একটি নিয়োগ ওজন ভেরিয়েবল সংখ্যা এটি একটি নির্ধারণ করে, এবং একটি কাজ হয় সন্তুষ্টিজনক, যদি প্রতিটি ভেরিয়েবলের প্রতিটি উপসেট { x , y , z } এর জন্য , অ্যাসাইনমেন্ট (বলুন চ ) এর সম্পত্তি রয়েছে যা:$3$$k$$k$$\{0,1\}$$\{x,y,z\}$$f$

।$f(x) + f(y) + f(z) = 0 (mod ~~2)$

আপনি এটিকে 3-স্যাট হিসাবে সন্তুষ্টিজনকতার ভিন্ন ধারণা দিয়ে কল্পনা করতে পারেন - কোনওটি বাছাই বা দুটি বাছাই করা নয়। আমি এমওইসি-র উদাহরণটি সম্পর্কে কিছুটা শিথিল হব যা আমি সাধারণ সাবসেটস, প্রভাবগুলি, দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ এবং বাধা ( x = 1 ) ব্যতীত অনুমতি দেব । আমি বিশ্বাস করি যে এই সাধারণ সংযোজনগুলি সমস্যাটিকে বহুপদী সময় ধরে রাখবে।$3$$(x = 1)$

ধরা যাক আমরা সংখ্যার জন্য অতিরিক্ত চেইনের সমস্যা হ্রাস করছি । এই হ্রাস জন্য পরিবর্তনশীল সেট নিম্নলিখিত:$n$

প্রতি , চলক এন i । আমি পুনরায় লিখতে পরিবর্তনশীল হবে এন এন যেমন এন । প্রত্যেক যুগল জন্য আমি , ঞ যেমন যে 1 ≤ আমি , ঞ ≤ ট , পরিচয় করিয়ে ভেরিয়েবল পি আমি ঞ এবং প্রশ্নঃ আমি ঞ । $1 \leq i \leq n$$N_i$$N_n$$N$$i,j$$1 \leq i,j \leq k$$P_{ij}$$Q_{ij}$

প্রতিটি যেমন কে = আই + জে জন্য নিম্নলিখিত সাবসেটগুলি উপস্থাপন করুন :$i,j,k$$k = i+j$

$\{P_{ij}, Q_{ij}, N_k \}$

এবং নিম্নলিখিত প্রভাবগুলি:

এবং P i j ⇒ N $P_{ij} \Rightarrow N_i$$P_{ij} \Rightarrow N_j$

এবং নিম্নলিখিত সীমাবদ্ধতা:

।$(N_1 = 1), (N = 1)$

অবশেষে, আমাদের এমন প্রতিবন্ধকতা যুক্ত করতে হবে যা নিশ্চিত করে যে কোনও "সংশ্লিষ্ট" এন- পরিবর্তনশীল (স্বরলিপিটির অপব্যবহারকে ক্ষমা করুন) যখন অর্পণ করা হয় তখন কমপক্ষে একটি ভার্ভেবলকে বেছে নেওয়া হয়। এতে স্বাভাবিকের বা বাধ্যতা উপর সব যোগ করে কাজ করা যেতে পারে পি আমি ঞ যেমন যে আমি + + ঞ করার সমষ্টি এন প্রশ্নে -variable। আমাদের অবশ্য এটিকে এমওইসি-ফ্রেমওয়ার্কে পুনরায় এনকোডিংয়ের একটি উপায় খুঁজে বের করতে হবে।$P$$N$$P_{ij}$$i + j$$N$

সুতরাং আমাকে ভেরিয়েবলগুলির একটি সেট প্রদান করে বলার একটি সাধারণ উপায়টির রূপরেখা দিন:

,$(X, l_1, l_2, \ldots, l_t)$

কিভাবে বাধ্যতা "যদি একটি কাজ পরিতৃপ্ত হয় এবং সেট এক ঠিক এক, তারপর ঠ আমি এর নিয়োগ পর এক সেট করে রাখতে হবে", MOEC সিনট্যাক্স সাথে এনকোডেড করা যেতে পারে। নোট করুন যে এটি আমাদের প্রয়োজনীয়তার জন্য যথেষ্ট, আমরা কেবল সীমাবদ্ধতাগুলি প্রবর্তন করি:$X$$l_i$

।$(N_k, \{ P_{ij} ~|~ i + j = k \})$

নিম্নলিখিতভাবে এনকোডিং করা হয়। যাক উপর মূলী সম্পূর্ণ বাইনারি ট্রি হতে টন পাতার। সমস্ত 1 ≤ d ≤ লগ টি এবং 1 ≤ i ≤ এল ( ডি ) এর জন্য একটি নতুন ভেরিয়েবল টি ডি আই পরিচয় করান , যেখানে এল ( ডি ) গভীরতার ডি তে টি এক্সের নোডের সংখ্যা বোঝায় ।$T_X$$t$$T_{di}$$1 \leq d \leq \log t$$1 \leq i \leq {\cal L}(d)$${\cal L}(d)$$T_X$$d$

প্রতিটি নোডের জন্য , যদি পি এবং কিউ গাছের শিশু হয় তবে ইভেন -৩ সীমাবদ্ধতার পরিচয় দিন:$T_{di}$$p$$q$

$\{T_{di},p,q\}$

এর অর্থ হ'ল যদি নোডের সাথে সম্পর্কিত কোনও ভেরিয়েবলকে সত্যতে সেট করা হয়, তবে এর ঠিক একটি শিশুকেও সত্য হিসাবে সেট করতে হবে। এখন এর সাথে যুক্ত করুন:

এবং ( ঘ লগ টি , ঞ ) ⇒ ঠ ঞ (স্বচ্ছতার জন্য কমা)।$(X \Rightarrow T_{11})$$(d_{\log t,j}) \Rightarrow l_j$

ইভেন -৩ সীমাবদ্ধতা এবং জড়িতদের এই সমন্বয়টি আমরা এনকোড করতে চেয়েছি এমন প্রতিবন্ধকতার সমতুল্য।

স্বজ্ঞাতভাবে, যা ঘটছে তা হ'ল শেষ দুটি সীমাবদ্ধতাগুলি একটি অতিরিক্ত শৃঙ্খলা তৈরি করতে প্রয়োজনীয় প্রতিক্রিয়াগুলি ঠিক ট্রিগার করে। বিশেষ করে, দিন আমাদের দিকে তাকাও এর একটি পরিতৃপ্ত নিয়োগ পর এক নির্ধারিত হয় - দাবি করে যে তারা একটি উপরন্তু শৃঙ্খল গঠন করবে এন : যেহেতু নিয়োগ সেট করতে বাধ্য হয় এন এক, সেখানে অন্তত হওয়া আবশ্যক এক পি আই জে যা একটিতে সেট করা হয়েছিল, এবং নিহিতকরণগুলি এন আই এবং এন জে জোর করে$N_i$$N$$N$$P_{ij}$$N_i$$N_j$একটি বরাদ্দ করা হবে, এবং এটি পুরোপুরি নেমে গেছে (আমি নিশ্চিত যে এটি আনার সাথে আনুষ্ঠানিকভাবে তৈরি করা যেতে পারে, যদিও আমি এখনও পর্যন্ত সেই স্তরের বিশদটি কাজ করি নি)। মনে রাখবেন, যে satsifying নিয়োগ নির্ধারিত সেট করা হবে না বেশী সংখ্যায় অনুকূল যে দুই জোড়া জন্য সত্য ( দ , গুলি ) এবং ( দ ' , s ' ) , কারণ যে পি -variables অতিরিক্ত সঙ্গে আসা প্রভাব লাগেজ ও প্রশ্ন -variables করবেন না (তারা সেখানে নিশ্চিত করার এমনকি -3 satisfiability হয় - একটি ধারা যেখানে উপর এন আমি সত্য এবং $P_{ij}$$(r,s)$$(r',s')$$P$$Q$$N_i$ সত্য নয়, আমাদের এখনও এই ধারাটিকে সন্তুষ্ট করার জন্য কিছু বাছাই করতে হবে, এবং দেখতে সহজ যে কারণে, এটি ধারাগুলির সর্বজনীন পরিবর্তনশীল হতে পারে না)।$P_{ij}$

সুতরাং আমি বিশ্বাস করি একটি সংযোজন শৃঙ্খলা একটি সন্তোষজনক কার্যভারের সাথে মিলিত এবং তদ্বিপরীত। আমি এর একটি অংশ কিছুটা আনুষ্ঠানিকভাবে বর্ণনা করতে পারি: একটি অতিরিক্ত শৃঙ্খলা দেওয়া হলে, আমরা একটি কার্যনির্বাহ নির্মাণ করি যা সন্তুষ্ট হয়। দিয়ে শুরু করতে, চ সেট সব এন আমি 'এক শৃঙ্খল যে বৈশিষ্ট্য গুলি, এবং অন্যান্য এন আমি ' শুন্যতে s। আরও, যদি কে যোগ শৃঙ্খলে বৈশিষ্ট্যযুক্ত থাকে , তবে প্রতিটি এন কে এর জন্য , আই কে , জে কে কে শৃঙ্খলে থাকা উপাদানগুলি হতে হবে যেমন i কে + জে কে = জে । তারপরে এফ সেট করে$f$$f$$N_i$$N_i$$k$$N_k$$i_k,j_k$$i_k + j_k = j$$f$ এক (এবং প্রশ্নঃ আমি k ঞ ট শুন্যতে), এবং সব ( আমি , ঞ ) যেমন যে আমি ≠ আমি k এবং ঞ ≠ ঞ ট এবং আমি + + ঞ = ট , চ সেট প্রশ্ন আমি ঞ এক (এবং পি আই জে থেকে শূন্য)। সমস্ত কে জন্য যা অতিরিক্ত শৃঙ্খলে বৈশিষ্ট্যযুক্ত না, সমস্ত আমি , জে যেমন$P_{i_k j_k}$$Q_{i_k j_k}$$(i,j)$$i \neq i_k$$j \neq j_k$$i+j = k$$f$$Q_{ij}$$P_{ij}$$k$$i,j$ , সমস্ত কিউ আই জে এবং পি আই জে শূন্যে সেট করুন (লক্ষ্য করুন যে ধারাবাহিকতাটি অনুসরণ করে যে দুটি সংখ্যা কেবল একটি উপায়ে যোগ করে)। শৃঙ্খলেএকটি এন আই জড়িত প্রতিটি ধারাসন্তুষ্ট কারণ এটির সাথে সম্পর্কিত পি-ভেরিয়েবল বা কিউ-ভেরিয়েবলটি একটিতে সেট করা হয়েছিল (এবং লক্ষ্য করুন যে কোনও একটি জোড় ( i , j ) এর জন্য ঠিক তার মধ্যে একটি সেট করা হয়েছে)। অন্যান্য প্রতিটি অনুচ্ছেদের জন্য, সবকিছু শূন্যে সেট করা আছে। নিহিত ধারণাগুলি যাচাই করা সহজ।$i+j = k$$Q_{ij}$$P_{ij}$$N_i$$(i,j)$

অংশ স্পষ্ট নয় নিম্নোক্ত কারণ প্রতিটি উপাদান জন্য উপরন্তু চেন মনোনীত, নিয়োগ বিবাহকালীন ওজন টি (সব কারণে প্রশ্ন এক সেট হওয়া -variables)। সুতরাং একটি দীর্ঘতর অতিরিক্ত শৃঙ্খলা একটি সস্তা কার্যভারের সাথে সামঞ্জস্য হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে তবে আমি নিশ্চিত যে নিম্নলিখিত পংক্তাগুলির সাথে কোনও প্রমাণের কারণে এটি ঘটবে না: একটি অনুকূল সংযোজন চেইন বিবেচনা করুন এবং মনে করুন যে আরও দীর্ঘতর একটি রয়েছে এটির সাথে সম্পর্কিত একটি ছোট ওজন সন্তুষ্টিজনক কার্য স্পষ্টতই, দীর্ঘ শৃঙ্খলের উপাদানগুলি কমপক্ষে একটিকে সংক্ষিপ্ত থেকে বাদ দেয় - সেই উপাদানটি x হতে দিন । আমি বলতে যে খরচ সঙ্গে যথাযোগ্য ইচ্ছুক $t$$t$$Q$$x$$x$যাইহোক, দীর্ঘ চেইনে ব্যয় করা হয়, এবং বাকি অনুকূল তুলনায়। যাইহোক, আমাকে এটি সাবধানে লিখতে হবে, এবং আমি কেবল মধ্যরাত্রি পরবর্তী সিন্ড্রোম থেকে জিনিসগুলি দেখছি!

Comments

এটি যদি কাজ করে তবে মনে হয় এটি এখনও ঘনিষ্ঠ সময় হবে (যখন এন বাইনারি প্রকাশ করা হয়) কারণ ভেরিয়েবলের সংখ্যাটি পললগ (এন) এর পরিবর্তে N ^ 2 এর সাথে সমানুপাতিক।

— ডেভিড এপস্টিন

হ্যাঁ হ্যাঁ, আমার এটির উপর জোর দেওয়া উচিত ছিল। আমি জেফির এই মন্তব্যটি অনুসরণ করে আনারীতে সম্পর্কে ভাবছিলাম যে এটিও পরিষ্কার নয়। আমি উদাহরণের আকারটি আরও কেটে নেওয়ার বিষয়ে চিন্তা করার পরিকল্পনা করি তবে এই মুহুর্তে এটি ঠিক আছে কিনা তা নিশ্চিত করার জন্য আমি আরও আগ্রহী। যদি এটি হয় তবে আমি মনে করি উন্নতির জন্য ঘরটি রয়েছে ple ঘটনাক্রমে, আপনি আশ্বাসপ্রাপ্ত পদ্ধতিরটি দেখতে পাবেন? $N$

— নীলদারা

আমি দেখছি না যে আপনি বর্ণনা করেছেন এমন প্রতিবন্ধকতা কীভাবে কোনও সমাধানকে কার্যকর হতে বাধ্য করে। সমস্ত আই + জে = এন এবং পি_আইজি = কি_আইজি = 0 সমস্ত আই, জে এর জন্য পি_আইজি = 0 এবং কি_আইজি = 1 সেট করা থেকে আপনাকে কী বাধা দেয়?

— ডেভিড এপস্টিন

$N_i$$P_{ij}$