ম্যাট্রিক্স-গুণ গুণফলের সংজ্ঞা

Question

স্বতঃস্ফূর্তভাবে, ম্যাট্রিক্স-গুণ গুণটির সংজ্ঞা $\omega$ এমন একটি ক্ষুদ্রতম মান যার জন্য একটি ज्ञিত$n^{\omega}$ ম্যাট্রিক্স-গুণিত অ্যালগরিদম রয়েছে। এই এত আমি প্রযুক্তিগত সংজ্ঞা সর্বাঙ্গে infimum ভালো কিছু, একটি আনুষ্ঠানিক গাণিতিক সংজ্ঞা যেমন গ্রহণযোগ্য নয় $t$ মধ্যে একটি ম্যাট্রিক্স-গুণ অ্যালগরিদম অস্তিত্ব আছে যেমন যে $n^t$ ।

এই ক্ষেত্রে, আমরা বলতে পারি না যে ম্যাট্রিক্স-গুণ জন্য একটি অ্যালগরিদম আছে $n^{\omega}$ বা এমনকি $n^{\omega + o(1)}$ নিছক যে সব জন্য $\epsilon > 0$ সেখানে একটি আলগোরিদিম বিদ্যমান $n^{\omega + \epsilon}$ । প্রায়শই, কাগজপত্র এবং ফলাফল যা ম্যাট্রিক্স-গুন ব্যবহার করে তাদের ব্যয়কে কেবল হিসাবে প্রতিবেদন করবে $O(n^{\omega})$।

সেখানে কিছু বিকল্প সংজ্ঞা নেই $\omega$ যে এই ব্যবহার অনুমতি দেয়? কোন ফলাফল যে গ্যারান্টি সেই সময় একজন অ্যালগরিদম হয় $n^{\omega}$ বা $n^{\omega + o(1)}$ থাকা আবশ্যক? বা ব্যবহারের হয় $O(n^{\omega})$ কেবল পঙ্কিল?

Comments

আপনি শুধু একটি কালো বাক্স যেমন ম্যাট্রিক্স গুণ ব্যবহার করতে চান তাহলে, সবচেয়ে সহজ উপায় বলে "যাক হয় আমরা পারি যে সংখ্যাবৃদ্ধি যেমন হতে এন × এন সঙ্গে -matrices হে ( ঢ ω ) গাণিতিক অপারেশন"। অবশ্যই, ω ম্যাট্রিক্স গুণ এর এক্সপোনেন্ট তারপর নয়, কিন্তু ইচ্ছামত ঘনিষ্ঠ হতে পারে। আপনি দশমিক প্রতিনিধিত্ব আপনার চূড়ান্ত চলমান এক্সপোনেন্ট রাষ্ট্র করতে চান তাহলে, বর্তমানে আপনার বৃত্তাকার যাহাই হউক না কেন করতে হবে, যেহেতু সব nontrivial অনুমান ω যে আমি হয় যুক্তিহীন সংখ্যা বা অসীম সিকোয়েন্স সচেতন নই। $\omega$$n \times n$$O(n^\omega)$$\omega$$\omega$

— মার্কাস ব্লজার

সাধারণত সব reals উপর infimum হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় ট জন্য এন যাচ্ছে ∞ যেমন একটি নেই হে ( ঢ ট ) সময় অ্যালগরিদম যে তা বৃদ্ধি পায় দুই এন × এন ম্যাট্রিক্স (যেখানে সময় সংযোজন, multiplications এবং বিভাগের সংখ্যা অন্তর্নিহিত ক্ষেত্র)। এর অর্থ হ'ল প্রযুক্তিগতভাবে আমাদের সর্বদা n ω + o ( 1 ) লেখা উচিততবে এটি অগোছালো হয়ে যায়, সুতরাং যখন আপনি ও ( এন ω ) দেখেন তখন আপনাকে ও ( এম ( এন ) মনে করা উচিত$\omega$$k$$n$$\infty$$O(n^k)$$n\times n$$n^{\omega+o(1)}$$O(n^\omega)$ যেখানে এম ( এন ) হ'ল ম্যাট্রিক্স গুণিত অ্যালগরিদমের রানটাইম। $O(M(n))$$M(n)$

— কুমারী

Answer 1

ম্যাট্রিক্সের গুণক এক্সপোশনটি হওয়ার গ্যারান্টি দেয় না যে সময় ও ( এন ω ) সময়ে চলে এমন একটি অ্যালগোরিদম রয়েছে তবে কেবলমাত্র প্রতিটি ϵ > 0 এর জন্য একটি অ্যালগরিদম রয়েছে যা হে ( এন ω + ϵ ) এ চলে । প্রকৃতপক্ষে আপনি যদি কোনও অ্যালগরিদম খুঁজে পেতে পারেন যা সময়ে হে ( এন 2 পি ও এল ই এল ও জি ( এন ) ) এ চলে , তবে এটি দেখায় যে ω = 2 ।$\omega$$O(n^\omega)$$\epsilon > 0$$O(n^{\omega+\epsilon})$$O(n^2 \mathrm{polylog}(n))$$\omega = 2$

পিটার বার্গিজার, মাইকেল ক্লাউসেন, আমিন শোক্রোলাহী রচিত অ্যালজেব্রেইক কমপ্লেক্সিটি থিওরি বইতে আপনি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞাটি পেতে পারেন।

Answer 2

একটি ছোট্ট মন্তব্য যা মন্তব্য করতে খুব দীর্ঘ:

কখনও কখনও আপনার যখন সমস্যা হয় যার জন্য প্রতি ϵ > 0 এর জন্য চলমান সময় সাথে একটি অ্যালগরিদম থাকে, সেখানে চলমান সময় এন কে + ও ( 1 ) সহ একটি অ্যালগরিদম থাকে ।$O(n^{k+\epsilon})$$\epsilon>0$$n^{k+o(1)}$

উদাহরণস্বরূপ, কখনও কখনও আপনি আলগোরিদিম যে ভালো হয়ে যেতে পেতে কিছু দ্রুত বর্ধনশীল ফাংশন জন্য চ (যেমন 2 2 1 / ε )। আপনি যদি f ( 1 / ϵ ) সেট করে (বলুন) লগ এন করেন , তবে ϵ o (1) হবে। সঙ্গে উদাহরণে চ ( 1 / ε ) হচ্ছে 2 2 1 / ε , আপনি নির্বাচন করতে পারবেন 1 /$f(1/\epsilon)n^{k+\epsilon}$$f$$2^{2^{1/\epsilon}}$$f(1/\epsilon)$$\log n$$\epsilon$$f(1/\epsilon)$$2^{2^{1/\epsilon}}$$1/\epsilon$হতে , যা ϵ = 1 / ( লগ লগ লগ এন ) দেয় যা ও (1)। তাই এই অ্যালগরিদম চূড়ান্ত চলমান সময় হতে হবে এন k + + ণ ( 1 ) , যেহেতু লগ এন হয় এন ণ ( 1 ) ।$\log \log \log n$$\epsilon = 1/ (\log \log \log n)$$n^{k+o(1)}$$\log n$$n^{o(1)}$

Comments

আমি কল্পনা করি যে কপারসমিথ-উইনোগ্রাড অ্যালগোরিদম এই বিভাগে আসে?

— ডেভিড হ্যারিস

@ ডেভিড হারিস: এটি সম্পর্কে জানেন না। হতে পারে যে কেউ অ্যালগরিদম বোঝে সে সম্পর্কে কিছুটা আলোকপাত করতে সক্ষম হতে পারে। আমি কেবল বলতে চেয়েছিলাম যে প্রায়শই দেখতে যত খারাপ লাগে ততটা খারাপ হয় না। $O(n^{k+\epsilon})$

— রবিন কোঠারি

Answer 3

এটি কপারস্মিথ এবং উইনোগ্র্যাডের ফলাফলটি সুপরিচিত যে সময় কোনও একক অ্যালগরিদম দ্বারা উপলব্ধি করা যায় না। তবে আমি পড়েছি যে তারা স্ট্র্যাসেনের মতো বিলিনিয়ার পরিচয়ের উপর ভিত্তি করে অ্যালগরিদমগুলিতে সীমাবদ্ধ ছিল, তাই কাগজটি পে-ওয়ালয়ের পিছনে রয়েছে বলে আমি নিশ্চিতভাবে জানি না।$O(n^{\omega})$

Answer 4

আমি প্রশ্ন যে আপনার বক্তব্যের সঙ্গে একমত না না করে ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় "ক্ষুদ্রতম মান, যার জন্য একটা পরিচিত এন ω ম্যাট্রিক্স-গুণ অ্যালগরিদম।" লোকেরা যখন এই ধ্রুবকটি ব্যবহার করে, এটি হ'ল কারণ তাদের অ্যালগোরিদম একটি ম্যাট্রিক্সের গুণায় নির্ভর করে এবং একটি জটিলতা n ω এর দ্বারা তারা বোঝায় "আমাদের অ্যালগরিদমের সর্বোত্তম জটিলতা ম্যাট্রিক্স গুণণের জন্য অনুকূল অ্যালগরিদম দ্বারা দেওয়া হয়েছে।"$\omega$$n^ω$$n^\omega$

আমি বলছি না যে এটি সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব নয় অন্যথায় (যেমন বলা হচ্ছে ω সর্বোত্তম অর্জনযোগ্য জটিলতা)।$\omega$$\omega$

বিটিডব্লিউ, ম্যাট্রিক্স গুণনের জন্য সবচেয়ে ভাল উন্নত করা হয়েছে যদি আমার ভুল না হয়। $2.3737$

Comments

আমি দেখছি না যে মানব জ্ঞান কীভাবে একটি গাণিতিক সংজ্ঞা হতে পারে

— ডেভিড হ্যারিস

সাম্প্রতিক অভিজ্ঞতা থেকে দেখা যায় যে বর্তমানে মানবজাতির দ্বারা পরিচিত সমস্ত অ্যালগরিদমের চেয়ে সমস্ত অ্যালগরিদমের তুলনায় পরিমাণ নির্ধারণ করা অনেক সহজ ;-)

— মার্কাস ব্লাউজার