মোবিয়াস ফাংশন গণনা করা হচ্ছে

13

মোবিয়াস ফাংশন , হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি এর একটি গুণক থাকে এবং যদি সমস্ত প্রাইম আলাদা হয়। এটা গনা সম্ভব প্রধানমন্ত্রী গুণকনির্ণয় কম্পিউটিং ছাড়া ? $\mu(n)$ $\mu(1)=1$ $\mu(n)=0$ $n$ $\mu(p_1 \dots p_k)= (-1)^k$ $p_1,\dots,p_k$ $\mu(n)$ $n$

comp-number-theory

— ক্রেগ ফিনস্টেইন
সূত্র

6

আমি মনে করি তিনি কেবল জিজ্ঞাসা করছেন গণনা করার কোনও উপায় আছে যা কোনও অনুকরণ সরবরাহ করার জন্যও জানা যায় না।

μ (n)

$\mu(n)$

— সুরেশ ভেঙ্কট

2

@ কাভেঃ আমি এখানে কম্পিউটেশনাল জটিলতার কথা বলছি না। সুরেশ তার ব্যাখ্যায় সঠিক। এটি নির্ধারণের অনুরূপ যে কোনও সংখ্যা তার কার্যকারিতা নির্ধারণ না করে সম্মিলিত। মোবিয়াস ফাংশনের জন্যও এর মতো কিছু করা যেতে পারে?

— ক্রেগ ফিনস্টেইন

1

আমি মনে করি না এটি একটি আসল প্রশ্ন। আমি ভেবেছিলাম এটি আপনাকে স্মরণ করিয়ে দেওয়া কার্যকর হতে পারে যে আপনি যদি এইগুলির মধ্যে বিজ্ঞাপনগুলির চেষ্টা করার চেষ্টা করেন তবে আমাদের কাছে ক্র্যাঙ্ক-বান্ধব বিষয়গুলির বিরুদ্ধে কড়া নীতি রয়েছে ।

— কাভেহ

3

@ কাভেহ, আমি একটি গুরুতর প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেছি যা 4 টি থাম্বস আপ করেছে? অবশ্যই, আমার উত্তরটি 8 থাম্বস ডাউন হয়েছে, তবে এটি জীবন। আমি আজ অবধি প্রশ্নের উত্তর জানতাম না, তাই আমি উত্তরটি পোস্ট করলাম। আমার কাছে মনে হচ্ছে আপনি আমার কাছে কিছু ধরণের স্বল্প উদ্দেশ্য আছে বলে দাবি করে আমাকে উচ্ছেদ করার চেষ্টা করছেন। আমি আপনাকে আশ্বস্ত করতে পারি যে প্রশ্নের উত্তর পাওয়া ছাড়া আমার আর কোনও আন্তরিক উদ্দেশ্য নেই।

— ক্রেগ ফিনস্টাইন

5

@ কাভেঃ একাধিক ফোরামে ওপি একটি সুপরিচিত ট্রাইসেক্টর। বলেছিল, আপনি কি কখনও তাকে কারও সাথে অভদ্র হতে দেখেছেন? আমি না। তিনি কেবল নিম্ন সীমানা প্রমাণ করার অর্থ কী তা ভুল বোঝে। প্রশ্নটি আমার কাছে বিষয়টি মনে হচ্ছে। একটি প্রবাদ আছে: "এমনকি একটি থামানো ঘড়িও দিনে দু'বার ঠিক is"

— অ্যারন স্টার্লিং

34

আপনার প্রশ্নের একটি উত্তর না দেওয়া হচ্ছে যে স্কয়ার-ফ্রি (একটি সংখ্যা বর্গমুক্ত) নিজেই পি তে জানা যায়নি, এবং এমবিয়াস ফাংশনটি গণনা করা এই সমস্যার সমাধান করবে (যেহেতু একটি বর্গক্ষেত্র নম্বরে )। $\mu(n) \neq 0$

— সুরেশ ভেঙ্কট
সূত্র

7

বর্গ-নির্দ্বিধায়তার জটিলতা নিয়ে আলোচনা করা এমন কোনও কাগজপত্র আপনি জানেন? আমি যা খুঁজে পেতে পারি তা হ'ল dl.acm.org/citation.cfm?id=371327&dl=GUIDE&coll=GUIDE , যা সূত্রের আকারকে নিম্ন সীমা দেয়। ম্যাথওভারফ্লো . नेट / সেকশনস / ১60০ 8৮/২ এর দিকে তাকিয়ে , আমি মনে করি এটি ফ্যাক্টরিংকে স্কোয়ার নির্দ্বিধায় কমিয়ে আনতে পারে কিনা সে সম্পর্কে খুব বেশি কিছু জানা যায়নি।

— সাশো নিকোলভ

15

অন্য কোনও উত্তর না দেওয়ার জন্য আপনি সার্নাকের অনুমানের প্রতি আগ্রহী হতে পারেন (উদাহরণস্বরূপ http://gilkalai.wordpress.com/2011/02/21/the-ac0-prime-number-conjecture/ , http: //rjlipton.wordpress .com / 2011/02/23 / গভীরতা-এর-মবিয়াস-ফাংশন / , /mathpro/57543/walsh-fourier-transfor-of-the-mobius-function ) মূলত এমবিয়াস ফাংশনটি কোনও "সরল" বুলিয়ান ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত নয় বলে উল্লেখ করে। যখন "সরল" বহুপদী সময় হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয় তখন এটি ধরে রাখা আশা করা অযৌক্তিক নয়। আমরা এখন অবধি যা জানি তা অনুমানটি গাণিতিক ফাংশন ( বেন গ্রিন দ্বারা প্রমাণিত ), এবং সমস্ত মনোোটোন ফাংশন ( জিন বারোগাইন দ্বারা প্রমাণিত ) ধারণ করে । $\mathrm{AC}^0$

— এমিল জেবেক
সূত্র

4

আমি মনে করি এটি বেন গ্রিন পেপার: arxiv.org/abs/1103.4991

— সুরেশ ভেঙ্কট

0

প্রচণ্ড ফাংশনটির মান সম্পর্কিত পুনরাবৃত্ত সূত্রগুলির মধ্যে একটি হ'ল যোগ_ তবে But জন্য আমাদের চলমান মানগুলি জানতে হবে । সুতরাং এখানে আমরা ছোট ছোট ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সাথে বিভাজক করছি , যখন এর বর্গক্ষেত্র থাকে তখন সেগুলি গুণক কিনা তা আমাদের জানতে হবে না ! ( ), তবে এখনও এটি উপসংহারে আমাদের এর কারণগুলি জানতে হবে !! সুতরাং আমাদের আছে:

\sum_{m \leq n} ⌊ \frac{n}{m} ⌋ μ (m) = 1.

$\sum_{m \leq n} \left\lfloor \dfrac {n}{m} \right\rfloor \mu (m) = 1.$

μ (n)

$\mu(n)$

m < n

$m < n$

μ (n) = 1 - \sum_{m < n} ⌊ \frac{n}{m} ⌋ μ (m) .

$\mu (n) =1-\sum_{m < n} \left \lfloor \dfrac {n}{m}\right \rfloor \mu (m) .$

n

$n$

m < n

$m<n$

n

$n$

m

$m$

μ (m) = 0

$\mu(m)=0$

m

$m$

\begin{aligned} μ (n) = & 1 - \sum_{a_{1} < n} ⌊ \frac{n}{a_{1}} ⌋ \\ + & \sum_{a_{1} < n} ⌊ \frac{n}{a_{1}} ⌋ \sum_{a_{2} < a_{1}} ⌊ \frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋ \\ - & \sum_{a_{1} < n} ⌊ \frac{n}{a_{1}} ⌋ \sum_{a_{2} < a_{1}} ⌊ \frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋ \sum_{a_{3} < a_{2}} ⌊ \frac{a_{2}}{a_{3}} ⌋ + \dots \end{aligned}

$\begin{align} \mu(n)=&1-\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \\ +&\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \sum_{a_2< a_1} \left \lfloor \dfrac {a_1}{a_2}\right \rfloor \\ -&\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \sum_{a_2< a_1} \left \lfloor \dfrac {a_1}{a_2}\right \rfloor \sum_{a_3< a_2} \left \lfloor \dfrac {a_2}{a_3}\right \rfloor + \cdots \end{align}$ this সূত্রটির প্রমাণের জন্য এই কাগজটি দেখুন: https://projecteuclid.org/euclid.mjms/1513306829

— হুন্ডে এবা
সূত্র

আমি আপনার উত্তর পছন্দ। দুর্ভাগ্যক্রমে আমার নিবন্ধটিতে অ্যাক্সেস নেই। আমি n এর কারণগুলি জানার জন্য আপনার সাথে বিতর্ক করব: ধরুন । সেই সূত্রটি ব্যবহার করে, 5 দ্বারা বিভাজক করে, দীর্ঘ বিভাজন ব্যবহার করে, আপনি দেখতে পান যে 24 গুণ 5 বাকী 0 এর সাথে 120 সমান হয়, সুতরাং 120/5 এর বৃহত্তম সংখ্যার ফাংশন গণনা করার প্রক্রিয়ায়, কেউ খুঁজে পান যে 5টি 120 এর একটি উপাদান, এমনকি সূত্রটি কাজ করার জন্য যদিও এই সত্যটি জানা দরকার।

n = 120

$n=120$

— ক্রেগ ফিনস্টাইন

সম্পাদিত সংস্করণ পরীক্ষা করুন !! @ ক্রেইগ

— হুন্ডে এবা

-22

$n=p_1 \dots p_k$ $p_j$

μ (n) = μ (p_{1} \dots p_{k}) = μ (p_{1}) \dots μ (p_{k}) .

$\mu(n)=\mu(p_1 \dots p_k)=\mu(p_1)\dots \mu(p_k).$

μ (n)

$\mu(n)$

μ (p_{j})

$\mu(p_j)$

p_{j}

$p_j$

p_{1} \dots p_{k}

$p_1 \dots p_k$

n

$n$

এখানে একটি সাদৃশ্য রয়েছে: একটি জারে কোনও বিজোড় বা এমনকি জেলি মটরশুটি রয়েছে কিনা তা জানতে, অবশ্যই জেলি মটরশুটি গণনা করতে হবে। এই কারণেই কোনও সংখ্যার মোবিয়াস ফাংশন গণনা করার জন্য আপনাকে অবশ্যই একটি সংখ্যার প্রাথমিক গুণনীয়কটি গণনা করতে হবে, যখন এটি কোনও বর্গ দ্বারা বিভাজ্য নয়। তবে এক জারে একাধিক জেলি শিম রয়েছে তা জানতে, জারের জেলি শিমের কোনওটি পরীক্ষা করার প্রয়োজন নেই। একজন কেবল জার কাঁপিয়ে শুনতে পারে যে একাধিক জেলি শিম রয়েছে। এজন্য আপনাকে সংখ্যার মিশ্রণ জানতে কোনও সংখ্যককে ফ্যাক্ট করতে হবে না। ফার্মার লিটল উপপাদ্যের মতো অ্যালগরিদমগুলি এটির সংমিশ্রিত তা জানতে "সংখ্যাটি ঝাঁকিয়ে" দেয়।

$n$ $n$ $n$ $n$ $n$ $n$ $\mu(n)=0$ $n$

— ক্রেগ ফিনস্টেইন
সূত্র

6

@ ক্রেইগ এটি এখনও ভুল। পিটার শর যেমন বলেছিলেন তেমন আপনি যৌগিক পরীক্ষার সমস্যার জন্য একই (ভ্রান্ত) যুক্তিটি ব্যবহার করতে পারেন। আপনি মূলত আপনার সমস্যার জন্য একটি অ্যালগরিদম দিচ্ছেন এবং বলেছেন যে এটি এগিয়ে যাওয়ার একমাত্র উপায় way কোনও সমস্যা সমাধানের জন্য একটি সুস্পষ্ট অ্যালগরিদম সর্বোত্তম যেটি দেখানো জটিলতা তত্ত্বের অন্যতম বড় চ্যালেঞ্জ।

— মাইকেল ব্লন্ডিন 21

6

n \times n

$n \times n$

(A B)_{i, j} = \sum_{k = 1}^{n} A_{i, k} \cdot B_{k, j}

$(AB)_{i,j} = \sum_{k=1}^n A_{i,k} \cdot B_{k,j}$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2.807})

$O(n^{2.807})$

14

পুনরায় "একটি জারে একটি বিজোড় বা এমনকি জেলি মটরশুটি সংখ্যা আছে কিনা তা জানতে, অবশ্যই জেলি মটরশুটি গণনা করতে হবে।" - এমনকি এটি সত্য নয়। আপনি এগুলি জোড়ায় টেনে আনতে পারেন (আমার জন্য এটি একটি আপনার জন্য ...) বাস্তবে সেগুলি গণনা ছাড়াই আপনি যাচ্ছেন। তারপরে যখন আপনি টানতে জোড়া ছুঁড়েছেন, তখন আপনার শূন্য বা একটি বাকি আছে এবং আপনি সাম্যটি জানেন।

— ডেভিড এপস্টিন

12

M

$M$

6

ক্রেগ, প্রাইমগুলিতে এটি ফ্যাক্টর না করে , হ্যাঁ, পূর্ণসংখ্যার বর্গমূলকে গণনা করে (ফ্যাক্টরিংয়ের বিপরীতে বহুগুণে গণনাযোগ্য হিসাবে পরিচিত) এটি 69 ^ 2। আমার 69 টি ফ্যাক্টর লাগবে না do আপনার মটরশুটি যুক্তি থেকে বোঝা যায় যে ফ্যাক্টরিং বাধ্যতামূলক since

— sdcvvc