দাবাবোর্ডে পারফেক্ট ম্যাচিং?

দু'জন একে অপরকে আক্রমণ না করে সর্বাধিক সংখ্যক নাইটকে দাবাবোর্ডে স্থাপন করার সমস্যাটি বিবেচনা করুন। উত্তরটি 32: এটি একটি নিখুঁত মিল খুঁজে পাওয়া খুব কঠিন নয় (নাইট চালচলন দ্বারা উত্পন্ন গ্রাফ দ্বিপক্ষীয়, এবং 4 × 4 বোর্ডের জন্য একটি নিখুঁত মিল রয়েছে) যা অবশ্যই ন্যূনতম প্রান্তের কভার। উত্তরটি প্রমাণ করা মুশকিল $\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$ একটি জন্য $m \times n$ দাবার ছক যখনই $m,n \geq 3$ : এটা জন্য matchings দেখানোর জন্য যথেষ্ট $3 \leq m,n \leq 6$ এবং আনয়ন পায়ের একটি বিট না।

অন্যদিকে, যদি দাবা বোর্ডটি টরয়েডাল এবং $m, n$ হয় তবে প্রমাণটি এমনকি ছোট বোর্ডগুলির সাথে একটি মিল দেখানোর প্রয়োজন হয় না: মানচিত্র $(x, y) \rightarrow (x+1, y+2)$ কেবলমাত্র সম-দৈর্ঘ্য চক্র তাই অবশ্যই একটি নিখুঁত মিল আছে।

আয়তক্ষেত্রাকার দাবাবোর্ডগুলির জন্য কোনও সমতুল্য কি আছে , অর্থাত্ যথেষ্ট বড় $m, n$ সবসময় দাবাবোর্ডের একটি নিখুঁত মিল রয়েছে তা দেখানোর কোনও সহজ উপায় কি? বড় বোর্ডগুলির জন্য, আয়তক্ষেত্রাকার বোর্ড এবং টেরয়েডাল বোর্ড প্রায় অর্থে সমান যে অনুপস্থিত প্রান্তগুলির ভগ্নাংশটি শূন্যে চলে যায়, তবে আমি কোনও তাত্ত্বিক ফলাফল সম্পর্কে অবগত নই যা এই ক্ষেত্রে নিখুঁত মিলের গ্যারান্টি দেয়।

যদি হয়, উভয় দিকের লাফানোর পরিবর্তে , একটি নাইট উভয় দিকের স্কোয়ারে লাফিয়ে উঠেছে ? অথবা, এই বিষয়টির জন্য, স্কোয়ারগুলি, বিজোড় এবং কোপ্রিম সহ? যদি হয় প্রতিপাদন সহজ উপায় যে উত্তর $(1, 2)$ $(2, 3)$ $(p, q)$ $p+q$ $p, q$ পর্যাপ্ত পরিমাণে বড়(বলুন,) এর জন্য,দেখতে কেমন? $\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$ $m, n$ $m, n \geq C(p, q)$ $C(p, q)$

co.combinatorics matching

— ctgPi
সূত্র

এটি একটি দুর্দান্ত প্রশ্ন।

— সুরেশ ভেঙ্কট

আমি মনে করি একটি নাইটের ভ্রমণ যথেষ্ট।

এবং

সমান হলে দৃশ্যত বন্ধ ট্যুরগুলি সর্বদা উপস্থিত থাকে ।

m, n > 8

$m,n > 8$

m n

$mn$

— টিমোথি সান

উত্তরটি নয় সব বৃহৎ জন্যযদি উদাঃএবং। কেন? লক্ষ্য রাখবেন যে বাকিদের কারণে $\lceil \frac{mn}2\rceil$ $m, n$ $p=6$ $q=3$ এখন গ্রাফটি তিনটি দ্বিদলীয় গ্রাফের (ভার্টেক্স) বিচ্ছিন্ন ইউনিয়ন এবং প্রতিটি থেকে আমরা বড় অর্ধেকটি নির্বাচন করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ যদি , তবে এইভাবে আমরা 5002 নাইট রাখতে পারি। (এটি কারণ $\mod 3$ $m=n=100$ ছয়টি ক্লাস রয়েছে যা তিনটি জোড়ায় রয়েছে, জোড়ার কার্ডিনালটির মধ্যে পার্থক্যটি ) $x+y \mod 6$ $1,1,2$

আমি জানি না যে যদি আমরা শর্তটি যুক্ত করি যে এবং অপেক্ষাকৃত মৌলিক। (দ্রষ্টব্য যে 2 বিভাজক ব্যতীত এটি এবং তুলনামূলকভাবে প্রাইম হওয়ার সমতুল্য, বাস্তবে এটি আমাদের শর্ত যা প্রয়োজন এবং এটিও দেখায় যে বিজোড় হওয়া প্রয়োজনীয়।) $p$ $q$ $p+q$ $p-q$ $p+q$

— domotorp
সূত্র

ওহ, ভাল পয়েন্ট; আপনার পর্যবেক্ষণ প্রতিবিম্বিত করতে আমি প্রশ্নটি সংশোধন করেছি।

— ctgPi