* পরিচিত * জটিলতা বিচ্ছিন্নতা দেখানোর জন্য মুলমুলি-সোহনি জিসিটি পদ্ধতির ব্যবহার করা কতটা কঠিন?

জটিলতা ওয়েবলগে জোশ গ্রাচোর এই অতিথি পোস্টে তিনি জুলাইয়ে প্রিন্সটনে জিসিটির প্রতি নিবেদিত একটি সাম্প্রতিক কর্মশালার প্রতিবেদন করেছেন। উপস্থিত কয়েকজন যুক্তি দেখিয়েছিলেন যে অন্তর্দৃষ্টি তৈরি করতে এবং পদ্ধতিটির সম্ভাবনা আছে কিনা তা দেখার জন্য আমাদের বনাম চেয়ে সহজ সমস্যার আক্রমণ করার জন্য জিসিটি ব্যবহার করা উচিত । $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$

যে প্রশ্নটি আমাকে বাগিয়ে দিচ্ছে:

বা মতো পরিচিত দেখানোর জন্য কি জিসিটি ব্যবহার করা সম্ভব ? $\mathsf{P} \neq \mathsf{EXP}$ $\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$

মতো কিছু করে $\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$

এমনকি জিসিটি প্রসঙ্গে বা তা বোঝায় না
জিসিটি কাঠামোর মধ্যে একেবারে তুচ্ছ এবং উদ্বেগজনক, বা
বনাম as এর মতোই অনুমানের দিকে নিয়ে যায় ? $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$

cc.complexity-theory gct

— মুগিজি র্বেবাঙ্গিরা
সূত্র

এই পোস্টে জোশের মন্তব্যে বোঝা যাচ্ছে যে "জিসিটি ভাষায়" এ জাতীয় বিভাজন তৈরি করা সম্ভব তবে এটি অ-তুচ্ছ এবং এখনও কেউ তা করতে পারেনি। তবে এখনও কোনও বিশেষজ্ঞের কোনও অন্তর্দৃষ্টি প্রশংসা করবে।

— মুগজি র্বেবাঙ্গীরা

আফির, মুলমুলি তার উপস্থাপনাটি (ভিডিও. ias.edu/stream&ref=226 ) জিসিটির আরও প্রাকৃতিক প্রশ্ন হিসাবে # পি বনাম এনসি দিয়ে শুরু করে । আপনার প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য এটি প্রথম অন্তর্নিহিত হতে পারে।

— মিশাল ক্যাডিলহ্যাক

এই লিঙ্কটির জন্য মাইকেলকে ধন্যবাদ। কোনও কারণে আমার অফিসের ডেস্কটপে এটি শোনার জন্য ভলিউমটি খুব কম, তবে আমি ঘরে ফিরলে চেষ্টা করব। যদিও যে কোনও ক্ষেত্রে জোশ ইতিমধ্যে একটি ভাল উত্তর দিয়েছেন।

— মুগজি রুয়েবাঙ্গিরা

উত্তর:

সংক্ষিপ্ত উত্তর: সম্ভবত (1) না, অবশ্যই (2) নয় এবং সম্ভবত (3)।

এটি এমন কিছু বিষয় যা আমি আপাতত অফ-অন সম্পর্কে ভাবছিলাম। প্রথমত, এক অর্থে জিসিটি আসলেই সমস্যাগুলির সিদ্ধান্তের পরিবর্তে কম্পিউটিং ফাংশনগুলিকে কম সীমাবদ্ধকরণের লক্ষ্য। তবে আপনার প্রশ্নটি , , এবং ফাংশন শ্রেণির সংস্করণগুলির জন্য সঠিক ধারণা দেয় । $L$ $P$ $PSPACE$ $EXP$

দ্বিতীয়ত, প্রকৃতপক্ষে বুলিয়ান সংস্করণগুলি প্রমাণ করে - মতো আমরা যা জানি এবং ভালোবাসি - এটি জিসিটি পদ্ধতির ক্ষেত্রে সম্ভবত অবিশ্বাস্যরকম কঠিন, কারণ এর জন্য মডুলার প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব (সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলির তুলনায় উপস্থাপনা তত্ত্ব) প্রয়োজন হবে, যা কোন প্রসঙ্গে ভালভাবে বোঝা যায় না। $FP \neq FEXP$

তবে একটি যুক্তিসঙ্গত লক্ষ্য হতে পারে ব্যবহার করা বীজগণিত অ্যানালগ প্রমাণ করতে । $FP \neq FEXP$

আপনার প্রশ্নের কাছে যেতে: আমি বিশ্বাস করি যে এই প্রশ্নগুলি একটি জিসিটি প্রসঙ্গে তৈরি করা যেতে পারে, তবে এটি কীভাবে তা অবিলম্বে সুস্পষ্ট নয়। কম বেশি, আপনার ক্লাসের জন্য সম্পূর্ণ এবং এর প্রতিসারণগুলি দ্বারা চিহ্নিত করা একটি ফাংশন প্রয়োজন; অতিরিক্ত বোনাস যদি ফাংশনটির সাথে সম্পর্কিত প্রতিনিধিত্বমূলক তত্ত্বটি বোঝা সহজ হয় তবে এই আধুনিকটি সাধারণত বেশ কঠিন।

এমনকি একবার জিসিটি প্রসঙ্গে প্রশ্নগুলি প্রণয়ন করা হলেও, - ইত্যাদি প্রমাণের জন্য জিসিটি ব্যবহার করা কতটা কঠিন হবে তা আমার কোনও ধারণা নেই এই প্রসঙ্গে যে উপস্থাপনা-তাত্ত্বিক অনুমানগুলি উত্থাপিত হবে সম্ভবত বনাম উত্থিত ব্যক্তিদের কাছে খুব অনুরূপ স্বাদ $FP \neq FEXP$ $P$ $NP$ বা স্থায়ী বনাম নির্ধারক। কেউ আশা করতে পারেন যে এই বিচ্ছেদের ফলাফলগুলির ধ্রুপদী প্রমাণগুলি কোনও জিসিটি প্রমাণের জন্য প্রয়োজনীয় উপস্থাপনা-তাত্ত্বিক "বাধা" কীভাবে সন্ধান করবে সে সম্পর্কে কিছু ধারণা দিতে পারে। তবে, আপনি যে বক্তব্যগুলি উল্লেখ করেছেন তার প্রমাণগুলি হ'ল তির্যক ভিত্তিক, এবং আমি দেখতে পাই না কীভাবে তির্যককরণটি আপনাকে কোনও ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত উপস্থাপনা তত্ত্বের জন্য , বলুন। অন্যদিকে, আমি এখনও কোনও জিসিটি প্রসঙ্গে কীভাবে প্রণয়ন তা দেখিনি , তাই এটি বলার আগে খুব তাড়াতাড়ি। $FEXP$ $FEXP$

অবশেষে, আমি যেমন ব্লগ পোস্টে উল্লেখ করেছি, পিটার বার্গিজার এবং ক্রিশ্চিয়ান আইকনমেয়ার সীমানা-র‌্যাঙ্কের নিম্নগামীকে ম্যাট্রিক্সের গুণকে পুনরায় প্রমাণ করার চেষ্টা করেছেন (যা 2006 সালে জোসেফ ল্যান্ডসবার্গ দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল)। তারা জিসিটি বাধাগুলির জন্য কম্পিউটার অনুসন্ধানের মাধ্যমে কমপক্ষে 6 টি বর্ডার-র‌্যাঙ্কটি প্রদর্শন করতে সক্ষম হয়েছিল। এপ্রিল ২০১৩ আপডেট করুন : এর পর থেকে তারা জিসিটি বাধা ব্যবহার করে ল্যান্ডসবার্গের ফলাফলটি পুনরায় প্রমাণ করতে সক্ষম হয়েছে, এবং এই জাতীয় বাধা ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্সের গুণায় দু'একটি কম দেখিয়ে একটি অ্যাসিম্পটিক। । যদিও জিসিটি এখনও অবধি ম্যাট্রিক্স গুণনের উপরের ज्ञিত লোয়ার বন্ডটি পুনরুত্পাদন করে না $2 \times 2$ $\frac{3}{2}n^2 - 2$ , এটি বিকল্পের চেয়ে কম্পিউটারের সন্ধানকে আরও দক্ষ করে তোলে (যার মধ্যে গ্রোবনার ঘাঁটি জড়িত, যা সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে দ্বিগুণ-তাত্পর্যপূর্ণ সময় রয়েছে)। কর্মশালায় তাদের আলোচনায়, পিটার এবং খ্রিস্টান উভয়ই উল্লেখ করেছিলেন (সঠিকভাবে, আমি বলব) যে আমরা ছোট ছোট উদাহরণগুলি গণনা করার প্রত্যাশা করি তা নিম্নতর সীমাটি পুনরায় প্রমাণ করে না, তবে কিছু অন্তর্দৃষ্টি যা আমাদের এগুলি ব্যবহার করতে দেয় নতুন নিম্ন সীমা প্রমাণ করার কৌশল ।

ম্যাট্রিক্স গুণনের প্রসঙ্গে জিসিটি সম্পর্কে দুর্দান্ত জিনিসটি হ'ল প্রযুক্তিটি সহজেই থেকে ম্যাট্রিক্সের গুণাকে সাধারণ করে তোলে (যদিও বর্তমান কৌশলগুলির সাথে বাধাগুলি গণনা করা সম্ভবত আরও ব্যয়বহুল হয়ে যায়), যেখানে ল্যান্ডসবার্গের দৃষ্টিভঙ্গি খুব কঠিন বলে মনে হচ্ছে এমনকি ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা । আপনার উল্লিখিত জটিলতা শ্রেণীর বিভাজন সম্পর্কে একই রকম কথা বলা যেতে পারে: জিসিটি যথেষ্ট সাধারণ যে এটি কেবল মতো পরিচিত ফলাফলগুলিতেই প্রয়োগ হতে পারে না , তবে মতো অজানা ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য , যেখানে আমরা জানি যে ডায়াগোনাইজেশন হয় না । $2 \times 2$ $3 \times 3$ $3 \times 3$ $FP \neq FEXP$ $P \neq NP$

— জোশুয়া গ্রোচো
সূত্র

পাগল মনে হচ্ছে যে এটা এত তিরস্কার কঠিন হওয়া উচিত

F P \neq F E X P

$FP \neq FEXP$

— রায়ান উইলিয়ামস

ধন্যবাদ! এটা খুব সহায়ক ছিল। আমার সামগ্রিক ধারণা (এবং আমি অন্যদেরও মনে করি) এই জিসিটি প্রোগ্রামটির একটি "সহজ প্রথম পদক্ষেপ" কী হবে তা ভেবেছিলেন। তবে মনে হয় সত্যই এটির একটি নেই (এতদূর অন্তত)। আপনি উল্লেখ করেছেন যে গ্রোবারার বেসগুলি পদ্ধতির দ্বিগুণ-তাত্পর্যপূর্ণ চলমান সময় রয়েছে, আপনি কি জানেন যে বার্গিজার এবং আইকনমিয়ার অনুসন্ধানের (অ্যাসিপটোটিক) চলমান সময়টি কী ছিল?

— মুগজি র্বেবাঙ্গীরা

আমি বিশ্বাস করি এটি এখনও ঘনিষ্ঠ ছিল (যা আংশিকভাবে ব্যাখ্যা করে যে তারা ল্যান্ডসবার্গের ফলাফলকে কেন পুনরুত্পাদন করতে পারেনি), তবে কেবল এককভাবে ক্ষতিকারক :)।

— জোশুয়া গ্রাচো

@ জোশুয়াগ্রাচো: আপনি উত্তরের শুরুতে বা শেষের দিকে আপডেট ব্যানার রাখলে এটি সহায়ক হবে। আমার বৃদ্ধ বয়সে, আমার চোখ তারা আগে যেভাবে করত তা নয় এবং প্রথমে উত্তরটি স্কিম করার সময় আমি পরিবর্তনটি মিস করেছি।

— বিজয় ডি

জোশুয়া গ্রাচোর আরক্সিভের একটি নতুন কাগজ রয়েছে , যা দেখায় যে কীভাবে বেশ কয়েকটি জ্ঞাত নিম্ন স্তরের কৌশলগুলি জিসিটি কাঠামোর মধ্যে রাখা যায় এবং মনে হয় এটি আপনার প্রশ্নের কিছুটা উত্তর দেয়।

(এটি বেশিরভাগই কেবল একটি মন্তব্য, তবে কেউ কোনও মন্তব্য লক্ষ্য করবে না তাই আমি এটি উত্তর হিসাবে পোস্ট করছি))

জ্যামিতিক জটিলতা তত্ত্বের মাধ্যমে পরিচিত নিম্ন সীমানাকে একীকরণ এবং সাধারণকরণ

জোশুয়া এ। গ্রাচো

$AC^0[p]$ যার মাধ্যমে এটি একটি প্রাকৃতিক একীকরণ এবং জ্ঞাত ফলাফলের বিস্তৃত সাধারণীকরণ। এটি আরও দেখায় যে জিসিটির কাঠামো কমপক্ষে ज्ञিত পদ্ধতির মতো শক্তিশালী এবং এটি অনেকগুলি নতুন প্রমাণ-ধারণাটি দেয় যা জিসিটি প্রকৃতপক্ষে উল্লেখযোগ্য অ্যাসেম্পটোটিক নিম্ন সীমা সরবরাহ করতে পারে। এই নতুন দৃষ্টিভঙ্গি পূর্ববর্তী ফলাফল এবং জিসিটির নতুন পদ্ধতির মধ্যে ফলপ্রসূ দ্বি-মুখী মিথস্ক্রিয়া হওয়ার সম্ভাবনাও উন্মুক্ত করে; আমরা এই ধরনের মিথস্ক্রিয়া সম্পর্কে বেশ কয়েকটি কংক্রিট পরামর্শ সরবরাহ করি। উদাহরণস্বরূপ, জিসিটির উপস্থাপনা-তাত্ত্বিক দৃষ্টিভঙ্গি স্বাভাবিকভাবেই নতুন নিম্ন সীমাগুলির অনুসন্ধানে বিবেচনা করার জন্য নতুন বৈশিষ্ট্য সরবরাহ করে। এই নতুন দৃষ্টিভঙ্গি পূর্ববর্তী ফলাফল এবং জিসিটির নতুন পদ্ধতির মধ্যে ফলপ্রসূ দ্বি-মুখী মিথস্ক্রিয়া হওয়ার সম্ভাবনাও উন্মুক্ত করে; আমরা এই ধরনের মিথস্ক্রিয়া সম্পর্কে বেশ কয়েকটি কংক্রিট পরামর্শ সরবরাহ করি। উদাহরণস্বরূপ, জিসিটির উপস্থাপনা-তাত্ত্বিক দৃষ্টিভঙ্গি স্বাভাবিকভাবেই নতুন নিম্ন সীমাগুলির অনুসন্ধানে বিবেচনা করার জন্য নতুন বৈশিষ্ট্য সরবরাহ করে। এই নতুন দৃষ্টিকোণটি পূর্ববর্তী ফলাফল এবং জিসিটির নতুন পদ্ধতির মধ্যে ফলপ্রসূ দ্বি-মুখী মিথস্ক্রিয়া হওয়ার সম্ভাবনাও উন্মুক্ত করে; আমরা এই ধরনের ইন্টারঅ্যাকশনগুলির জন্য বেশ কয়েকটি দৃ concrete় পরামর্শ সরবরাহ করি। উদাহরণস্বরূপ, জিসিটির উপস্থাপনা-তাত্ত্বিক দৃষ্টিভঙ্গি স্বাভাবিকভাবেই নতুন নিম্ন সীমাগুলির অনুসন্ধানে বিবেচনা করার জন্য নতুন বৈশিষ্ট্য সরবরাহ করে।

— রবিন কোঠারি
সূত্র