অনুমান গেম রিডাক্স

Question

এটি পূর্ববর্তী প্রশ্নের পুনঃস্থাপন ।

অ্যালিস এবং বব দুই খেলোয়াড়ের মধ্যে নিম্নলিখিত নিরপেক্ষ নিখুঁত তথ্য গেমটি বিবেচনা করুন । খেলোয়াড়দের এন এর মাধ্যমে 1 পূর্ণসংখ্যা দেওয়া হয়। প্রতিটি সময়ে, যদি বর্তমান অনুমান বৃদ্ধি পেতে থাকে তবে বর্তমান প্লেয়ার হেরে যায় এবং অন্য খেলোয়াড় জিততে থাকে; অন্যথায়, বর্তমান প্লেয়ারটি একটি নম্বর সরিয়ে দেয় এবং অন্য খেলোয়াড়ের কাছে পাসের প্লে। প্রথম খেলা এলিস। উদাহরণ স্বরূপ:

• (1,2,3,4) - সংজ্ঞা অনুসারে তত্ক্ষণাত জিতল বব।

• (4,3,2,1) - এলিস তিনটি টার্নের পরে জয়লাভ করে, কেউ যেভাবেই খেলুক না কেন।

• (২,৪,১,৩) - অ্যালিস যেভাবে খেলুক না কেন, বব তার প্রথম পালাতে জিততে পারে।

• (1,3,2,4) - অ্যালিস 2 বা 3 টি সরিয়ে অবিলম্বে জয়ী হয়; অন্যথায়, 2 বা 3 মুছে ফেলার মাধ্যমে বব তার প্রথম ঘুরতে জিততে পারে।

• (1,4,3,2) - অ্যালিস অবশেষে জয়ী হয় যদি সে তার প্রথম টার্নে 1 নেয়; অন্যথায়, বব 1 টি সরিয়ে না ফেলে তার প্রথম পালাতে জিততে পারে ।

কোন খেলোয়াড় নিখুঁত খেলা অনুমান করে প্রদত্ত প্রারম্ভণা থেকে এই গেমটি জিতবে তা নির্ধারণ করার জন্য কি বহু-কাল-অ্যালগরিদম রয়েছে ? আরও সাধারণভাবে, কারণ এটি একটি স্ট্যান্ডার্ড নিরপেক্ষ গেম, প্রতিটি ক্রিয়াকলাপের একটি স্প্রেগ – গ্র্যান্ডি মান রয়েছে ; উদাহরণস্বরূপ, (1,2,4,3) এর মান * 1 এবং (1,3,2) এর মান * 2 হয়। এই মানটি গণনা করা কতটা কঠিন?

সুস্পষ্ট ব্যাকট্রাকিং অ্যালগরিদমটি ও (এন!) সময়ে চালিত হয়, যদিও এটি ডায়নামিক প্রোগ্রামিংয়ের মাধ্যমে সময়ের মধ্যে হ্রাস করা যেতে পারে ।$O(2^n poly(n))$

Comments

আমার কাছে মনে হয় যে নিষ্পাপ অ্যালগরিদম ও (2 ⋅ n⋅poly (n)) সময়ে চলে।

— সোসোশি ইতো

আপনার উদাহরণগুলি থেকে, এটি স্পষ্ট যে অ্যালিস সর্বদা জিতে থাকে যদি ক্রমটি নীচে নেমে থাকে এবং সিকোয়েন্সটি আরোহণে বব সর্বদা জয়ী হয়। এই সমস্যাটি আমাকে অ্যালগরিদমগুলি বাছাই বিশ্লেষণের স্মরণ করিয়ে দেয়, যা ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে এবং আপনাকে সরঞ্জামগুলির বিস্তৃত অস্ত্রাগার ব্যবহারের অনুমতি দেয়।

— চিজিসপ

@ চাজিসপ: "ক্রমটি নীচে নেমে থাকলে অ্যালিস সর্বদা জিতে যায়": যদি এন হয় তবে এটিই হয়।

— সোসোশি ইতো

@ জে ff ই এর ক্ষেত্রে ৩, বব কীভাবে প্রথম বারে জিততে পারে?

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ সুরেশ: (২,৪,১,৩) ক্ষেত্রে, গ্রাফের প্রতিনিধিত্ব হ'ল ৪ টি শীর্ষে (২-১-৪-৩) লিনিয়ার গ্রাফ। যদি অ্যালিস একটি শেষ নোড অপসারণ করে, এটি 3 টি শীর্ষে রৈখিক গ্রাফ ছেড়ে দেয়; কেন্দ্রের ভার্টেক্স মুছে ফেলে বব জিতেছে (সুতরাং 3 দ্বারা 1 টি উত্তর দেওয়া হয়, এবং 2 দ্বারা 4 দ্বারা উত্তর দেওয়া হয়)। যদি অ্যালিস একটি অভ্যন্তর নোড সরিয়ে দেয়, এটি দুটি সংযুক্ত প্রান্ত এবং একটি বিচ্ছিন্ন নোড ছেড়ে দেয়; দুটি সংযুক্ত উল্লম্বের যে কোনও একটি সরানোর মাধ্যমে বব জিতেছে (সুতরাং 1 টি 3 বা 4 দ্বারা উত্তর দেওয়া হয়, এবং 4 টি 1 বা 2 দ্বারা উত্তর দেওয়া হয়)।

— mjqxxxx

Answer 1

"ক্রমান্বয়ে গেম" নিম্নলিখিত গেমের জন্য বিস্ময়কর:

সংযোগ বিচ্ছিন্ন করুন। খেলোয়াড়রা পর্যায়ক্রমে একটি গ্রাফ থেকে শীর্ষে সরান । যে খেলোয়াড় সম্পূর্ণ সংযোগ বিচ্ছিন্ন গ্রাফ তৈরি করে (অর্থাত্ কোনও প্রান্তবিহীন গ্রাফ) সে বিজয়ী।$G$

গ্রাফ একটি নির্দিষ্ট প্রাথমিক বিন্যাস সংশ্লিষ্ট কেবলমাত্র সেই প্রান্ত রয়েছে যার জন্য এবং বিপরীত লক্ষণ আছে। এটি হ'ল, অনুক্রমের ভুল ক্রমে প্রতিটি সংখ্যার একটি প্রান্তের সাথে যুক্ত। স্পষ্টত অনুমোদিত অনুমতিগুলি চলমান খেলাগুলির মধ্যে বিস্ময়কর (একটি সংখ্যা সরিয়ে ফেলুন = একটি নোড সরান), এবং বিজয়ী শর্তগুলি আইসোমোরফিকও (অবতরণ ক্রমে কোনও জুড়ি নেই = কোনও কিনারা অবশিষ্ট নেই)। π ∈ এস এন ( আই , জে ) আই - জে π ( আই ) - π ( জে $G_{\pi}$$\pi\in S_n$$(i,j)$$i-j$$\pi(i)-\pi(j)$

একটি পরিপূরক দৃশ্য গ্রাফ সম্পূরক একটি "দ্বৈত" খেলা খেলে বিবেচনা করে প্রাপ্ত হয় , যা তাদের প্রান্ত রয়েছে , যার জন্য এবং হয় মধ্যে সঠিক বিন্যাস মধ্যে অর্ডার। সংযোগ বিচ্ছিন্ন করার জন্য দ্বৈত খেলাটি হ'ল: ( আই , জে ) আমি $G^{c}_\pi = G_{R(\pi)}$$(i,j)$$i$$j$

পুনঃসংযোগ করুন। খেলোয়াড়রা পর্যায়ক্রমে একটি গ্রাফ থেকে শীর্ষে সরান । যে খেলোয়াড় একটি সম্পূর্ণ গ্রাফ উত্পাদন করে সে বিজয়ী।$G$

নির্দিষ্ট ক্রিয়াকলাপের উপর নির্ভর করে, এই গেমগুলির মধ্যে একটি বিশ্লেষণ করা অন্যটির চেয়ে সহজ মনে হতে পারে। গ্রাফ উপস্থাপনার সুবিধাটি হ'ল এটি স্পষ্ট যে গ্রাফের সংযোগ বিচ্ছিন্ন উপাদানগুলি পৃথক গেমস, এবং তাই জটিলতায় কিছুটা হ্রাস পাওয়ার আশা করে। এটি পজিশনের প্রতিসাম্যগুলি আরও স্পষ্ট করে তোলে। দুর্ভাগ্যবশত, বিজয়ী অবস্থার অ-মানক হয় ... বিন্যাস খেলা সবসময় সব প্যাচসমূহ আপ ব্যবহার করা হয় আগে শেষ হয়ে যাবে, এটি একটি কিছু দান misère অক্ষর। বিশেষত, সংযোগ বিচ্ছিন্ন উপাদানগুলির নিম-মানগুলির নিম-যোগ (বাইনারি এক্সওআর) হিসাবে নিম-মান গণনা করা যায় না।

---

সংযোগ বিচ্ছিন্ন করুন, এটি দেখতে যে কোনো গ্রাফ জন্য কঠিন নয় এবং কোন এমনকি , খেলা সমতূল্য (যেখানে ভোঁতা গ্রাফ হয় ছেদচিহ্ন) । এটি প্রমাণ করার জন্য, আমাদের দেখতে হবে যে বিচ্ছিন্ন যোগফল এটি দ্বিতীয় খেলোয়াড়ের জয়। প্রমাণটি । তাহলে ভোঁতা হয়, তাহলে প্রথম খেলোয়াড় অবিলম্বে হারায় (উভয় গেম ধরে আছে)। তা না হলে, প্রথম খেলোয়াড় পারেন মধ্যে স্থানান্তর করতে পারেন , এবং দ্বিতীয় খেলোয়াড় অন্যটি (থেকে হ্রাস তাঁর পদক্ষেপ অনুলিপি করতে পারেন সঙ্গেএন জি ∪ ˉ কে এন জি ˉ কে এন এন জি + জি ∪ ˉ কে এন | জি | + এন জি জি জি $G$$n$$G \cup \bar{K}_n$$G$$\bar{K}_n$$n$$G + G\cup\bar{K}_n$$|G|+n$$G$$G$ | জি ′ | = | জি | - 1 এন ≥ 2 জি + জি ∪ ˉ কে এন - $G' + G'\cup \bar{K_n}$$|G'|=|G|-1$ ); বা, যদি , তবে প্রথম খেলোয়াড়টি সংযোগ বিচ্ছিন্ন অংশে চলে যেতে পারে, এবং দ্বিতীয় খেলোয়াড়ও এটি করতে পারে ( হ্রাস )।$n\ge 2$$G + G\cup\bar{K}_{n-2}$

এ থেকে জানা যায় কোন গ্রাফ সমতূল্য , যেখানে অংশ কোন বিচ্ছিন্ন ছেদচিহ্ন সঙ্গে, এবং বা হয় সমতা মধ্যে সংযোগ বিচ্ছিন্ন ছেদচিহ্ন সংখ্যা । সমতুল্য শ্রেণীর সমস্ত গেমগুলির একই নিম-মান রয়েছে এবং তদুপরি, সমতা সম্পর্কটি ইউনিয়ন পরিচালনাকে সম্মান করে: যদি এবং তবে । , কেউ দেখতে পাবে যে এবংএইচ ∪ কে পি এইচ জি পি = 0 1 জি জি ∼ এইচ ∪ কে পি জি ′ ∼ এইচ ′ ∪ কে $G$$H \cup K_p$$H$$G$$p=0$$1$$G$$G \sim H \cup K_p$ জি∪জি'~(এইচ∪এইচ')∪কে পি ⊕ পি ' [এইচ∪কে0][এইচ∪কে1]এইচএইচ+এইচ$G' \sim H' \cup K_{p'}$$G \cup G' \sim (H \cup H')\cup K_{p\oplus p'}$$[H \cup K_0]$$[H \cup K_1]$যদি না বিভিন্ন Nim-মান যখন বাজানো: ফাঁকা গ্রাফ হয় , প্রথম খেলোয়াড় বিচ্ছিন্ন প্রান্তবিন্দু নিতে পারে, যাব , এবং তারপর দ্বিতীয় খেলোয়াড়ের প্যাচসমূহ কপি তারপরে।$H$ এইচ + $H + H \cup K_1$$H+H$

পুনঃসংযোগের জন্য কোনও সম্পর্কিত পচন ফলাফল জানি না।

---

দুটি বিশেষ ধরণের ক্রিয়াকলাপ বিশেষত সহজ হিপ গেমের সাথে মিল।

1. প্রথমটি একটি আরোহী রান , যেমন, । যখন এই ফর্মটি গ্রহণ করে, গ্রাফ বিচ্ছিন্ন চক্রগুলির একটি সংঘ, এবং সংযোগ বিচ্ছিন্নকরণের খেলাগুলি একটি গেমের স্তূপে হ্রাস পায়: খেলোয়াড়রা পর্যায়ক্রমে একটি শিম থেকে একটি শিম সরিয়ে ফেলেন যতক্ষণ না সমস্ত গাদা আকারের ।π জি π 1$32165487$$\pi$$G_{\pi}$$1$
2. দ্বিতীয়টি রান , যেমন, । যখন এই ফর্ম, গ্রাফ লাগে গ্রন্থিচ্যুত চক্রের ইউনিয়ন, এবং পুনরাই ইন্টারনেট সংযোগ খেলার গাদা উপর একটি খেলা কমিয়ে দেয়: খেলোয়াড়দের পর্যায়ক্রমে এক গাদা থেকে একটি একক শিম অপসারণ নেই যতক্ষণ না শুধুমাত্র এক গাদা বাম ।π জি সি $78456123$$\pi$$G^{c}_{\pi}$

কিছুটা চিন্তাভাবনা দেখায় যে এই দুটি পৃথক গেমস হিপগুলিতে (আমরা তাদের 1-হিপস এবং ওয়ান-হিপ বলতে পারি , কিছুটা বিভ্রান্তির ঝুঁকিতে) আসলে তারা নিজেরাই সমকামী ph উভয়ই একটি তরুণ চিত্রের একটি খেলায় প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে (যেমন প্রাথমিকভাবে @ ডমোটর্প দ্বারা প্রস্তাবিত) যেখানে খেলোয়াড়রা বিকল্পভাবে কেবল একটি সারি বাদ না দেওয়া পর্যন্ত নীচের ডান বর্গক্ষেত্র সরান। এটি স্পষ্টতই 1-হিপসের সমান খেলা যখন কলামগুলি হিপগুলির সাথে মিলে যায় এবং সারিগুলি হিপগুলির সাথে মিলে গেলে ওয়ান-হিপ হিসাবে একই খেলা।

এই গেমের মূল উপাদানটি, যা সংযোগ বিচ্ছিন্ন এবং পুনরায় সংযোগের ক্ষেত্রে প্রসারিত হয় তা হল সময়কালটি একটি সহজ উপায়ে চূড়ান্ত গেমের সাথে সম্পর্কিত। যখন আপনার পালা আসবে, আপনি যখন জিতে যাচ্ছেন তার সাথে গেমটির একটি অদ্ভুত চলন বাকি থাকলে আপনি জিততে পারবেন। যেহেতু প্রতিটি পদক্ষেপে একটি একক বর্গ সরানো হয়, এর অর্থ আপনি গেমের শেষে থাকা স্কোয়ারের সংখ্যাটি এখন দেখতে চান তার বিপরীত সমতা থাকা চাই। তদুপরি, স্কোয়ারের সংখ্যাতে আপনার সমস্ত পালা একইরকম হবে; সুতরাং আপনি চূড়ান্ত গণনাটি কী সমতা চান তা শুরু থেকেই আপনি জানেন। চূড়ান্ত গণনাটি তাদের বিজয়ী হওয়ার জন্য সমান বা বিজোড় হওয়া উচিত কিনা তা অনুসারে আমরা দুটি খেলোয়াড় ইভ এবং অটোকে কল করতে পারি। ইভ সর্বদা অদ্ভুত সমতার সাথে রাজ্যে চলে এবং এমনকি সমতা সহ রাষ্ট্রগুলি উত্পাদন করে এবং অটো এর বিপরীত।

তার উত্তরে @ পিটারশোর ওয়ান-হ্যাপের একটি সম্পূর্ণ বিশ্লেষণ দেয়। প্রমাণটি পুনরাবৃত্তি না করে, আপলোডটি নিম্নলিখিত:

• অটো হিপস এবং হিপস পছন্দ করে এবং একক বৃহত্তর স্তূপ সহ্য করতে পারে। তিনি জিতেন যদি তিনি একটি ব্যতীত সমস্ত স্তূপ আকার তৈরি করতে পারেন তবে অন্তত ইভটিকে ফর্মের তাত্ক্ষণিক জয় না দিয়ে । আতর জন্য একটি অনুকূল কৌশল সবসময় ব্যতীত যখন রাষ্ট্র দ্বিতীয় বৃহত্তম গাদা থেকে নিতে হয় যখন তিনি থেকে গ্রহণ করা উচিত । শুরু করতে বড় স্তূপে অনেকগুলি মটরশুটি থাকলে ওটো হারাবে।2 ≤ 2 ( 1 , এন ) ( 1 , 1 , n > 1 ) $1$$2$$\le 2$$(1,n)$$(1,1,n>1)$$n$
• ইভ হিপ অপছন্দ করে । যদি সে সমস্ত হিপ মাপসই করতে পারে তবে সে জিতবে । ইভটির জন্য একটি সর্বোত্তম কৌশল হ'ল সর্বদা শেপ থেকে নেওয়া , যদি থাকে তবে শেফ থেকে কখনই নেওয়া উচিত নয়। শুরু করার জন্য খুব বেশি ইভটি হারাবে ।≥ 2 1 2 $1$$\ge 2$$1$$2$$1$

যেমনটি উল্লেখ করা হয়েছে, এটি 1-হিপগুলির জন্য সর্বোত্তম কৌশলও দেয়, যদিও এগুলি বাক্যাংশের তুলনায় কিছুটা বিশ্রী হয় (এবং আমি প্রাথমিক থেকে দ্বৈত "অনুবাদ" এ ত্রুটি করতে পারি)। 1-গাদা খেলায়:

• অটো এক বা দুটি বড় বড় গাদা পছন্দ করে এবং যে কোনও সংখ্যক সহ্য করতে পারে । তিনি ধিক্কার জানাই যদি তিনি সব করতে পারেন কিন্তু দুই বৃহত্তম গাদা হতে -heaps, অন্তত ইভ ফর্মের একটি তাৎক্ষণিক জয় প্রদান ছাড়া । অট্টোর জন্য একটি সর্বোত্তম কৌশল হ'ল সর্বদা তৃতীয় বৃহত্তম গাদা থেকে নেওয়া বা যখন দুটি মাত্র heগল থাকে তখন ছোট গাদা থেকে নেওয়া।1 ( 1 , 1 , … , 1 , 2 $1$$1$$(1,1,\dots,1,2)$
• ইভটি বৃহত্তম এবং দ্বিতীয় বৃহত্তম স্তরের মধ্যে একটি ব্যবধান অপছন্দ করে। যদি সে দুটি বৃহত heੇਰ একই আকারের করতে পারে তবে সে জিতবে। ইভটির জন্য সর্বোত্তম কৌশল হ'ল সর্বদা সবচেয়ে বড় গাদা থেকে নেওয়া, যদি এটি অনন্য হয় তবে কখনও কখনও বড় আকারের দুটি না থাকে।

@ পিটারশোর নোট হিসাবে, এটি পরিষ্কার নয় যে কীভাবে (বা যদি) এই বিশ্লেষণগুলি সংযোগ বিচ্ছিন্নকরণ এবং পুনরায় সংযোগের আরও সাধারণ গেমগুলিতে প্রসারিত করা যেতে পারে।

Comments

আমি মনে করি যে এই ধরণের গেমগুলি সম্মিলিতভাবে "ভার্টেক্স মুছে ফেলার গেমস" হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে But তবে আমি আপনার সাথে একমত যে বিজয়ী শর্তটি বেশ মানহীন যে এটি স্থানীয় বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তে গ্রাফের বৈশ্বিক সম্পত্তি যেমন ডিগ্রির ডিগ্রি হিসাবে উল্লেখ করে একটি ভার্টেক্স

— Tsuyoshi Ito

নির্মিত গ্রাফকে সাহিত্যে ক্রমবর্ধমান গ্রাফ ( en.wikedia.org/wiki/Permutes_ographic ) বলা হয়। কিছু কাঠামোগত বৈশিষ্ট্য সাহায্য করতে পারে।

— ইয়োশিও ওকামোটো

@ যোশিও: এটি একটি ভাল বিষয়। ক্রমশক্তি গেমটি গ্রাফ গেমের জন্য বিচ্ছিন্ন, তবে প্রারম্ভিক গ্রাফগুলি নির্বিচারে নয়। সুতরাং সাধারণ গ্রাফ গেমটি বিশ্লেষণ করা শক্ত হলেও, এটি সম্ভব যে গ্রাফের এই সাবক্লাসের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকলে এটি আরও সহজ হয়ে যায়।

— mjqxxxx

অন্যদিকে, আরও সাধারণ গঠনের পক্ষে কঠিন প্রমাণ করা আরও সহজ হতে পারে। ভার্টেক্স

— জেফি

আমি ম্যাথ.এসই ( math.stackexchange.com/questions/95895/… ) এ এই জাতীয় খেলায় বিশেষ করে একটি প্রশ্ন যুক্ত করেছি । ঘটনাক্রমে, যেহেতু ক্রম ছাড় গ্রাফগুলি বৃত্তাকার গ্রাফ, তাই বিকল্প বিকল্পটি নিম্নরূপ: খেলোয়াড়রা প্রাথমিক সেট থেকে জঞ্জাল মুছে ফেলা হয়; যে প্লেয়ারটি ছেদগুলির একটি ছেদ না করে এমন এক সেট ছেড়ে দেয় সে বিজয়ী।

— এমজেকিউএক্সএক্সএক্সএক্সএক্সএক্সএক্স

Answer 2

তার উত্তরে ডমোটরপ গেমের একটি বিশেষ কেস বিশ্লেষণ করার পরামর্শ দেয়। এই বিশেষ ক্ষেত্রে দেখা দেয় যখন অনুক্রমটি ক্রমবর্ধমান ক্রমগুলির ক্রম হয়, যার প্রত্যেকটি নিম্নলিখিতগুলির চেয়ে বড় (যেমন 8,9,5,6,7,4,1,2,3)। এই গেমটিতে, আপনি পাথরের স্তূপের সংগ্রহ দিয়ে শুরু করেন এবং খেলোয়াড়রা পর্যায়ক্রমে একটি স্তূপ থেকে একটি পাথর সরিয়ে ফেলেন। যে খেলোয়াড় একক স্তূপ ছেড়ে যায় সে জয়ী হয়। আমরা বলব যে ম এতে পাথর রয়েছে এবং ধরে যে দেওয়া হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, উপরের জন্য , টি 3,3,2,1। ডোমোটরপের উত্তরের মন্তব্যে আমি এই গেমটির বিশ্লেষণ দেওয়ার চেষ্টা করেছি, কিন্তু (ক) আমি এটি ভুল পেয়েছি এবং (খ) মন্তব্যগুলির সত্যিকারের প্রমাণ দেওয়ার মতো যথেষ্ট জায়গা নেই।h i h i h $i$$h_i$$h_i$$h_i$

এই গেমটি বিশ্লেষণ করার জন্য, আমাদের দুটি পরিমাণের তুলনা করতে হবে: , একক পাথর এবং ; সহ গাদা সংখ্যা ; নোট করুন যে আমরা যোগফলের বৃহত্তম গাদা উপেক্ষা করি। এটি সমস্ত পাথরের মধ্যে দুটি পাথরের বেশি থাকে না তা নিশ্চিত করার জন্য আপনাকে কয়েকটি পাথর সরিয়ে ফেলতে হবে। আমরা দাবি করি যে হারানো অবস্থানগুলি নিম্নরূপ:t = ∑ i ≥ 2 , h i > $s$$t=\sum_{i\geq 2, h_i>2\,} h_i -2$

1. বিজোড় সংখ্যক পাথর যুক্ত এমন অবস্থানগুলি ।$t \leq s-2$

2. এমন স্থানে যেখানে সংখ্যক পাথর রয়েছে।$t \geq s$

এটি হ'ল সহজেই যে হারানো অবস্থান থেকে, আপনাকে অবশ্যই একটি বিজয়ী অবস্থানে যেতে হবে, যেহেতু কেবল প্রতিটি মোড়কে সর্বাধিক 1 দ্বারা পরিবর্তন করতে পারে এবং প্রতিটি পদক্ষেপে 1 টি করে পাথরের সংখ্যা কমে যায়।$t - s$

এটি সঠিক কিনা তা দেখানোর জন্য, আমাদের দেখানো দরকার যে (1) বা (2) বিভাগে নেই এমন কোনও অবস্থান থেকে, প্রথম খেলোয়াড় একটি পদক্ষেপে হয় (1) বা (2) বিভাগে পৌঁছে যেতে পারে, বা সরাসরি জয়।

দুটি মামলা রয়েছে:

1. বিজোড় সংখ্যক পাথর যুক্ত অবস্থানগুলি । এখানে, যদি তবে একক পাথর দিয়ে গাদা থেকে একটি পাথর সরান। যদি কেবল একটি গাদা বাকী থাকে তবে আমরা জিতেছি। অন্যথায়, আমরা এখন । যদি একটি পাথর দিয়ে কোনও গাদা না থাকে তবে কমপক্ষে তিনটি পাথর দিয়ে একটি স্তূপ থেকে একটি পাথর সরান। (যেহেতু সেখানে বিজোড় সংখ্যক পাথর ছিল, এটি সম্ভব)। যেহেতু , আমাদের ।s > 0 t ≥ s s = 0 t ≥ $t \geq s-1$$s>0$$t \geq s$$s = 0$$t \geq s$

2. এমন একাধিক পাথর রয়েছে এমন অবস্থানগুলি । এখানে, বৃহত্তম গাদা বাদে কমপক্ষে দুটি পাথরযুক্ত কোনও গাদা থাকলে, তার মধ্যে একটি থেকে একটি পাথর সরান। যদি এই স্তূপে তিন বা ততোধিক পাথর থাকে তবে একের মাধ্যমে হ্রাস পায়। যদি এটিতে হুবহু দুটি পাথর থাকে তবে একে একে বাড়িয়ে দেয়। আমাদের কাছে এখন । সর্বশেষ কেসটি যখন একটি বাদে সমস্ত গাদা একক পাথর নিয়ে গঠিত; এই ক্ষেত্রে, এমনকি যদি সেখানে প্রচুর পাথর থাকে তবে প্রথম খেলোয়াড়ের জয় চেক করা সহজ।t s t ≤ s - $t \leq s-1$$t$$s$$t \leq s-2$

আমি এই কৌশলটি মূল গেমটিতে সাধারণীকরণের চেষ্টা করেছি এবং কীভাবে এটি করব তা অনুধাবন করতে পারি নি।

Comments

আমার উত্তরে, আমি লক্ষ করেছি যে এই বিশেষ মামলার একটি সমাধান থাকাও ইয়ং ডায়াগ্রামের স্থানান্তরিত করে প্রাপ্ত "দ্বৈত" পজিশনে খেলে ক্রমহ্রাসমান রানের ক্রমবর্ধমান সিরিজের সাথে বিশেষ কেসটি সমাধান করে। বিশেষত, ইভটির সর্বোত্তম কৌশলটি "সবচেয়ে বড় গাদা থেকে নেওয়া, যদি না আকারের ঠিক দুটি থাকে" এবং অট্টোর সর্বোত্তম কৌশলটি "ক্ষুদ্রতম স্তূপ থেকে নেওয়া" হয়ে যায়।

— mjqxxxx

আমি নিশ্চিত যে এই পদ্ধতির একটি নিখুঁত সমাধানের দিকে নিয়ে যাবে তবে এই মুহূর্তে এখনও একটি ছোট্ট ভুল রয়েছে, যেমন (3,1) হারাচ্ছে না এবং (3,1,1) হ'ল। সমস্যাটি হ'ল ২ এর সংজ্ঞাটি এই কেসটিকে বাদ দেওয়া উচিত, যেহেতু আমরা এক ধাপে একটি গাদা অবস্থানে পৌঁছতে পারি। তবে আমি মনে করি এটি ২ এর সাথে একমাত্র সমস্যা এবং আশা করি এটি সংশোধন করা কঠিন নয়।

— ডমোটরপ

@domotorp: (3,1) জন্য, T = 0 এবং গুলি = 1, তাই টি গুলি , এবং নির্ণায়ক (2) বলছেন যে এটা একটি হারানো পদ নয়। (3,1,1) এর জন্য, t = 0 এবং s = 2, সুতরাং t s 2, এবং মানদণ্ড (1) বলে যে এটি একটি হারানো অবস্থান। আমি মনে করি আপনি টি এর সংজ্ঞা অনুসারে এটি মিস করেছেন , আপনি সবচেয়ে বড় গাদা উপেক্ষা করছেন। ≤ $\not\geq$ $\leq$ $-$

— পিটার শর

অবশ্যই, আমি সেই অংশটি ভুলে গেছি ... তবে এই গেমটি সমাধান হয়ে যায়!

— ডমোটরপ

একটি সম্পূর্ণ উত্তর নয়, তবে এখনও অনুগ্রহের মূল্য রয়েছে।

— জেফ

Answer 3

দ্রুত অনুমানের পরীক্ষার জন্য আমি একটি সমাধান প্রয়োগ করেছি । এটি খেলতে নির্দ্বিধায় । স্থানীয়ভাবে আপনার কাছে সি ++ সংকলক না থাকলে আপনি "নতুন ইনপুট সহ আপলোড করুন" লিঙ্কটি ব্যবহার করে দূরবর্তীভাবে এটি বিভিন্ন ইনপুটগুলিতে চালাতে পারেন।$O(2^n n)$

@ জে ff ই এটি ঘটেছে যে (1,4,3,2) এর মূল্য * 1 রয়েছে, আপনার প্রস্তাব অনুযায়ী * 2 নয়।

Comments

উফ, আমার ভুল প্রশ্নটি স্থির করে: g (1,3,2) = mex {g (1,3), g (1,2), g (3,2)} = mex {0, 0, * 1} = * 2।

— জেফি

@ জে ff ই এটি আকর্ষণীয় যে জন্য যে কোনও পদের এসজি-মান 2 এর চেয়ে বেশি নয় I'm আমি এখন প্রমাণ করতে চেষ্টা করছি নির্বিচারে , যদিও আমি জানি না কীভাবে এটি সাহায্য করবে। $n \le 10$$n$

— Dmytro Korduban

@ মালদিনি: এটি আশা দেয় যে গেমটিতে কিছু দুর্দান্ত বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা এটি ট্র্যাকটেবল করে তুলতে পারে। আমি ভাবছি যে গ্রাফের গ্রাফগুলিতে সাধারণীকরণ বা গেমটি কেবল নিখুঁত গ্রাফগুলিতে সাধারণীকরণের সাথে কী ঘটে।

— পিটার শোর

Answer 4

৫ ই জানুয়ারী সম্পাদনা করুন: আসলে নীচে বর্ণিত ওয়ান হিপ গেমটি সমস্যাটির একটি বিশেষ ঘটনা, যখন সংখ্যাগুলি একে অপরকে একটি নির্দিষ্ট উপায়ে অনুসরণ করে যেমন প্রথম গ্রুপটি দ্বিতীয় গ্রুপের চেয়ে বড় যেটি তৃতীয় ইত্যাদির চেয়ে বড় etc এবং প্রতিটি গ্রুপের সংখ্যা বাড়ছে। উদাহরণস্বরূপ 8, 9, 4, 5, 6, 7, 2, 3, 1 হ'ল এইরকম এক অনুক্রম। তাই আমি প্রথমে এই বিশেষ কেসটি সমাধান করার প্রস্তাব দিই।

দাবি অস্বীকার: আমি আর দাবি করি না যে নীচের প্রমাণটি সঠিক, উদাহরণস্বরূপ স্যুওশি এর মন্তব্য যা দেখায় যে কোনও অনুমান থেকে কোনও সংখ্যা মুছে ফেলা হলে অনুমতিের ডায়াগ্রাম থেকে কোনও বর্গ মুছে ফেলা একটি চিত্রটি পাওয়া যায় না। আমি এই উত্তরটি এখানে রেখেছি তা দেখানোর জন্য যে এই পদ্ধতির কাজ করে না, এবং এটিতে আরও একটি সহজ গেম রয়েছে।

গেমটিতে ইয়াং টেবিলফক্সকে ধন্যবাদ দেওয়ার জন্য খুব সাধারণ একটি সূত্র রয়েছে। আমি নিশ্চিত যে এটিকে সেখান থেকে অন্যান্য গেমগুলির মতো বিশ্লেষণ করা যেতে পারে এবং এটি একটি রৈখিক সময়ের অ্যালগোরিদম অর্জন করবে।

প্রথমে ইয়ং ডায়াগ্রামগুলিতে নিম্নলিখিত গেমটি সংজ্ঞায়িত করুন: প্রতিটি সময়ে, যদি বর্তমান চিত্রটি অনুভূমিক (এক লাইনের সমস্ত স্কোয়ার) হয়, বর্তমান খেলোয়াড় হেরে যায় এবং অন্য খেলোয়াড়ের জয় হয়; অন্যথায়, বর্তমান প্লেয়ারটি নীচের ডানদিকের স্কোয়ারগুলির একটি অপসারণ করে এবং অন্য খেলোয়াড়ের কাছে প্লে খেলায়।

এখন একটি অল্প বয়স্ক টেবিলের মধ্যে সংখ্যার ক্রম অর্ডার করুন। মূল দাবিটি হ'ল আসল গেমের বিজয়ী এই আকার দিয়ে শুরু করা ডায়াগ্রাম গেমের মতোই বিজয়ীর মতো। এটি দেখতে, খেয়াল করুন যে যখনই প্লেয়াররা একটি সংখ্যা মুছবে, নতুন ক্রমের ডায়াগ্রামটি ডায়াগ্রামের নীচে-ডান বর্গক্ষেত্রটি মুছে ফেলা যায়। তদুপরি, সম্পর্কিত নীচের ডান বর্গক্ষেত্র থেকে নম্বর মুছে ফেলার মাধ্যমে এই জাতীয় কোনও চিত্রটি অর্জন করা যেতে পারে। এই বিবৃতিগুলি স্ট্যান্ডার্ড ইয়ং টেবিলাক্স তত্ত্ব থেকে অনুসরণ করে।

যদিও এই চিত্রটি গেমটি যথেষ্ট সহজ, এটি তুচ্ছভাবে নীচের গেমের সমতুল্য, যা আরও প্রমিত বলে মনে হচ্ছে:

ওয়ান হিপ গেম: খেলোয়াড়দের প্রত্যেককে কিছু নুড়ি দিয়ে কিছু গাদা দেওয়া হয়। প্রতিটি সময়ে, যদি তাদের কেবল একটি গাদা বাকী থাকে তবে বর্তমান প্লেয়ার হেরে যায় এবং অন্য খেলোয়াড় জিততে পারে; অন্যথায়, বর্তমান প্লেয়ারটি একটি গাদা থেকে একটি নুড়ি সরিয়ে অন্য খেলোয়াড়ের কাছে পাসের খেলাগুলি সরিয়ে দেয়।

যদি হিপ গেমটির একটি সহজ সমাধান হয় (এবং আমি দৃ strongly়ভাবে বিশ্বাস করি যে এটির একটি রয়েছে) আমরাও আসল গেমটির একটি সমাধান পেয়ে যাই: কেবলমাত্র একটি যুব টেবিলকে সিকোয়েন্সটি রাখুন এবং এর চিত্রটি স্তূপে রূপান্তরিত করুন।

দুর্ভাগ্যক্রমে আমি দেখতে পাচ্ছি না যে কোন স্তূপ অবস্থানগুলি জিতেছে / কীভাবে স্প্রাগ – গ্রান্দি মান নির্ধারণ করতে হয়। আমি হাতে কয়েকটি ঘটনা যাচাই করেছিলাম এবং নিম্নলিখিতগুলি হ'ল প্রায় pe টি নুড়ি দ্বারা পরাজিত অবস্থান:

একটি গাদা; (1,1,1); (2,2); (3,1,1); (2,1,1,1); (1,1,1,1,1); (4,2); (3,3); (2,2,2)।

এই গেমটি কি কেউ সমাধান করতে পারে?

সম্পাদনা করুন: পিটার শর পারেন, তার উত্তর দেখুন!

Comments

আপনি কীভাবে কোনও নির্দিষ্ট অনুক্রমকে একটি তরুণ ঝালরূপে পরিণত করা হয় এবং কীভাবে একই গেমটি (একটি আরোহণের ক্রম পৌঁছানো অবধি সংখ্যা অপসারণ) প্রদর্শিত হয় তা দেখানোর জন্য আপনি কি কমপক্ষে একটি উদাহরণ দিতে পারেন? "নীচের অংশে ডান স্কোয়ারগুলির একটি" সরানোর অর্থ কী তা আমি বিশেষত বুঝতে পারি না।

— mjqxxxx

এখানে দুর্বল দাবির প্রতিবিম্বের নমুনা রয়েছে যে কোনও অনুগমন থেকে কোনও সংখ্যা সরিয়ে আনার সাথে সম্পর্কিত ইয়ং ডায়াগ্রামের ( ত্বকের ঝর্ণার পরিবর্তে ) নীচের অংশের ডান দিকের একটি কক্ষ সরিয়ে ফেলার সাথে মিলে যায় । এন = 5 আসুন এবং ক্রমানুসারে নির্দিষ্ট করা অবস্থান বিবেচনা করুন [4,1,3,5,2] (এটি, σ (1) = 4, σ (2) = 1, এবং আরও), এবং 3 সরান ইহা হতে. সরানোর আগে সম্পর্কিত ইয়ং ডায়াগ্রাম 5 = 3 + 1 + 1, তবে সরানোর পরে সম্পর্কিত ইয়ং ডায়াগ্রাম 4 = 2 + 2, যা 3 + 1 + 1 থেকে একটি ঘর সরিয়ে নেওয়া হয় না।

— Tsuyoshi Ito

এবং ক্রিয়াকলাপ [5,4,1,2,3] এর মতো [4,1,3,5,2] ইয়াং ডায়াগ্রাম রয়েছে তবে আপনি এটি থেকে তরুণ চিত্রটি 4 = 2 + 2 এ পৌঁছাতে পারবেন না। সুতরাং গেমটি যুবক ঝালর আকারের চেয়ে বেশি নির্ভর করে more

— পিটার শোর

গঠনমূলক ভুল বোঝাবুঝির জন্য হুর!

— জেফি

@ জা ff ই: হ্যাঁ, এটি ভুল বোঝাবুঝির অস্তিত্বের প্রমাণের চেয়ে অনেক বেশি কার্যকর is

— সোসোশি ইটো