প্ল্যানার হ্যামিলটোনিয়ান সাইকেল এনপি-কমপ্লিট (হ্যামিলটনিয়ান চক্র থেকে) প্রমাণ করার জন্য আমি একটি সহজ গ্যাজেট চাই

জানা যায় যে হ্যামিলটোনিয়ান (হ্যামের সংক্ষিপ্ত) চক্রটি এনপি-সম্পূর্ণ এবং প্ল্যানার হ্যাম সাইকেল এনপি-সম্পূর্ণ Comp প্ল্যানার হ্যাম সাইকেলটির প্রমাণ হ্যাম সাইকেল থেকে নয়।

একটি দুর্দান্ত গ্যাজেট রয়েছে যা একটি গ্রাফ জি দেওয়া হবে, সমস্ত ক্রসিংগুলি কিছু প্ল্যানার গ্যাজেটের সাথে প্রতিস্থাপন করবে যাতে আপনার প্ল্যানার গ্রাফ জি থাকে 'যেমন

জি এর একটি হাম চক্র রয়েছে যদি জি 'এর একটি চক্র থাকে।

(আমি রূপগুলি যেমন হ্যাম পাথ বা পরিচালিত হাম সাইকেল বা দিকনির্দেশিত হাম পাথের সাথে খুশি হব))

— বিল গ্যাশারচ
সূত্র

কিছুটা তুচ্ছ পর্যবেক্ষণ। ধরা যাক আপনি

G

$G$ এবং প্রান্তগুলি

(x, y)

$(x,y)$ এবং

(u, v)

$(u,v)$ ক্রসটি

x, v, y, u

$x,v,y,u$ ক্রসিং পয়েন্টের চারদিকে ঘড়ির কাঁটার দিকে উপস্থিত আছেন। একটি গ্যাজেট দ্বারা এটি প্রতিস্থাপন

P_{x v y u}

$P_{xvyu}$ আছে চার প্রবেশদ্বার পয়েন্ট

x^{'}, v^{'}, y^{'}, u^{'}

$x',v',y',u'$ সংশ্লিষ্ট

x, v, y, u

$x,v,y,u$ । একটি হ্যামিল্টনিয়ান চক্র তাহলে

G

$G$ উভয় প্রান্ত ব্যবহার

(x, y)

$(x,y)$ এবং

(u, v)

$(u,v)$ তারপর

G^{'}

$G'$ সংশ্লিষ্ট চক্র স্ব-ক্রস করতে হবে। অবশ্যই এই একটি `গ্যাজেট" এবং এছাড়াও হ্যামিল্টনিয়ান চক্র যে অধিকাংশ সাদাসিধা ব্যাখ্যা অনুমান

G^{'}

$G'$ চাহিদা সংশ্লিষ্ট চক্র হিসাবে একই প্রান্ত অনুসরণ করতে

G

$G$ ।

— Marek Chrobak

হ্যাম সাইকেল কী? অনুমান করবেন না যে প্রত্যেকে আপনার সংক্ষিপ্তসারগুলি বোঝে।

— Tsuyoshi Ito

@ মেরেকক্রোবাক: আমি আপনার মন্তব্যের সাথে একমত আপনি আপনার যুক্তি এড়াতে দুটি উপায় দিন। আমি মনে করি সবচেয়ে প্রাকৃতিক এক সেকেন্ড এগুলির মধ্যে একটি: একটা হ্যামিল্টনিয়ান চক্র

x \to y \to \dots \to u \to v \to \dots \to x

$x\to y\to\dotsb\to u\to v\to\dotsb\to x$ মধ্যে

G

$G$ iff অস্তিত্ব আছে একটি হ্যামিল্টনিয়ান চক্র

x \to x^{'} \to \dots \to u^{'} \to u \to \dots \to y \to y^{'} \to \dots \to v^{'} \to v \to \dots \to x

$x\to x'\to\dotsb \to u'\to u\to\dotsb\to y\to y'\to\dotsb\to v'\to v\to\dotsb\to x$ ।

— ব্রুনো

@ শুয়োশি: এর অর্থ হ্যামিল্টোনীয় চক্র। আমি মনে করি যে এটি প্রত্যেকেরই বুঝতে পারে তা অনুমিত হওয়া যুক্তিযুক্ত।

— ডোমোটরপ

@ বিল: আমি ভাবছি যে আপনি কেন এমন গ্যাজেটের উপস্থিতি থাকা উচিত বলে মনে করেন। পারাপারের যখন সমতল মধ্যে একটি অবাধ গ্রাফ এম্বেডিং খুব বড় হতে পারে সংখ্যা (

সম্পূর্ণ গ্রাফ জন্য - ক্রসিং থিম দেখুন)। সুতরাং, যদি আপনি

প্রান্ত এবং অনেকগুলি প্রান্তের সাথে গ্রাফ দিয়ে শুরু করেন (চতুর্ভুজ কাছাকাছি বলুন) তবে

Θ (n^{4})

$\Theta(n^4)$

n

$n$

— উল্টা

কমপক্ষে, একটি ক্রসওভারের জন্য কোনও "দুর্দান্ত" গ্যাজেট নেই।

যাক এবং একটি ক্রস আমরা প্রতিস্থাপন করতে চান হও। $(a, b)$ $(x,y)$ এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

আমাদের গ্রাফ, জন্য অনেকগুলি কেস রয়েছে তবে আমাদের কমপক্ষে নিম্নলিখিত চারটি সন্তুষ্ট করতে হবে। কেস 1: কমপক্ষে একটি হ্যামিল্টোনীয় চক্র রয়েছে, তবে কোনওটি কিনারা ব্যবহার করে না। কেস 2: কমপক্ষে একটি চক্র রয়েছে এবং সমস্ত চক্র দুটি প্রান্তের ঠিক একটি ব্যবহার করে। কেস 3: কমপক্ষে একটি চক্র রয়েছে এবং সমস্ত চক্র উভয় প্রান্ত ব্যবহার করে। কেস 4: হ্যামিল্টোনীয় চক্র নেই। $G$

যদি আমাদের গ্যাজেটটি (বেশী বা) প্রত্যেকের জন্য ছেদচিহ্ন দুই সব একই প্রতিবেশীদের সংলগ্ন (যাতে এবং বজায় রাখা 'র প্রতিবেশীদের) তাহলে অগত্যা এখনো প্ল্যানার হবে না। উপরের আমাদের ক্ষেত্রে প্রথমটি সন্তুষ্ট করতে, তারপরে আমাদের গ্যাজেটে কোনও নতুন শীর্ষবিন্দু থাকতে পারে না। $a, b, x, y$ $a_0$ $a_1$ $a$ $G'$

উপরের 3 কেসটি পূরণ করার জন্য, গ্যাজেটে আমাদের কমপক্ষে দুটি প্রান্ত থাকা উচিত। প্ল্যানার এবং কভারিং জুড়ি, বা কেস 2 কে সন্তুষ্ট করে না, তাই আমাদের তৃতীয় প্রান্তটি দরকার। সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই, এই তিনটি । $(a, x), (y, b)$ $(a, y), (x, b)$ $(a, y), (y, b), (x,b)$

তবে, সেই প্রতিস্থাপনটি চতুর্থ ক্ষেত্রে ভঙ্গ করে, কারণ যখন হ্যামিল্টোনীয় চক্র ধারণ করতে পারে তখন না উদাহরণস্বরূপ, যেখানে এবং $G'$ $G$ $G = (V, E)$ $V = \{a, b, x, y, p, q, r, s, t\},$ । প্ল্যানার নয় এবং হ্যামিল্টোনীয় চক্র নেই। $E = \{(a, b), (x, y), (a, r), (a, p), (a, q), (b, s), (b, x), (p, s), (p, t), (p, y), (q, x), (r, y), (t, x)\}$ $G$ এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

$G' = (V, E')$ $E' = \{(a, y), (y, b), (x, b)\} \cup$ $\{(x, y), (a, r), (a, p), (a, q), (b, s), (p, s), (p, t), (p, y), (q, x), (r, y), (t, x)\}$ $G'$ $a, q, x, t, p, s, b, y, r, a$

$(b, y)$ $(a, x)$ $G'$

$(a, b), (a, y), (x, b)$

যেহেতু তিনটি প্রান্তগুলি ব্রেক 4 কেস যুক্ত করে, আরও যুক্ত করা কোনও লাভ করবে না।

$a, b, x$ $y$

(দ্রষ্টব্য: আমি উপরে কোনও ত্রুটি করেছি কিনা দয়া করে আমাকে জানান!)

( ~~দ্রষ্টব্য 2: আমার কিছু সুন্দর পরিসংখ্যান ছিল, তবে সেগুলি পোস্ট করতে পারছি না~~ Posted পোস্ট হয়েছে))

— কাইলি
সূত্র

আমি মনে করি আপনার এখন পরিসংখ্যান পোস্ট করতে সক্ষম হওয়া উচিত।

— Jukka Suomela