সংক্ষিপ্ত পথগুলির জন্য অক্ষর

Question

মনে করুন আমাদের একটি অপ্রচলিত ওয়েট গ্রাফ $G = (V, E, w)$ (অ-নেতিবাচক ওজন সহ)। আসুন আমরা ধরে নিই যে $G$ এর সমস্ত সংক্ষিপ্ততম পাথ অনন্য। মনে করুন আমাদের কাছে এই পাথ (নিখরচায় প্রান্তের ক্রম) রয়েছে, তবে নিজেই জানেন না । আমরা কি এমন কোনও উত্পাদন করতে পারি যা বহুগুণে এই পথগুলিকে সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত হিসাবে দেয়? দুর্বল সংস্করণ: আমরা যদি বহুপাক্ষিক সময়ে সিদ্ধান্ত নিতে পারি যে এই জাতীয় উপস্থিত রয়েছে? জিজি$\binom{n}{2}$$G$$G$$G$

সুস্পষ্ট প্রয়োজনীয় শর্তটি হ'ল: প্রতিটি জোড় পথের জন্য তাদের ছেদটিও একটি পথ। এই শর্তটি কি যথেষ্ট?

Comments

আমাকে অবশ্যই ইনপুট সম্পর্কে বিভ্রান্ত হতে হবে: যদি সবচেয়ে ছোট পাথগুলির সংমিশ্রণে একটি চক্রের দুটি, দুটি চূড়া থাকে তবে তাদের মধ্যে দুটি পথ রয়েছে (যা প্রয়োজনে খুব কম) এবং একটি অবশ্যই আপনার দ্বারা অন্যটির চেয়ে ছোট হওয়া উচিত must স্বতন্ত্র অবস্থা$u,v$

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ সুরেশ: আপনি কী পেতে চান তা আমি জানি না। যদি গ্রাফ জি সম্পূর্ণ গ্রাফ হয় তবে যে কোনও দুটি শীর্ষের মধ্যে অনন্যতম সংক্ষিপ্ত পথটি একটি একক প্রান্ত এবং এই সমস্ত সংক্ষিপ্ততম পাথের মিলটি সম্পূর্ণ গ্রাফ।

— Tsuyoshi Ito

আমি মনে করি একটি ভারী গ্রাফটি পুনর্গঠনের জন্য উত্তরটি 'না', কারণ যেহেতু যদি কোনও ইনপুট আপনার ইনপুট থেকে অনুপস্থিত থাকে তবে এটি আসলে (ক) গ্রাফটিতে নিখোঁজ হতে পারে বা (খ) সত্যই উচ্চ ওজনের একটি প্রান্ত হতে পারে। আমি মনে করি ওজন ছাড়াই সংস্করণটি আরও আকর্ষণীয়। এছাড়াও, কেন আমরা গ্রাফটি ভারী এবং আমাদের যে পথগুলি অপ্রত্যাশিত দেওয়া হয়েছে তা সন্ধান করতে চাই?

— আর্টেম কাজনাটচিভ

সংক্ষিপ্ততম পথগুলির একত্রিত হওয়া দিন । একটি কারণ কেন গ্রাফ যে এই একই সবচেয়ে কম পাথ উত্পাদন করবে না? বা, অন্য কথায়, এটি কি এমন নয় যে যদি প্রদত্ত সংক্ষিপ্ততম পাথগুলি সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত পথ না হয় , তবে এমন কোনও গ্রাফ নেই যার জন্য সেগুলি সংক্ষিপ্ততম পথ? এইচ $H$$H$$H$

— সাশো নিকোলভ

@ সাশোনিকোলভ প্রান্তগুলিতে আমাদের কী ওজন নির্ধারণ করা উচিত?

— ইলিয়ারাজ

Answer 1

আলোকিত অনুসন্ধান চালানোর সময় আমি এই পুরানো প্রশ্নটি পেরিয়ে গিয়েছি এবং আমি সম্প্রতি এই পত্রিকায় উত্তর পেয়েছি যা আমিও ভাগ করে নিতে পারি। আমি আশা করি থ্রেড নেক্রোমেন্সি এবং স্ব-প্রচারের সংমিশ্রণটি ক্ষমাযোগ্য।

আমরা কি এমন কোনও জি উত্পাদন করতে পারি যা বহুগুণে এই পথগুলিকে সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত হিসাবে দেয়? দুর্বল সংস্করণ: আমরা যদি বহুপাক্ষিক সময়ে সিদ্ধান্ত নিতে পারি যে এই জাতীয় জি উপস্থিত রয়েছে?

উত্তর উভয় হ্যাঁ। মোহাম্মদ এর অ্যালগরিদম অবশ্যই কাজ করে, তবে একটি দ্রুত এবং আরও সরাসরি পদ্ধতি আছে যা ঘনক বিচ্ছিন্নতা ওরাকলগুলি চালানোর প্রয়োজনকে এড়িয়ে চলে। যাক একটি অক্জিলিয়ারী undirected ভরযুক্ত গ্রাফ, যেখানে প্রতিটি প্রান্ত ওজন হওয়া একটি পূর্ণসংখ্যা নির্দেশ কিভাবে অনেক হয় পাথ ইনপুটের নেয়া হয়নি যে, প্রান্ত ধারণ করে। এখন, (প্রান্তের ওজনকে সক্ষমতা হিসাবে ব্যাখ্যা করা) এর উপরে প্রান্ত-ক্যাপাসিটেড মাল্টিকোমোডিটি প্রবাহের দৃষ্টান্তটি বিবেচনা করুন যেখানে লক্ষ্যটি একযোগে প্রতিটি জোড় নোডের মধ্যে 1 ইউনিট প্রবাহকে ধাক্কা দেয়। স্পষ্টতই, এই এমসি ফ্লো উদাহরণটি ইনপুট প্রদত্ত পথগুলিতে প্রাকৃতিক উপায়ে প্রবাহকে ধাক্কা দিয়ে সন্তুষ্ট হতে পারে। দেখা যাচ্ছে যে কেউ আমাদের করতে পারেই ∈ ই ($H = (V, E, w')$$e \in E$ এইচ ( এন$n \choose 2$$H$ জি$n \choose 2$পাথগুলি কয়েকটি অনন্যতমতম পাথ হয় এবং কেবল যদি এটি হয় এমসির প্রবাহের দৃষ্টান্তটি পূরণ করার অনন্য উপায়। আমরা একটি এলপি স্থাপনের মাধ্যমে স্বতন্ত্রতা পরীক্ষা করতে পারি যার সীমাবদ্ধতাগুলি এমসির প্রবাহ সম্ভাব্যতার জন্য নির্দিষ্ট একটি নির্দিষ্ট সতর্কতার সাথে নির্বাচিত উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনের জন্য এবং এই এলপির দ্বৈত থেকে একটি সন্তোষজনক এর প্রান্তের ওজন বের করা যেতে পারে।$G$$G$

সুস্পষ্ট প্রয়োজনীয় শর্তটি হ'ল: প্রতিটি জোড় পথের জন্য তাদের ছেদটিও একটি পথ। এই শর্তটি কি যথেষ্ট?

এই অবস্থাকে কখনও কখনও "ধারাবাহিকতা" বলা হয় (কোনও দুটিয়ের ছেদ দুটি যদি একে অপরের একটি সাবপথ হয় তবে পাথের সেটটি সামঞ্জস্যপূর্ণ)। এটি উপরের দিক থেকে অনুসরণ করে যে ধারাবাহিকতা যথেষ্ট নয়। দুটি বাঁধা-হ'ল ক্ষুদ্রতম কাউন্টারিক্সের উদাহরণগুলির মধ্যে একটি হ'ল ছয়টি নোডের উপরের চারটি পথের নীচের রঙ-কোডেড সিস্টেম:

অন্য কথায়, এখানে চিত্রিত 8 টি প্রান্তের ওজন নির্ধারণের কোনও উপায় নেই যাতে এই চারটি পথই একই সাথে তাদের শেষ পয়েন্টগুলির মধ্যে স্বতন্ত্রতম সংক্ষিপ্ত পথ হয়। তবে, তাদের যে কোনও জোড়া কেবল একটি নোডের ছেদ করে, তাই এগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণ (এমনকি যদি আমরা additional মোট টি নেওয়ার জন্য সঠিক উপায়ে কয়েকটি অতিরিক্ত পথ পূরণ করি তবে )। এই মত অসীম অনেক পাল্টা উদাহরণ আছে; একটি বৈশিষ্ট্য জন্য কাগজ দেখুন।$n \choose 2$

এই সমস্ত সম্পর্কে আরও তিনটি দ্রুত মন্তব্য:

1. অনাদিকৃত গ্রাফের পরিবর্তে নির্দেশের সেটিংয়ে আপনি সকলের জন্য আশা করতে পারেন এমন অভিন্ন বিবৃতি,
2. এই তত্ত্বটির একটি সুন্দর টপোলজিকাল ব্যাখ্যা রয়েছে যা কীভাবে অনন্যতম সংক্ষিপ্ততম পাথকে কাঠামোগত করা যায় এবং এ সম্পর্কে কিছু অতিরিক্ত অন্তর্দৃষ্টি এবং অন্তর্দৃষ্টি নিয়ে যায়
3. কিছু প্রযুক্তিগত কারণে, তত্ত্বটি ডায়াগ্সের সেটিং-এ অনির্দেশিত বা (চক্র) নির্দেশিত গ্রাফের তুলনায় সহজতর করে তোলে।

Answer 2

আপনি এলপি হিসাবে সমস্যাটি লিখতে পারেন, তাই না? ইউ, ভি এবং যে কোনও পথের পি থেকে ইউ থেকে ভি পর্যন্ত কোনও পথের জন্য, পি এর ওজন আপনার এবং ভি এর মধ্যে প্রদত্ত সংক্ষিপ্ততম পথের ওজনের চেয়ে বেশি বা সমান all এগুলি সমস্ত লিনিয়ার বৈষম্য এবং যদিও সেখানে রয়েছে তাত্পর্যপূর্ণরূপে অনেকগুলি, বিচ্ছেদ সমস্যাটি পি তে হয় (এটি কেবলমাত্র একটি সর্ব-জুটি সংক্ষিপ্ততম পথের সমস্যা)। সুতরাং, আপনি এটির সমাধানের জন্য এলিপসয়েড অ্যালগরিদম ব্যবহার করতে পারেন।