নিখরচায় সুপারস্টারিং সমাধান

Question

সংক্ষিপ্ত সুপারস্ট্রিং সমস্যার সঠিক জটিলতা সম্পর্কে কী জানা যায়? এটি চেয়ে দ্রুত সমাধান করা যায় $O^*(2^n)$? এমন কি অ্যালগরিদম রয়েছে যা টিএসপিকে হ্রাস না করে সংক্ষিপ্ততম সুপারস্ট্রিং সমাধান করে?

ইউপিডি: বহুপদী উপাদানগুলিকে দমন করে।$O^*(\cdot)$

সংক্ষিপ্ততম সুপারস্ট্রিং সমস্যা হ'ল এমন একটি সমস্যা যার উত্তর হ'ল সংক্ষিপ্ততম স্ট্রিং যা প্রদত্ত স্ট্রিংগুলির সেট থেকে প্রতিটি স্ট্রিং থাকে। প্রশ্নটি একটি বিখ্যাত এনপি-হার্ড সমস্যা শর্টেস্ট সুপারস্টারিং (গ্যারি এবং জনসন, পি। ২২৮) এর অপ্টিমাইজেশন বর্ধনের বিষয়ে।

Comments

"সুপারস্টারিং সমস্যা" কী?

— জেফি

আমি সংক্ষিপ্ত সুপারস্টারিং সমস্যা বোঝাতে চেয়েছিলাম, আমি এটি ঠিক করেছিলাম। ধন্যবাদ!

— অ্যালেক্স গোলভনেভ

ঠিক আছে, তাহলে "সংক্ষিপ্ত সুপারস্ট্রিং সমস্যা" কী? এই নামটির প্রাপ্য বেশ কয়েকটি সমস্যা এবং আমি আরও কয়েকটি সমস্যা সম্পর্কে ভাবতে পারি যে "সবচেয়ে সংক্ষিপ্ততর অনাকাক্সিক্ষত সমস্যা" হিসাবে অভিহিত হওয়া উচিত তবে সম্ভবত এটি বাস্তবে নেই । আমাদের কিছু প্রসঙ্গ দিন, দয়া করে!

— জেফি

আপনার সমস্যা ক্ষেত্র কি? উদাহরণস্বরূপ, আপনি জিনোম খণ্ডের মধ্যে সবচেয়ে স্বল্পতম স্ট্রিং সন্ধান করছেন, কারণ জিনোম বিভাজন সীমাবদ্ধ বৃক্ষের প্রস্থের গ্রাফ তৈরি করে, আপনি দ্রুত অ্যালগরিদম পেতে পারেন, তবে আপনি যদি উপলভ্য অ্যালগরিদমের তুলনায় কেবলমাত্র দ্রুত আগ্রহী হন তবে আপনার উত্তরটি হবেনা, যদি আপনি দ্রুত অ্যালগরিদম না করতে পারেন টিএসপিতে (সাধারণ হ্রাসের কারণে), এছাড়াও রয়েছে স্থানীয়ভাবে আবদ্ধ গাছের প্রস্থের গ্রাফগুলিতে অ্যালগরিদম। $O^*(2^{\sqrt n})$

— Saeed

@ অ্যালেক্সগলোভনেভ, হ্যাঁ আপনি ঠিক বলেছেন এটিএসপি, তবে আবদ্ধ বৃক্ষের প্রশংসার জন্য আমার মনে হয় cs.bme.hu/~dmarx/papers/marx-warsaw-fpt2 দেখতে ভাল লাগে বা আপনি যদি তাদের সম্পর্কে আরও জানতে চান তবে খুব ভাল আলগোরিদিমিক দেখুন মেটা উপপাদ্য

— Saeed

Answer 1

ধরে নিচ্ছি যে স্ট্রিংগুলির দৈর্ঘ্য বহুভুজ রয়েছে , তবে হ্যাঁ, কমপক্ষে একটি 2 এন রয়েছে - Ω ( $n$সময় সমাধান। কারণটি হ'ল সংক্ষিপ্ত সাধারণ সুপারস্ট্রিং সমস্যা থেকে এটিএসপি-তে বহুগুণীয় আকারের পূর্ণসংখ্যার ওজন সহকারে হ্রাস, যা আপনি পাল্টে বহুবর্ণীয় দ্বিখণ্ডনের মাধ্যমে সমাধান করতে পারেন যদি আপনি একটি নির্দেশিত মাল্টিগ্রাফে হ্যামিলটোনীয় চক্র গণনা করতে পারেন। পরবর্তী সমস্যাটিতে একটি2এন-Ω( √ ) রয়েছে$2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log n})}$সময় সমাধান। Björklund 2012$2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log n})}$

ওজন সঙ্গে ATSP থেকে হ্রাস ছেদচিহ্ন প্রতিটি জোড়া জন্য U , V নিম্নরূপ হ্যামিল্টনিয়ান চক্র কাউন্টিং যায়:$w_{uv}$$u,v$

জন্য , যেখানে W সমষ্টি একটি ঊর্ধ্ব সব অঙ্কের উপর বাউন্ড এন ATSP ইনস্ট্যান্সের মধ্যে ওজন, বিল্ড একটি লেখচিত্র জি দ যেখানে আপনি প্রতিটি ওজন প্রতিস্থাপন W তোমার দর্শন লগ করা v সঙ্গে দ W তোমার দর্শন লগ করা v থেকে পরিধির মধ্যে u to v ।$r=1,2,\cdots,w_\mbox{sum}$$w_\mbox{sum}$$n$$G_r$$w_{uv}$$r^{w_{uv}}$$u$$v$

প্রত্যেকের জন্য হ্যামিল্টনিয়ান চক্র কাউন্টিং সমাধানে দ্বারা , আপনি বহুপদী ক্ষেপক মাধ্যমে একটি বহুপদী গঠন করা যেতে পারে Σ W সমষ্টি ঠ = 0 একটি ঠ দ ঠ সঙ্গে একটি ঠ ওজন মূল গ্রাফে টিএসপি ট্যুর সংখ্যার সমান ঠ । অতএব ক্ষুদ্রতম এলটি সনাক্ত করা যেমন একটি এল -শূন্য নয় সমস্যাটি সমাধান করে।$G_r$$\sum_{l=0}^{w_\mbox{sum}} a_lr^l$$a_l$$l$$l$$a_l$

Comments

অনেক ধন্যবাদ! আমি হ্যামিলটোনিয়ান চক্র গণনার সাথে এই সংযোগটি জানতাম না।

— অ্যালেক্স গোলভনেভ

@ অ্যালেক্সগোলোভেন্ভ: তবে হ্রাস কম বা কম একইরূপে যেমন কোহন, গোটলিব, কোহনের ফলাফল আপনি নিজের উত্তরটিতে উদ্ধৃত করেছেন? এটি পূর্ণসংখ্যার উপর ন্যূনতম যোগ সমুদ্রের এম্বেডিং। যাইহোক, আমাকে বোঝার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ যে আমার কাগজের পরবর্তী সংস্করণটি এটিকে স্পষ্টভাবে বলা উচিত।

— Andreas Björklund

Answer 2

আমি সমস্যাটি অধ্যয়ন করেছি এবং আমি কিছু ফলাফল পেয়েছি। সংক্ষিপ্ত প্রচলিত সুপারস্টারিং (এসসিএস) কেবলমাত্র বহু বহু স্থানের ( কোহন, গটলিয়েব, কোহন ; কার্প ; বাক্স, ফ্র্যাঙ্কলিন ) সাথে সময়ে সমাধান করা যেতে পারে ।$2^n$

সর্বাধিক পরিচিত অনুমান (পলুচ)$2\frac{11}{30}$

সংকোচনের সর্বাধিক পরিচিত অনুমান (পালুচ)$3\over4$

SCS একটি গুণক দ্বারা আনুমানিক হতে পারেন, তাহলে বাইনারি বর্ণমালা ধরে, তাহলে এটি একটি গুণক দ্বারা আনুমানিক যাবে α কোনো বর্ণমালা (ওভার Vassilevska-উইলিয়ামস )।$\alpha$$\alpha$

পি = এনপি ( কার্পিনস্কি, না থাকলে এসসিএসকে 1.0029 এর চেয়ে বেশি অনুপাতের সাথে অনুমান করা যায় না ।$1.0029$

P = NP ( কার্পিনস্কি, না থাকলে সর্বাধিক সংক্ষেপণ 1.0048 এর চেয়ে বেশি অনুপাতের সাথে অনুমান করা যায় না ।$1.0048$

আমি কোনও সংযোজন এবং পরামর্শের জন্য কৃতজ্ঞ হবে।

Answer 3

এখানে সবচেয়ে কম সুপারস্ট্রিং সমস্যা: আপনি দেওয়া হয় স্ট্রিং গুলি 1 , ... , গুলি এন কিছু বর্ণমালা ধরে Σ এবং তোমাদের উপর সবচেয়ে কম স্ট্রিং খুঁজতে চান Σ যে রয়েছে প্রতিটি গুলি আমি পরপর অক্ষরের একটি subsequence, অর্থাত্ একটি সাবস্ট্রিং হিসাবে।$n$$s_1,\ldots, s_n$$\Sigma$$\Sigma$$s_i$

আমরা যখন সমস্যার জন্য সঠিক অ্যালগরিদম সম্পর্কে কথা বলি, সংক্ষিপ্ত সুপারস্ট্রিংয়ের দৈর্ঘ্য সন্ধান করা সর্বাধিক সংক্ষেপণ সি সন্ধানের সমতুল্য যা চূড়ান্ত সুপারস্ট্রিংয়ের ক্রমাগত সমস্ত স্ট্রিং ওভারল্যাপের যোগফল, সি = ∑ i | s i | - এল ।$L$$C$$C=\sum_i |s_i|-L$

যতদুর আমি জানি, সংক্ষিপ্ত সুপারস্ট্রিং রানে দ্রুততম সঠিক অ্যালগরিদম ( 2 এন ) যেখানে n হল স্ট্রিং সংখ্যা। এটি দীর্ঘতম পথ (এবং অন্যান্য সমস্যা) জন্য ডায়নামিক প্রোগ্রামিং অ্যালগরিদমের অনুরূপ একটি সাধারণ গতিশীল প্রোগ্রামিং অ্যালগরিদম:$O^*$$2^n$$n$

স্ট্রিং প্রতিটি উপসেট জন্য ও সুতো বনাম মধ্যে এস আমরা সব superstrings উপর সর্বাধিক কম্প্রেশন গনা এস যেখানে বনাম প্রথম স্ট্রিং, সুপারস্ট্রিং প্রদর্শনে ((গ হিসাবে এই সংরক্ষণ করছে না বনাম , এস ))। আমরা প্রথম শুধুমাত্র একটি উপাদান আছে এমন সমস্ত সাব-সেট নির্বাচন প্রক্রিয়া, এবং তারপর সি তৈরী করে এই কাজ (( বনাম , এস )) সাব-সেট নির্বাচন মান S উপর ট সেই থেকে স্ট্রিং ট - 1 স্ট্রিং। বিশেষ করে:$S$$v$$S$$S$$v$$v,S$$v,S$$S$$k$$k-1$

$u$$S'$$k-1$$u$$u,{u}\cup S'$$v$$S'$$u$$v$$v,S'$

$n^2 2^n + n^2 l$$l$

আপনি যদি ধরে নেন তবে আরও ভাল অ্যালগরিদম রয়েছে $l$ is small, or the pairwise overlaps are small, the alphabet size is small etc, but I am not aware of any algorithm that's faster than $2^n$.

Comments

OP knows $O^*(2^n)$ algorithm, he asked for faster solution.

— Saeed

as I said, I don't believe a faster solution is known.

— virgi

@virgi, thank you very much! Your algorithm is very nice. But I think inclusion-exclusion principle gives us even $O^*(2^n)$-algorithm with polynomial space for the Superstring problem. I'm really interesting in faster algorithms, may be with some constraints (small alphabet, short answer etc). Thank you very much!

— Alex Golovnev