গোলকের ডেলাউনে ত্রিভুজগুলি কি সর্বনিম্ন কোণকে সর্বোচ্চ করে দেয়?

Question

বিমানে ডেলাউনে ত্রিভুজগুলি ত্রিভুজের নূন্যতম কোণকে সর্বাধিক করে তোলে। গোলকের পয়েন্টগুলির ডেলাউনে ট্র্যাঙ্গুলেশনের ক্ষেত্রেও কি একই সত্য রয়েছে? (এখানে "কোণ" শীর্ষস্থানটির শীর্ষবিন্দুগুলির আশেপাশের একটি স্থানীয় কোণ)

অনুপ্রাণিত কিন্তু ম্যাথ.এসই সম্পর্কিত এই প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত নয়।

Comments

নিশ্চয়ই সম্পত্তিটি গোলকের এক ছোট, সমতল অঞ্চলে স্থানীয়করণের জন্য একটি সেট রাখবে, কারণ এটি বহুগুণ। আসল প্রশ্নটি হবে গোলক জুড়ে বিস্তৃত পয়েন্ট হিসাবে সম্পত্তি ত্যাগ করা হয় কিনা। আমার অনুমানটি হ'ল প্রথম স্থানে ডেলাউনে ত্রিভুজ্যরণ করার জন্য আপনার ইউক্যালিডিয়ান মামলার চেয়ে আরও বেশি চর্বিযুক্ত ত্রিভুজ প্রয়োজন, সুতরাং সম্পত্তিটি ধরে রাখবে।

— জোসেফাইন মোলার

গোলকের মানচিত্রের জেনেরিক পয়েন্ট থেকে স্টেরিওগ্রাফিক প্রজেকশনটি বৃত্তগুলিতে চেনাশোনাগুলিতে চেনাশোনাগুলিতে নিক্ষেপ করে এবং আনুষ্ঠানিকতার কারণে ছেদকারী বক্ররেখার (ges প্রান্ত) মধ্যবর্তী কোণগুলিকে সংরক্ষণ করে তা কি এটিকে অনুসরণ করে না? নাকি আমি কিছু মিস করছি?

— কেউ

@ সোমন যিপ, এটি করা উচিত। এটির বেশিরভাগ অংশ। দু'একটি বাধা থাকতে পারে, তবে এটি কেন্দ্রীয় ধারণা হবে। আমি তা দেখে বিস্মিত হলাম. আমি বুঝতে পারিনি যে স্টেরিওগ্রাফিক ম্যাপিংটি কনফরমাল ছিল।

— জোসেফাইন মোলার

@ সুরেশভেঙ্কট এখন আপনি হাইপারবোলিক জায়গার কথা উল্লেখ করেছেন, সম্ভবত আমার অন্তর্দৃষ্টি পিছিয়ে আছে। হাইপারবোলিক স্পেসে আপনাকে "অবৈধ" খৎনার চক্রগুলি (অর্থাত হাইপারসাইকেল এবং হরোকসাইকেল) রয়েছে তার জন্য অ্যাকাউন্ট করতে হবে। গোলাকার জায়গায় আপনি না যখন; আপনি সর্বদা তিনটি পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যায় এমন চেনাশোনাগুলি খুঁজে পেতে পারেন।

— জোসেফাইন মোলার

আমি মনে করি না এটি কাজ করে। আপনি নিশ্চিত করতে চান যে অভিক্ষেপটি বড় চেনাশোনাগুলিকে রেখায় নিয়ে গেছে (যেহেতু আপনি ত্রিভুজগুলির কিনারার মধ্যে কোণগুলি মাপছেন যা দুর্দান্ত বৃত্ত / সোজা)। আমি মনে করি না আপনি একটি স্টেরিওগ্রাফিক প্রজেকশন দিয়ে এটি করতে পারবেন না। আপনি কেবল গোলকের কেন্দ্রে অবস্থিত বিন্দু থেকে একটি অভিক্ষেপ দিয়ে এটি করতে পারেন, যা কিছু বৃত্তকে উপবৃত্তিতে নিয়ে যায়।

— পিটার শোর

Answer 1

প্রথম যুক্তি: এটি আমার প্রথম উত্তর ছিল। নোট করুন যে এই যুক্তিটি ভুল। নীচে আমার দ্বিতীয় যুক্তি দেখুন।

আমি এটা সত্য মনে করি না। বিমানটিতে এটি যে কারণে কাজ করে তা হ'ল একটি বৃত্তে, একটি জ্যা দ্বারা চিহ্নিত শিলালিপি কোণটি কেন্দ্রীয় কেন্দ্রীয় কোণের অর্ধেক হয়। সুতরাং, যদি আমাদের একটি ছোট কোণ সহ ত্রিভুজ থাকে তবে বিপরীত প্রান্তের সাহায্যে বৃহত্তর কোণ তৈরি করা যে কোনও পয়েন্টগুলি খালি ডেলাউন বৃত্তের অভ্যন্তরে থাকে এবং তাই কনফিগারেশনের একটি বিন্দু আমরা এর ত্রিভুজ খুঁজে পাই না।

এখন, ধরুন আপনি গোলকের উপর একটি ডেলাউনে ত্রিভুজ রয়েছে। গোলকের কেন্দ্রে একটি বিন্দু রাখুন এবং সমস্ত পিয়োনটকে একটি বিমানের উপরে প্রজেক্ট করুন। ত্রিভুজগুলির কিনারা (গোলকের বৃহত বৃত্ত) সমস্তগুলি রেখাংশগুলিতে নেওয়া হয়। তবে খালি বল সম্পত্তি দেওয়ার চেনাশোনাগুলি উপবৃত্তগুলিতে নেওয়া হয়, এবং সুতরাং যদি ভবিষ্যদ্বাণীক উপবৃত্তের বাইরে কিন্তু ত্রিভুজটির ঘেরের ভিতরে একটি বিন্দু থাকে তবে এই বিন্দুটি প্রান্তটি দিয়ে একটি বৃহত্তর কোণ তৈরি করবে।

সম্পাদনা করুন:

একটি মিনিট অপেক্ষা করুন. এই উত্তরটি সম্পূর্ণ ভুল, কারণ কেন্দ্রীয় অভিক্ষেপণগুলি কোণগুলি সংরক্ষণ করে না। আমি এখনও অনুমানটি ভুল বলে মনে করি, কারণ আমার আরও জটিল যুক্তি রয়েছে যে শিলানো কোণগুলি সম্পর্কে উপপাদ্যটি গোলকের সাথে ধারণ করে না। যুক্তিটি এখানে:

দ্বিতীয় তর্ক:

সমতলটিতে এটি ধারণ করার কারণটি হ'ল একটি জ্যা দ্বারা বিভক্ত খোদাই করা কোণটি সংশ্লিষ্ট কেন্দ্রীয় কোণের অর্ধেক। এটি ধরে রেখেছে কারণ, নীচের চিত্রটিতে, আমাদের রয়েছে

$$CYX_2 = \frac{1}{2} (\pi - X_2 C Y)$$ এবং $$C Y X_1 = \frac{1}{2} (\pi - X_1 C Y).$$ বিয়োগ, আমরা পাই $$X_1 Y X_2 = \frac{1}{2} X_1 C X_2.$$

এখন, গোলাকার জ্যামিতিতে আমরা পাই

$$CYX_2 = \frac{1}{2} ( \pi - X_2CY + A(X_2CY) \,)$$ এবং $$CYX_1 = \frac{1}{2} ( \pi - X_1CY + A(X_1CY) \,),$$ কোথায় $A(XYZ)$ত্রিভুজ XYZ এর ক্ষেত্রফল। বিয়োগ, আমরা পাই $$X_1 Y X_2 = \frac{1}{2} (X_1 C X_2 + A(X_2CY) - A(X_1CY)\,).$$

পয়েন্টের লোকস জন্য $Y$ একটি ধ্রুবক কোণ তৈরি $X_1YX_2$ একটি বৃত্ত হতে, আমাদের এইভাবে প্রয়োজন ক্ষেত্রগুলির পার্থক্য $A(X_2CY) - A(X_1CY)$ নির্ভর করে কেবল ধনুর্বন্ধের উপর $X_1X_2$। তবে এটি পর্যবেক্ষণের সাথে বেমানান$A(XCY)$ হয় $0$ জন্য $X$ বিপরীত বিপরীত $Y$ এবং জন্য $X=Y$, তবে এর মাঝামাঝি কিছু সর্বাধিক আকারে বেড়ে যায়।

সুতরাং, পয়েন্টগুলির লোকস $Y$ ধ্রুবক কোণ সহ $X_1YX_2$একটি বৃত্ত নয়। এর অর্থ কিছু ত্রিভুজের জন্য$X_1YX_2$ আমরা একটি বিন্দু খুঁজে পেতে পারেন $Y'$ এর খতরের বাইরে $X_1YX_2$ সুতরাং কোণ $X_1YX_2 < X_1 Y' X_2$। এরপরে আমরা অনুমানটি তৈরি করতে এটি ব্যবহার করতে পারি যে গোলকের ডেলাউনে ত্রিভুজগুলি ন্যূনতম কোণকে সর্বাধিক করে তোলে।

Comments

আমি আশা করি না যে এই প্রশ্নটি খুব জটিল হবে :)। ছবিটির জন্য অধীর আগ্রহে অপেক্ষা করছি।

— সুরেশ ভেঙ্কট