একটি প্রিপ্রোসেসড পলিহেড্রন এবং একটি বিমান পৃথককরণ

পলিহেডর বিচ্ছিন্নতা সম্পর্কে ডবকিন এবং কিরকপ্যাট্রিকের কাগজে এক ধাপ বুঝতে আমার গুরুতর সমস্যা হচ্ছে। আমি এই সংস্করণটি বোঝার চেষ্টা করছি: http://www.cs.princeton.edu/~dpd/Papers/SCG-09-invited/old%20papers/DPD+Kirk.pdf

এটা তোলে যুক্তি দেন যে আমরা শ্রেষ্ঠ বিচ্ছেদ জানেন পর এবং , দ্বারা নিরূপিত এবং , আমরা শ্রেষ্ঠ বিচ্ছেদ জানতে পারেন এবং এ ধাপ। এটি নিম্নলিখিত উপায়ে করা হয়। আমরা বিমানে সমান্তরাল নিতে মাধ্যমে কাটা এটা দিয়ে দুটি। এক দিকে, নিকটস্থ বিন্দু হল $P_{i}$ $S$ $r_i$ $s_i$ $P_{i-1}$ $S$ $O(1)$ $S$ $r_i$ $P_{i-1}$ $S$ $r_i$ এবং অন্যদিকে আমাদের কাছে একটি `` প্রাথমিক '' পলিহেড্রন রয়েছে যা আমরা সময়ে যাচাই করতে পারি । আমার সমস্যাটি হ'ল - আমরা এই প্রাথমিক পলিহেড্রনটিকে কীভাবে খুঁজে পাই? লক্ষ্য করুন ডিগ্রী এ সীমাবদ্ধ হতে পারে। $O(1)$ $r_i$ $P_{i-1}$

পৃষ্ঠা 9 থেকে থিম 5.1 প্রমাণ করার জন্য পিডিএফ-তে তারা পৃষ্ঠা 4 থেকে থিম 3.1 ব্যবহার করে, যা পুরো জিনিসটিকে অনুসরণ করা আরও শক্ত করে তোলে।

ds.algorithms cg.comp-geom

— domotorp
সূত্র

আমি সত্যিই আশ্চর্য হয়েছি যে আমি যদি জেফির উত্তরটি আমার কাছে পরিষ্কার না হয় এবং তার উত্তরের একটি মন্তব্যে আমি যে বিবরণে একটি অনুগ্রহ প্রদান করি তবে আমি তার সাথে আমার সমস্যাটি নির্দিষ্ট করেছি, তবে লোকেরা কেন আমার উত্তর না দিয়েই তার উত্তরটিকে সমর্থন করে চলেছে? প্রশ্ন? এছাড়াও, আমি ভাবছি, তার উত্তরটি কি স্বয়ংক্রিয়ভাবে অনুগ্রহ পাবে?

— ডোমোটরপ

একটি আপভোট ইঙ্গিত দেয় যে উত্তরটি কিছু মূল্য দেয়, যা এটি করেছিল! ঠিক আপনি যা চেয়েছিলেন তা ঠিক নয় প্রকৃতপক্ষে, আপনার প্রয়োজনীয় উত্তরটি সাধারণ পরামর্শটির সংশোধন হিসাবে উপস্থিত হয়েছিল। এছাড়াও, কেন অন্য কারও উদ্বেগ নিয়ে উদ্বেগ?

— সুরেশ ভেঙ্কট

উত্তর:

উত্তর আপডেট হয়েছে এবং স্ক্র্যাচ থেকে নতুন করে লেখা।

আপনাকে একটি পলিটপ দেওয়া হবে । পি-তে ডবকিন-কিরকপ্যাট্রিক হায়ারার্কি চালান This এটি আপনাকে পলিটপস অনুক্রম দেয় । দিন অনুমান আপনার উপর নিকটতম বিন্দু এটি চাই একটি ক্যোয়ারী বিন্দু । নিকটস্থ বিন্দু কম্পিউটিং দ্বারা মৌলিক অ্যালগরিদম শুরু থেকে উপর , তারপর এটি সব নতুন অঞ্চলে (তাঁবু) সংলগ্ন বিবেচনায় , নিকটতম বিন্দু এটি থেকে $P$ $P_1 \subseteq P_2 \subseteq \ldots \subseteq P_k = P$ $P$ $q$ $c_1$ $q$ $P_1$ $c_1$ $c_2$ $q$ এই নতুন অঞ্চলে, এবং আমরা না পৌঁছানো পর্যন্ত এই ফ্যাশনটিতে চালিয়ে যান । $P_k$

এখন, যদি কোন প্রান্তে থাকে, তবে কোনও সমস্যা নেই - কেবল দুটি তাঁবু এই প্রান্তটি স্পর্শ করতে পারে বা তাদের মধ্যে কেবল একটিই প্রান্তটি coverেকে দিতে পারে। যেমন আপডেট হিসাবে থেকে এই ক্ষেত্রে ধ্রুবক সময় লাগে। $c_i$ $c_{i+1}$ $C_i$

সুতরাং সমস্যাটি যখন উচ্চ ডিগ্রির এক প্রান্তে থাকে, কারণ তখন যাওয়ার সময় এটি সংলগ্ন নতুন নতুন তাঁবুগুলি বড় হতে পারে। এটিকে কাটিয়ে উঠতে, আমরা কম ডিগ্রিধারী বিশৃঙ্খলার সংগ্রহ হিসাবে একটি বৃহত ডিগ্রি ভার্টেক্স অনুকরণ করতে যাচ্ছি। বিশেষ করে, প্রতিটি পর্যায়ে, যদি একটি প্রান্তবিন্দু উপর মিথ্যা , আমাদের মনে পড়ছে করতে যাচ্ছি পরপর দুই প্রান্ত সংলগ্ন , যেমন যে নিকটস্থ বিন্দু মধ্যে $c_i$ $P_{i+1}$ $c_i$ $v$ $e_i, e_i'$ $v$ $q$ $P_{i+1}$ একটি তাঁবুতে অবস্থিত যা হয় সংলগ্ন বা এই দুটি প্রান্তের একটিতে coversেকে ফেলেছে। যেমন, আমরা স্থির সময়ে প্রয়োজনীয় গণনা করতে পারি।

সুতরাং আমরা উপরে উঠার সাথে সাথে এই দুটি প্রান্তকে কীভাবে ট্র্যাক করব সে সমস্যাটি নিয়েই আমরা রয়েছি।

যে প্রতি প্রান্তবিন্দু জন্য কাজের জন্য, precompute এর একটি স্পর্শক দিক । যাক উত্তল বহুভুজ যে প্রান্তবিন্দু চিত্রে হতে বহুভুজ জন্য (সমতল প্রান্তবিন্দু চিত্রে সংজ্ঞা সঙ্গে হয়েছে দিক স্বাভাবিক )। ধারণার দিক থেকে, $v$ $P$ $t_v$ $Q_i(v)$ $v$ $P_i$ $t_v$ $Q_1(v), Q_2(v), ..., Q_k(v)$ 2 ডি ডিজার হায়ারার্কির মতো আচরণ করে। যদি এর নিকটতম বিন্দু থেকে একটি প্রান্তবিন্দু উপর মিথ্যা তারপর এই অনুরূপ এবং সংলগ্ন প্রান্ত মধ্যে , যেখানে প্রান্ত ছেদ করে এ প্রান্তবিন্দু চিত্র সমতল । উপর নিকটতম বিন্দু যদি থেকে উপর একটি প্রান্ত মিথ্যা , তাহলে আপনি দুই সংলগ্ন প্রান্ত স্মরণ যে দুই ছেদচিহ্ন সংজ্ঞায়িত এখানে ( $Q_i(v)$ $q$ $w$ $v$ $e$ $P_i$ $e$ $w$ $Q_i(v)$ $q$ $e'$ $P_i$ $e'$ জন্যে $e'$ )। $Q_i(v)$

এবং এখন আমরা সম্পন্ন করেছি ... প্রকৃতপক্ষে, যদি তবে আমরা স্থির সময়ে এটি আপডেট করতে পারি (যেহেতু এটি কেবল একটি 2 ডি ডি ক্রমিক)। অন্যদিকে যদি উপর এখন আর নেই তারপর এটি একটি নতুন তাঁবু যে সংলগ্ন নয় অথবা পূর্ববর্তী বিন্দু জুড়ে অন্তর্গত নয় । উভয় ক্ষেত্রেই আমরা স্থির সময়ে এটি আপডেট করতে পারি। $c_{i+1}$ $Q_{i+1}(v)$ $c_{i+1}$ $Q_{i+1}(v)$ $c_{i}$

— সারিল হার-প্লেড
সূত্র

আপডেট উত্তর। এটি এখন কোনও অর্থবোধ করে কিনা দেখুন। এই তথ্য-কাঠামোটি সম্পর্কে আমি এভাবেই চিন্তা করি। কাগজে কী আছে তার সাথে এর কোনও সম্পর্ক নেই।

— সারিল হার-পিলড

আমি এখন বুঝতে পারছি, আপনাকে ধন্যবাদ! সুতরাং কৌশলটি হ'ল আমরা শুরুতে স্পর্শকাতর দিকটি বেছে নিই এবং পুরো সময় তাদের অপরিবর্তিত রাখি! আমি আমার আগের মন্তব্যগুলি মুছে ফেলেছি যা আপনার পুরানো উত্তরের সাথে সম্পর্কিত ছিল। আরও একবার ধন্যবাদ!

— ডোমোটরপ

হ্যাঁ. সাহায্য করতে পারলে খুশি!

— সারিল হার-পিলড

$P$ $r_i$ $P_{i-1}$

ডবকিন-কিরকপ্যাট্রিকের শ্রেণিবিন্যাসের সংজ্ঞা এবং নির্মাণটি তাদের পূর্ববর্তী কাগজপত্রগুলিতে (আপনি যে পত্রিকায় পড়ছেন তার রেফারেন্স [9,10,11]) অনেক বেশি স্পষ্ট। আমি দৃ strongly়ভাবে তাদের প্রথমে পড়ার পরামর্শ দিচ্ছি।

— Jeffε
সূত্র

আমি মনে করি যে তারা গ্যারান্টি দেয় যে তে ডিগ্রি ডিগ্রি করে

P_{i - 1} ∖ P_{i}

$P_{i-1}\setminus P_i$ is bounded. I do not see how you could make sure the degree of

r_{i}

$r_i$ is bounded. If e.g. you have a polyhedron where two vertices are connected to every vertex, then how can you start?

— domotorp

With one of the other vertices, which all have degree 4. (In fact, with an independent subset of the degree-4 vertices.) The point

r_{i}

$r_i$ is a vertex of

P_{i - 1}

$P_{i-1}$ but not a vertex of

P_{i}

$P_i$ .

— Jeffε

So there is the misunderstanding. I think that

r_{i}

$r_i$ is a vertex of

P_{i}

$P_i$ as well in the algorithm that I have described, notably the one closest to

S

$S$ . Am I wrong?

— domotorp

This seems to be one of these standard but tedious general position assumption. If you do not care about running time, you can always replace a vertex of degree

d

$d$ by two extremely close vertices of degree

d / 2 + 3

$d/2 + 3$ (if you insist on triangular faces). Repeat this till all the vertices till all the degrees are smaller than 10.

— Sariel Har-Peled

@Sariel: I was thinking the same but then why would the process end? Notice that when we delete a vertex, then its neighbors might not form a face, so we might have to add new edges, in fact, we might have to increase the degree of a vertex.

— domotorp

In case somebody would still be interested by the question: the snag in the Dobkin Kirpatrick explanation has also been pointed out in Barba and Langerman's Optimal detection of intersections between convex polyhedra.

They observe in the paper (SODA 2015 version, not arxiv) that O'Rourke's Computational Geometry in C, chap 7 already details a workaround (which is essentially Sariel's answer). The SODA paper also introduces an alternative solution; defining a variant of the DK hierarchy in which each vertex has bounded degree.

— Joseph Stack
সূত্র