অসীম বড় তবে স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ গণনার সমস্যা

Question

এই প্রশ্নটি অন্য একটি প্রশ্নে জুক্কা সুমেলা মন্তব্য করে অনুপ্রাণিত হয়েছে ।

অসীম বড় তবে স্থানীয়ভাবে সসীম গণনা সমস্যার (এবং অ্যালগরিদম) উদাহরণগুলি কী কী?

অন্য কথায়, সীমাবদ্ধ সময়ে বন্ধ হওয়া গণনার উদাহরণগুলি কী কী, যেখানে প্রতিটি টিউরিং মেশিন কেবল সীমাবদ্ধ ডেটা পড়ে এবং প্রক্রিয়া করে, তবে সামগ্রিকভাবে গণনা অসীম আকারের সমস্যা সমাধান করে যদি সেখানে অসীম-বহু টুরিং মেশিন একসাথে নেটওয়ার্ক হয়?

Comments

আমি মন্তব্য করতে যাচ্ছিলাম যে এই ধারণাটি অসীম অনেক টেপযুক্ত একক টিএম হিসাবে একই বলে মনে হচ্ছে যা আমি ভেবেছিলাম যে আমি আগে দেখেছি, তবে এখন আমি কোনও রেফারেন্স পাই না। আমি কি স্বপ্ন দেখছি বা এটি অন্বেষণ করা ধারণা? অবশ্যই অন্যান্য হাইপারকম্পিউটেশন এক্সটেনশনগুলি যেমন অসীম সময়ের টিএমএস অধ্যয়ন করা হয়েছে। টিএম "নেটওয়ার্কিং" এর ধারণা কি এই মডেলটিতে কিছু যুক্ত করে?

— হ্যাক বেনেট

@ হকবনেট: আমি জানি না; এটা একই হতে পারে। জুক্কার মূল মন্তব্যটি থেকে আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে তিনি সীমানা ডিগ্রির অসীম গ্রাফে গ্রাফ কালারিংয়ের মতো সমস্যা নিয়ে ভাবছিলেন (যদিও আমি জানি না যে এই নির্দিষ্ট সমস্যাটির এই প্রশ্নের উত্তর হবে কিনা)। প্রতিটি টিএম একই অ্যালগরিদম চালাত এবং প্রতিবেশীদের একটি সীমাবদ্ধ সেটগুলির সাথে কথা বলত। দেখে মনে হচ্ছে যে অসীম-বহু টেপযুক্ত একটি টিএম দুটি নোডের মধ্যে অসীম-বহু প্রান্তের সাথে একটি গ্রাফ অনুকরণ করতে সক্ষম হতে পারে যা নীতিগতভাবে আমার মনে থাকা থেকে পৃথক। যদিও আমি এই জাতীয় মডেল সম্পর্কে খুব কম জানি।

— অ্যারন স্টার্লিং

Answer 1

কী কী সম্ভব (কেবল কিছুটা তুচ্ছ) এর কিছু ধারণা দেওয়ার জন্য এখানে একটি উদাহরণ রয়েছে: একটি বিতরণ করা অ্যালগরিদম যা একটি সীমাবদ্ধ-ডিগ্রি গ্রাফটিতে সর্বাধিক প্রান্ত প্যাকিংয়ের সন্ধান করে।

সমস্যা সংজ্ঞা

একটি সাধারণ পুনর্নির্দেশিত গ্রাফ , একটি প্রান্ত প্যাকিং (বা ভগ্নাংশের মিল) প্রতিটি প্রান্তের E ∈ E এর সাথে একটি ওজন ডাব্লু ( ই ) যুক্ত করে যেমন প্রতিটি নোড ভি ∈ ভি এর জন্য , প্রান্তের মোট ওজনের সাথে বনাম সর্বাধিক হয় 1 । ঘটনার প্রান্তগুলির মোট ওজন 1 এর সমান হলে কোনও নোডকে পরিপূর্ণ করা হয় । একটি প্রান্ত প্যাকিং সর্বাধিক হয় যদি সমস্ত প্রান্তে কমপক্ষে একটি স্যাচুরেটেড শেষ পয়েন্ট থাকে (যেমন, ওজনের কোনওটিরও লোভনীয়ভাবে বাড়ানো যায় না)।$G = (V,E)$$w(e)$$e \in E$$v \in V$$v$$1$$1$

লক্ষ্য করুন যে সর্বাধিক মিলে যাওয়া সর্বাধিক প্রান্ত প্যাকিং (সেট ডাব্লু ( ই ) = 1 ইফ এবং ই ∈ এম ) সংজ্ঞায়িত করে ; সুতরাং একটি ধ্রুপদী কেন্দ্রীভূত সেটিংসে এটি সমাধান করা সহজ (ধরে নিচ্ছেন জি সীমাবদ্ধ)।$M \subseteq E$$w(e) = 1$$e \in M$$G$

এজ প্যাকিংগুলিতে আসলে কিছু অ্যাপ্লিকেশন থাকে, কমপক্ষে যদি কেউ সাধারণ টিসিএস অর্থে কোনও অ্যাপ্লিকেশনটি সংজ্ঞায়িত করে: স্যাচুরেটেড নোডগুলির সেটটি ন্যূনতম ভার্টেক্স কভারের -প্রক্রিমিকেশন গঠন করে (অবশ্যই এটি একটি সীমাবদ্ধ G এর ক্ষেত্রে কেবলমাত্র বোঝায় ) ।$2$$G$

গণনার মডেল

আমরা ধরে নিই হবে আছে বলেন বিশ্বব্যাপী ধ্রুবক যেমন যে কোন ডিগ্রী বনাম ∈ ভী সর্বাধিক হয় Δ ।$\Delta$$v \in V$$\Delta$

এটি মূল প্রশ্নের স্পিরিটের কাছাকাছি রাখতে, আসুন নিম্নলিখিত হিসাবে গণনার মডেলটি সংজ্ঞায়িত করা যাক। আমরা ধরে নিই প্রতিটি নোডের একটি টুরিং মেশিন, এবং একটি প্রান্ত হয় { U , V } ∈ ই মধ্যে একটি যোগাযোগ চ্যানেল U এবং V । ইনপুট টেপ বনাম ডিগ্রী এনকোড ডিগ্রি ( বনাম ) এর V । প্রত্যেকের জন্য বনাম ∈ ভী , এর ঘটনা প্রান্ত বনাম পূর্ণসংখ্যার সঙ্গে লেবেলযুক্ত (একটি অবাধ অনুক্রমে) 1 , 2 , $v \in V$$\{u,v\} \in E$$u$$v$$v$$\deg(v)$$v$$v \in V$$v$ ; এগুলিকেলোকাল এজ লেবেলবলা হয়( { u , v } ∈ E এরলেবেল ইউ এবং ভি এর জন্য আলাদা হতে পারে)। মেশিনটির নির্দেশাবলী রয়েছে যা দিয়ে এটি প্রতিটি প্রান্তের মাধ্যমে বার্তা প্রেরণ এবং গ্রহণ করতে পারে; স্থানীয় প্রান্তের লেবেল ব্যবহার করে কোনও যন্ত্র তার প্রতিবেশীদের সম্বোধন করতে পারে।$1,2,\dotsc,\deg(v)$$\{u,v\} \in E$$u$$v$

আমাদের দরকার যে মেশিনগুলি জি এর জন্য একটি বৈধ প্রান্ত প্যাকিং গণনা করে । আরও সুনির্দিষ্টভাবে, প্রতিটি ভি ∈ ভি এর আউটপুট টেপে ডাব্লু ( ই ) এর এনকোডিং প্রতিটি প্রান্ত এবং ঘটনার ভি পর্যন্ত , স্থানীয় প্রান্তের লেবেল দ্বারা আদেশ করা এবং তারপরে থামাতে হবে।$w$$G$$v \in V$$w(e)$$e$$v$

আমরা যে একটি বিতরণ অ্যালগরিদম সময় একটি সর্বোচ্চ প্রান্ত প্যাকিং খুঁজে বের করে টি , যদি নিম্নলিখিত কোন গ্রাফের জন্য ঝুলিতে জি সর্বাধিক ডিগ্রী Δ , এবং যেকোনো স্থানীয় প্রান্ত লেবেল জন্য জি : যদি আমরা প্রতিটি নোডের প্রতিস্থাপন জি এর একটি অভিন্ন কপি সঙ্গে টিউরিং মেশিন এ এবং মেশিনগুলি শুরু করুন, তারপরে টি পদক্ষেপের পরে সমস্ত মেশিনগুলি একটি বৈধ (বিশ্বব্যাপী ধারাবাহিক) সমাধান মুদ্রণ করে থামিয়ে দিয়েছে।$A$$T$$G$$\Delta$$G$$G$$A$$T$

অসীমতার

এখন উপরের সমস্তগুলি নিখুঁত জ্ঞান দেয় এমনকি নোডের সেট অগণিত অসীম।$V$

সমস্যা গঠনের এবং গণনার মডেল কোনও উল্লেখ নেই ভি | , সরাসরি বা পরোক্ষভাবে. প্রতিটি টুরিং মেশিনের জন্য ইনপুটটির দৈর্ঘ্য একটি ধ্রুবক দ্বারা আবদ্ধ।$|V|$

যা জানা যায়

অসীম হলেও সীমাবদ্ধ সময়ে সমস্যার সমাধান হতে পারে ।$G$

সমস্যাটি এই বিবেচনায় অল্প-তুচ্ছ যে কিছু যোগাযোগের প্রয়োজন। অধিকন্তু, চলমান সময় উপর নির্ভর করে । যাইহোক, কোন নির্দিষ্ট জন্য Δ , সমস্যা ধ্রুবক সময় মাপ নির্বিশেষে মধ্যে সমাধান করা যেতে পারে জি ; বিশেষত, সমস্যাটি অসীম বৃহত গ্রাফগুলিতে সমাধানযোগ্য।$\Delta$$\Delta$$G$

উপরের সংজ্ঞায়িত মডেলটিতে (যা ক্ষেত্রে ব্যবহৃত সাধারণ মডেল নয় ) সর্বাধিক পরিচিত সময়টি কোনটি আমি পরীক্ষা করে দেখিনি । তা সত্ত্বেও, একটি চলমান সময় যে বহুপদী হয় মোটামুটি সহজ অর্জনে হওয়া উচিত, এবং আমি একটি চলমান সময় যে হয় sublinear মনে Δ অসম্ভব।$\Delta$$\Delta$

Answer 2

সেলুলার অটোমেটনের পরবর্তী প্রজন্মের সন্ধান করা ।

আপনি ধ্রুবক সময় হিসাবে বর্ণনা হিসাবে এটি সমাধান করা যেতে পারে। $\;$ (যেমন, ইনপুট থেকে পৃথক)

Comments

আমি মনে করি সেলুলার অটোমেটা ব্যবহার করে সীমাবদ্ধ সময়ে সমাধানযোগ্য একটি (অ-তুচ্ছ, আকর্ষণীয়) গণ্য সমস্যা তৈরি করতে আরও যত্ন নেওয়া দরকার?

— Jukka Suomela

আমি @ জুকার সাথে একমত আমি এই উত্তরটির বর্তমান সংস্করণটিকে কোনও মন্তব্যের স্তরের হিসাবে বিবেচনা করি, এবং কোনও তথ্যবহুল নয়। এটি কোনও গণ্য সমস্যা বা একটি অ্যালগরিদম বর্ণনা করে না। Downvoted।

— অ্যারন স্টার্লিং

Answer 3

মূলত, প্রতিটি সমস্যা যা রঙের জন্য কমপক্ষে কঠোর হয় একটি নেটওয়ার্কের নোডের সংখ্যার উপর নির্ভরশীল একটি চলমান সময়ের সাথে একটি অ্যালগরিদম প্রয়োজন এবং এটি অসীম তবে স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ গ্রাফটিতে কাজ করতে পারে না। এটি লিনিয়ালের সেমিনাল লগ * n নিম্ন সীমা থেকে অনুসরণ করে ।

Comments

তবে এখানে আপনার গণনার মডেলটি কী? লিনিয়াল অনুমান করে যে সমস্ত নোডের অনন্য সংখ্যার শনাক্তকারী রয়েছে; যদি আমরা এটিকে মূল প্রশ্নে প্রস্তাবিত সেটিংটিতে মানচিত্রের চেষ্টা করি, তবে আমাদের কাছে ট্যুরিং মেশিনগুলি থাকবে যা তাদের ইনপুট টেপগুলিতে তাদের সংখ্যাসূচক শনাক্তকারী দেওয়া হবে। তবে এখন সনাক্তকারীটির আকারটি সীমাহীন; সমস্ত মেশিনগুলি তাদের নিজস্ব শনাক্তকারীদের পড়া না হওয়া পর্যন্ত কেবল অপেক্ষারত দীর্ঘ সময় নেয়। আমি যুক্তি দিয়ে বলব যে বাধাটি আসলে লিনিয়ালের নীচের দিকে আবদ্ধ নয়, তবে এটি গণনার মডেল: যখন আমরা অসম্পূর্ণতাগুলি মোকাবেলা করি তখন অনন্য সনাক্তকারীরা ভুল মডেল।

— Jukka Suomela

@ যুক্কা: আমি এমন একটি সিস্টেম কল্পনা করেছিলাম যেখানে আমি প্রসেসরগুলি বেনামে রেখেছিলাম যখন আমি প্রশ্নটি লিখতাম, ঠিক তখনই আইডির সীমাবদ্ধতা ছাড়াই এড়াতে। তবে এটি এখন আমার কাছে মনে হচ্ছে এখানে কোনও অনিয়ন্ত্রিত সমস্যা থাকতে পারে। আপনি যদি কোনও প্রোগ্রাম-আকার এবং কোনও গণনীয় ফাংশন চয়ন করেন যা কোনও প্রসেসরের পাড়ার আকারকে সীমাবদ্ধ করে, তবে সম্ভবত সর্বশক্তিমান শত্রুরা আইডির একটি বৃহত-তবে-সসীম সেট বেছে নিতে পারে যাতে লিনিয়ালের সীমাটি এখনও কোনও কারণ হয়ে উঠতে পারে। শত্রুদের এটি করতে কোনও গণনীয় ফাংশনের চেয়ে দ্রুত বাড়তে পারে এমন কোনও ফাংশন গণনা করতে সক্ষম হতে পারে।

— অ্যারন স্টার্লিং

Answer 4

$AC^0$$AC^0$