র্যান্ডম কিউবিক গ্রাফের প্রশস্ততা

একটি সংযুক্ত এলোমেলো ঘন গ্রাফ এর গ্রেগ থেকে আঁকা উল্লম্ব এখানে সংজ্ঞায়িত হিসাবে , যেমন সমান এবং যে কোনও দুটি গ্রাফের একই সম্ভাবনা রয়েছে)। $G=(V,E)$ $n =|V|$ $G(n, 3$ $)$ $3n$

অবশ্যই আছে সম্ভব ধর্ষকের প্রথম অনুসন্ধানগুলি, প্রতিটি শুরু নোড জন্য এক । একজন ধর্ষকের প্রথম সার্চ নোড থেকে শুরু নির্ধারণ একটি স্তর প্রতিটি নোডের , যেখানে মধ্যে দূরত্ব এবং মধ্যে । $n$ $s \in V$ $B_G$ $s \in V$ $d(s, v)$ $v \in V$ $d(s, v)$ $s$ $v$ $G$

আমাদের বলে যে এই ধরনের একটি ধর্ষকের প্রথম সার্চ যাক একটি স্তর নির্ধারণ প্রতিটি প্রান্ত থেকে । $B_G$

L (s, {u, v}) = max {d (s, u), d (s, v)}

$L(s, \{u,v\}) = \max\{ d(s,u), d(s,v) \}$

e={u,v}∈E $e=\{u,v\} \in E$

একটি নির্দিষ্ট ধর্ষকের প্রথম সার্চ দেওয়া $B_G$ যাক $\alpha(B_G,i)$ হতে প্রান্ত যে স্তর হয়েছে বরাদ্দ সংখ্যা $i$ এবং দিন $\alpha(B_G) = max_i\{\alpha(B_G,i)\}$ । অন্য কথায় $\alpha(B_G)$ হ'ল প্রান্ত যা অন্য কোনও স্তরের চেয়ে বেশি । শেষ , এর যে কোনও চওড়া প্রথম অনুসন্ধানের জন্য $\alpha(G)$ সর্বাধিক । $\alpha(B_G)$ $n$ $G$

আমাদের কল করা যাক প্রশস্ততা এর । $\alpha(G)$ $G$

প্রশ্ন

কেমন করে আশা করা মান $\alpha(G)$ হত্তয়া হিসাবে $n$ অনন্ত থাকে? মনে করে দেখুন যে $G$ হয় র্যান্ডম কিউবিক । আরো সঠিকভাবে, একটা কাজ যা আমি জানতে চাই কিনা তা ব্যবহারকারীকে প্রত্যাশিত মান $\alpha(G)$ জন্যে $o(n)$ ।

যেহেতু $n$ সমান, তাই সীমাটি বিবেচনা করা হয় যাতে আমি বিজোড় যত্ন নিই না $n$ ।

graph-theory co.combinatorics

— জর্জিও ক্যামেরানি
সূত্র

(1) দয়া করে আপনার ঘনক গ্রাফটি আঁকেন এমন সম্ভাবনা বন্টন থেকে নির্দিষ্ট করুন। (২) আপনি ক্রিয়াকলাপ হিসাবে প্রত্যাশায় আগ্রহী নাকি অন্য কিছু? (3) আমার ধারনা সমান (অন্যথায় একটি ঘন গ্রাফের অস্তিত্ব নেই)। সুতরাং, আমি মনে করি সীমাটি বিবেচনা করা হয়েছে যাতে আপনি বিজোড় যত্ন নেবেন না ।

α(G) $\alpha(G)$

n $n$

— Yoshio Okamoto

@YoshioOkamoto: (1) থেকে -reg হিসাবে সংজ্ঞায়িত stanford.edu/class/msande337/notes/... ( এমনকি নেই এবং আমরা কোন দুই গ্রাফ একই সম্ভাবনা থাকে)। (২) আমি এই বিষয়টি পরিষ্কার করতে প্রশ্নটি সমৃদ্ধ করেছি। (3) হ্যাঁ, সমান এবং সীমাটি বিবেচনা করা হয় যাতে আমি বিজোড় যত্ন নেব না ।

G(n,3 $G(n, 3$

) $)$

3n $3n$

n $n$

— জর্জিও ক্যামেরানি

@ সুরেশভেঙ্কট: প্রশ্নের পাঠযোগ্যতার উন্নতি করার জন্য ধন্যবাদ ;-)

— জর্জিও ক্যামেরানী

আমি বলতে পারি যে এটি সম্ভবত সম্ভবত। জন্য এলোমেলো ঘন গ্রাফগুলিতে ঘনত্বের ফলাফল রয়েছে যার অর্থ প্রত্যাশিত মান, উচ্চ সম্ভাবনার মান এবং এগুলি একই রকম। ওপি স্পষ্ট না করলে, আমি মনে করি যে এই প্রশ্নের কোনও উত্তরই এই প্রশ্নের পক্ষে যুক্তিসঙ্গত উত্তর হতে পারে।

α(G) $\alpha(G)$

— পিটার Shor

@ ওয়াল্টারবিশপ: আমাকে আরও একটি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করুন। সংযোগ বিচ্ছিন্ন হলে আপনি কীভাবে সংজ্ঞায়িত করবেন ?

α(G) $\alpha(G)$

G $G$

— ইয়োশিও ওকামোটো

উত্তর:

প্রশস্তিযোগ্য গ্রাফগুলির জন্য প্রশস্ততা । একটি এলোমেলো 3-নিয়মিত গ্রাফ asyptotically প্রায় অবশ্যই একটি বিস্তৃত গ্রাফ (উইকিপিডিয়া দেখুন) , সুতরাং প্রশস্ততা প্রত্যাশা , যেহেতু এটি প্রসারণের গ্রাফটি হিসাবে যায় না কারণ যায় । $\alpha(n) = \Theta(n)$ $\Theta(n)$ $0$ $n$ $\infty$

পরামিতি সঙ্গে একটি Expander গ্রাফের জন্য , কোন সেট ছেদচিহ্ন সঙ্গে , আছে সেটের প্রতিবেশীদের। এখন, স্তরে ছেদচিহ্ন সংখ্যা দিন হতে সঙ্গে । তারপরে আমাদের সম্প্রসারণ সম্পত্তি থেকে থাকে যে যতক্ষণ খুব বড় না হয় (যেমন, আমরা এখনও অর্ধেকটি অন্তর্ভুক্ত করিনি) এখন, স্তরের জন্য বর্ণন যা প্রান্তবিন্দু রয়েছে । এটি, সুতরাং so এবং $\beta$ $s$ $s \leq n/2$ $\beta s$ $j$ $\ell_j$ $\ell_0=1$ $j$

ℓ j \geq β \sum i = 0 j - 1 ℓ i

$\ell_j \geq \beta\, \sum_{i=0}^{j-1} \ell_{i}$

ℓj $\ell_j$

n3 $\frac{n}{3}$

∑j−1i=0ℓi<n/3 $\sum_{i=0}^{j-1} \ell_i < n/3$

∑ji=0ℓi≥n/3 $\sum_{i=0}^{j} \ell_i \geq n/3$ । যদি এই স্তরটি বৃহত্তর হয়, যেমন , তবে আমরা সম্পন্ন হয়েছি। অন্যথায়, পরবর্তী স্তরের আকার এবং আমরা করেছি.

ℓj≥n/6 $\ell_j \geq n/6$

ℓ j + 1 \geq β \sum i = 0 j ℓ i \geq β n 3,

$\ell_{j+1} \geq \beta \, \sum_{i=0}^{j} \ell_{i} \geq \beta \frac{n}{3},$

একটি স্তর বদলে প্রান্ত সংখ্যা (যা ওপি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা) এ ছেদচিহ্ন সংখ্যা এই প্রমাণ সৌন্দর্য, সবসময় হয় যদিও অনেক প্রান্ত ধাপে যোগ অন্তত হিসাবে স্তরের ছেদচিহ্ন যেমন , যেহেতু প্রতিটি প্রান্তবিন্দু পৌঁছাতে হবে কিছু প্রান্ত দ্বারা $i$ $i$

— পিটার শোর
সূত্র

আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ! এটি অত্যন্ত আশ্চর্যজনক (কমপক্ষে আমার কাছে): মোট

সংখ্যা

হলেও এবং স্তরের সংখ্যা

, সবচেয়ে বেশি ভিড়ের স্তর এখনও

প্রান্ত রয়েছে। এভাবে প্রান্ত মাত্রা মধ্যে অবিশেষে বিক্ষিপ্ত নয়: আমার (গবেষণামূলক, ভুল) স্বজ্ঞা ছিল যে, কয়েক প্রাথমিক স্তর ও কয়েক চূড়ান্ত মাত্রা ছাড়া, সেখানে হওয়া উচিত ছিল

m=1.5⋅n∈Θ(n) $m = 1.5 \cdot n \in \Theta(n)$

Ω(log(n)) $\Omega(log(n))$

Θ(n) $\Theta(n)$

Ω(log(n)) $\Omega(log(n))$ কেন্দ্রীয় স্তরগুলির মধ্যে প্রান্তগুলি কিছুটা সমানভাবে ছড়িয়ে ছিটিয়ে থাকত।

— জর্জিও ক্যামেরানি

"অভিজ্ঞতা" দিয়ে আপনি বোঝাতে চেয়েছিলেন যে আপনি আসলে পরীক্ষা চালিয়েছেন?

সম্পর্কে

কিউবিক র্যান্ডম গ্রাফ জন্য, দেখুন ftp-sop.inria.fr/mascotte/personnel/Stephane.Perennes/Bol88.pdf $\beta$

$0.1845$

— didest

হ্যাঁ, আমি থেকে পরীক্ষার দৌড়ে

পর্যন্ত

এবং মাপা পরিমাণ

$n = 100$

$n = 150000$

। তাহলে

কাছে

হিসাবে

বেড়ে এই গবেষণামূলক প্রমাণ দিতেন

।

কাছাকাছি,

প্রায়

ছিল, প্রায়

প্রায়

ছিল(অবশ্যই আমি এই সংখ্যাগুলি অনুভূতিমূলক প্রমাণ হিসাবে কখনও বিবেচনা করি নি, কারণ

একটি অ্যাসিম্পটোটিক প্রতিনিধিত্ব করতে এখনও খুব ছোট)। যাইহোক যখন আমি "অভিজ্ঞতা অভিজ্ঞতা" বলেছিলাম $k = \frac{\alpha(G)}{m}$

$k$

$0$

$n$

$\alpha(G) \in o(n)$

$n=100$

$k$

$0.3$

$n=150000$

$k$

$0.26$

$n = 150000$

— জর্জিও ক্যামেরানি

... আমি পরীক্ষাগুলির ফলাফলের চেয়ে একটি বাস্তব (ভুল) অনুভূতি বোঝাতে চাইছিলাম: আমি কিছুটা অনুভব করেছি যে এই বিএফএসের অবশ্যই একটি "সসেজ" আকার থাকতে হবে (অর্থাত্ চূড়ান্তভাবে ক্ষুদ্র, এবং মাঝখানে স্থির টিকনেস)। "তাদের এমন হতে হবে", আমি ভেবেছিলাম। উপরের প্রমাণটি দেখায় যে আমার স্বজ্ঞাততাটি কী স্পষ্টত ভুল ছিল। তা সত্ত্বেও, আমি এখনও বিস্মিত করছি:

প্রান্ত,

মাত্রা, কিন্তু না

$\Theta(n)$

$\Omega(log(n))$

প্রতিটি স্তরের প্রান্তগুলি। $O(\frac{n}{log(n)})$

— জর্জিও ক্যামেরানি

পিটার শোরের উত্তরটি সত্যিই ভাল, তবে এর উত্তর দেওয়ার আরও একটি উপায় আছে: প্রমাণ করে যে গাছের প্রস্থটি প্রশস্ততার দ্বিগুণ (ভার্টেক্স সংস্করণ) দ্বারা উপরের দিকে আবদ্ধ। যেহেতু আমরা জানি যে 3-নিয়মিত সম্প্রসারণকারীদের রৈখিক ট্রিউইথ রয়েছে, আমরা সম্পন্ন করেছি।

একটি বিএফএস গাছ প্রদত্ত গাছের পচন রচনা দেখুন, এটি উপস্থাপনার 15 টি স্লাইড: http://www.liafa.jussieu.fr/~pierref/ALADDIN/MEETING2/soto.pdf

এটি সহজেই দেখা যায় যে প্রতিটি ব্যাগের আকার বিস্তৃত স্তরের দ্বিগুণ দ্বারা আবদ্ধ।

— didest
সূত্র

আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ, উপস্থাপনাটি খুব সহায়ক হয়েছে।

— জর্জিও ক্যামেরানি