বহুবর্ষীয় সময়ে ন্যূনতম প্রস্থের গাছের পচে যাওয়া হ্রাস করা

যেমনটি সুপরিচিত, একটি গ্রাফ এর একটি গাছের প্রতিটি বৃক্ষের সাথে সম্পর্কিত ব্যাগ সহ একটি গাছ ধারণ করে , যা নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করে: $G$ $T$ $T_v \subseteq V(G)$ $v \in V(T)$

প্রতিটি ভার্টেক্স কিছু ব্যাগে ঘটে । $G$ $T$
প্রতিটি প্রান্তের জন্য প্রান্তের উভয় প্রান্তযুক্ত একটি ব্যাগ রয়েছে। $G$
প্রত্যেক প্রান্তবিন্দু জন্য , ধারণকারী ব্যাগ এর একটি সংযুক্ত সাবট্রি রাজি করানো । $v \in V(G)$ $v$ $T$

আমরা নিম্নলিখিত শর্ত বলা দাবিতে পারে দীনতা আমাদের পচানি থেকে:

ব্যাগ প্রতিটি যুগল জন্য , এর , যদি এবং সঙ্গে , তারপরে হয় ক) -তে -শীর্ষস্থান-বিচ্ছিন্ন পাথ রয়েছে , বা খ) গাছ নোড থেকে নোড পর্যন্ত একটি প্রান্ত রয়েছে যা $T_a$ $T_b$ $T$ $A \subseteq T_a$ $B \subseteq T_b$ $|A| = |B| = k$ $k$ $A-B$ $G$ $T$ $pq$ $a$ $b$ এবং সেট সমস্ত পাথছেদ করে। $|V(T_p) \cap V(T_q)| \leq k$ $V(T_p) \cap V(T_q)$ $A-B$ $G$

রবিন টমাস দেখিয়েছেন সবসময় একটি সর্বনিম্ন প্রস্থ গাছ পচানি যা চর্বিহীন, এবং এই আসলে সহজ প্রমাণাদি উদাহরণস্বরুপ, কয়েক লেখক দ্বারা প্রদান করা হয়েছে যে প্যাট্রিক Bellenbaum & Reinhard Diestel ।

গ্রাফ দেওয়া কি আমি আগ্রহী নিম্নোক্ত এবং কমপক্ষে-চওড়া গাছ পচানি , আমরা একটি সর্বনিম্ন প্রস্থ জানতে পারেন চর্বিহীন বৃক্ষ পচানি বহুপদী সময়? $G$ $G$ $G$

উল্লিখিত দুটি প্রমাণ যেমন দক্ষ গঠনমূলক ফল দেয় না। বেলেনবাউম এবং ডিয়েস্টেলের গবেষণাপত্রে উল্লেখ করা হয়েছে যে, "টমাসের উপপাদ্যের আরও একটি (আরও গঠনমূলক) সংক্ষিপ্ত প্রমাণ পি। বেলেনবাউমে, স্ল্যাঙ্ক বাউমজারগুঞ্জেন ভন গ্রাফেন, ডিপ্লোমারবিট, ইউনিভার্সিটি হামবুর্গ 2000 এ দেওয়া হয়েছে।" হায়রে, আমি পাণ্ডুলিপিটি অনলাইনে সন্ধান করতে পারিনি এবং আমার জার্মানও এত বড় নয়।

— বার্ট জ্যানসেন
সূত্র

দুর্দান্ত প্রশ্ন। ন্যূনতম-প্রস্থের গাছের পচনের সন্ধান করা এনপি-হার্ড তাই আপনার সমস্যাটি কিছুটা খারাপ-পোজযুক্ত (এটি প্রদর্শিত হচ্ছে)। আমার অনুমানটি হ'ল যে কেউ আবদ্ধ ট্রিউইথের ক্ষেত্রে বা আনুমানিক অর্থে এটি জিজ্ঞাসা করতে পারে।

— চন্দ্র চেকুরি

কিন্তু তার ক্ষেত্রে সে এর দেওয়া একটি মিনিট-চওড়া গাছ পচানি এবং তিনি তা চর্বিহীন করতে একটি আলগোরিদিম চায়।

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ সুরেশভেঙ্কট: আমি বুঝতে পারি যে তাকে ন্যূনতম প্রস্থের গাছের পচা দেওয়া হয়েছে তবে আপনি কীভাবে যাচাই করতে পারেন যে এটি সঠিক? তদ্ব্যতীত, একটি পাতলা গাছের পঁচন গ্রাফের বিভিন্ন অংশের গাছের প্রস্থের সাথে স্থানীয়ভাবে খাপ খায় তাই বৈশ্বিক গ্রাফের একটি গাছের পচন যা সর্বোত্তম, স্থানীয় টুকরোগুলির বৃক্ষের প্রশস্ততা খুঁজে পাওয়ার সমস্যাটি এড়াতে পারে না is

— চন্দ্র চেকুরি

মসৃণ গাছের পচন (যেখানে সমস্ত ব্যাগের আকার একই এবং দুটি সংলগ্ন ব্যাগ হ'ল এক পর্বের সাথে পৃথক থাকে) সাধারণ গাছের পচনগুলির তুলনায় হ্যান্ডেল করা অনেক সহজ এবং এটি সহজেই দেখা যায় যে সর্বদা একটি সর্বনিম্ন প্রস্থের গাছের পচন যা মসৃণ থাকে । সুতরাং সম্ভবত আপনি এগুলির মধ্যে পরিচিত একটি নির্মাণকে সীমাবদ্ধ করে একটি দক্ষ নির্মাণ পেতে পারেন। কি সর্বদা নূন্যতম প্রস্থের গাছের পচন থাকে যা মসৃণ এবং হাতা?

— দিয়েগো ডি এস্ট্রাদ 20

@ চন্দ্রচেকুরী আমার ধারণা আপনি যাচাইয়ের সমস্যা হিসাবে অভিহিত করলে যাচাইকরণের সমস্যাটি চলে যায় তবে আমি একটি গাছের পচন হওয়ার বিষয়ে আপনার বক্তব্যটি অগত্যা আপনাকে অভিযোজন করার জন্য পর্যাপ্ত তথ্য না দেওয়াকে দেখছি। তবে নিম্নলিখিত প্রশ্নটি প্রশংসনীয় হতে পারে: গাছের প্রশস্ততা বৃদ্ধি না করে কোনও গাছের পঁচনকে "পাতলা" করার জন্য স্থানীয়ভাবে কোনও উপায় আছে?

— সুরেশ ভেঙ্কট 20

পি = এনপি না থাকলে সমস্যাটি বহু-সময়ের সমাধানযোগ্য না হওয়ার একটি আনুষ্ঠানিক কারণ এখানে। আমরা জানি যে প্রদত্ত গ্রাফের গাছের প্রস্থ খুঁজে পাওয়া এনপি-হার্ড। গ্রাফ দেওয়া আমরা আকারের একটি অসংলগ্ন করা উপদল যোগ করতে পারেন একটি নতুন গ্রাফ তৈরি করতে । একটি মিনিট-চওড়া বৃক্ষ-পচানি নিম্নরূপ প্রাপ্ত করা যাবে: এটা চক্রের সব নোড এবং অন্যান্য সব নোড ধারণকারী ধারণকারী এক ব্যাগ দুটি নোড হয়েছে । এখন এই গাছ পচানি চর্বিহীন মূল গ্রাফ একটি বন্ধ্যা-ট্রি পচানি খোঁজার করতে হবে উপার্জন যা হবে, একটি উপজাত দ্রব্য, এর treewidth দিতে যেমন । $G$ $V(G)+1$ $G'$ $G'$ $G$ $G$ $G$

— চন্দ্র চেকুরী
সূত্র

ভাল যুক্তি. পাতলা গাছের পচন রচনার জন্য প্যারামিটারাইজড এবং / অথবা মাঝারিভাবে ক্ষতিকারক সময় অ্যালগরিদম সম্পর্কে কিছু জানা থাকলে আপনি কি জানেন?

— বার্ট জানসেন