একটি সাজানো তালিকার আনুমানিক যোগফল

Question

সম্প্রতি, আমি বাছাই করা নন-সংকেত সংখ্যার তালিকার আনুমানিক যোগফলের গণনা করার জন্য সমস্যার উপরে কাজ করেছি। যেকোন স্থির , একটি সময় আনুমানিক স্কিম তৈরি করা হয়েছে যা এটি একটি ps এপসিলন যোগফলের জন্য অ্যাপপ্রক্সিমেশন দেয়। কাগজটি http://arxiv.org/abs/1112.0520 এ পোস্ট করা হয়েছে, যা চূড়ান্ত হয়নি।ও ( লগ এন ) $\epsilon>0$$O(\log n)$$(1+\epsilon)$

আমি এই সমস্যার জন্য বিদ্যমান কাজগুলি সন্ধান করছি, তবে আমি কেবল কয়েকটি দূরবর্তী সম্পর্কিত কাগজপত্র পেয়েছি এবং সেগুলি উদ্ধৃত করেছি। এই সমস্যা আগে পড়াশোনা করা হয়েছিল? যদি কেউ এই সমস্যা সম্পর্কে বিদ্যমান কোন গবেষণা জানেন তবে দয়া করে আমাকে জানান। আমি সাহায্যের প্রশংসা করব এবং সেই অনুসারে উদ্ধৃতিগুলি আপডেট করব। ফলাফলগুলি পুরানো হলে কাগজটি কোনও আবর্জনার ক্যানের মধ্যে ফেলে দেওয়া হবে।

Comments

কাগজ ভাগ করে নেওয়ার জন্য ধন্যবাদ! আপনি দয়া করে কিছু অনুপ্রেরণা দেবেন কেন বাছাই করা তালিকাগুলির জন্য আনুমানিক যোগফলটি অধ্যয়ন করার জন্য যত্ন কেন ? আমি বোঝাচ্ছি যে তালিকাটি বাছাই করা বেশ শক্তিশালী অনুমান।

— দাই লে

@ ডেইল: সম্ভবত ধারণাটি কারণ সমস্যার বেশ কিছুটা কাঠামো যুক্ত করেছে; একটি নিরবচ্ছিন্ন তালিকার আনুমানিক যোগফল খুঁজে বের করার চেষ্টাটি স্পষ্টতই অস্থির হয়ে উঠছে কারণ আপনি যে নির্দিষ্ট নম্বরগুলি পরীক্ষা করেন তা বাদে তালিকার বিষয়ে আপনার কাছে একেবারেই কোনও তথ্য নেই।

— স্টিভেন স্টাডনিকি

@ বিন: সর্বাত্মক-ইতিবাচক ক্ষেত্রে যোগফলের সান্নিধ্যের উপর নীচে আবদ্ধ হওয়া 'ধরা' থেকে মনে হয় যে শূন্যের কাছাকাছি যাওয়ার কোনও ভাল উপায় নেই; স্পষ্টতই এটি স্ট্যান্ডার্ড আনুমানিক স্কিম, তবে এখানে ফলাফলের যোগফলের আকারের চেয়ে বৃহত্তম উপাদানটির আকারের ক্ষেত্রে ত্রুটি পরিমাপ করা ভাল বলে মনে হয়; এটি কি কেবল ফলাফলকে তুচ্ছ করে তোলে?

— স্টিভেন স্টাডনিকি

গণিতে আমরা প্রায়শই f (1) + f (2) +… + f (n) এর মতো অঙ্কগুলি গণনা করার সূত্রগুলি দেখতে পাই, যেখানে f (n) একটি ফাংশন। অনেক ফাংশন একঘেয়েমি হয়। উদাহরণস্বরূপ, f (n) = n ^ k (লগ এন)। একরোটিক ফাংশন এফ (।) এর জন্য এই জাতীয় অঙ্কের গণনা করার কার্যকর উপায় আছে কিনা তা জিজ্ঞাসা করা স্বাভাবিক। আমি যখন এই কাগজটি লিখেছিলাম তখন আমার উদ্বেগ ছিল যে আমি যদি এমন কিছু করার সময় নষ্ট করে যাচ্ছি যা ইতিমধ্যে পরিচিত। এই কারণেই অনেক পেশাদার ব্যক্তি এখানে রয়েছেন বলে সম্পর্কিত রেফারেন্সগুলির জন্য সহায়তা চাইতে আমি এই ওয়েবসাইটে এসেছি। মন্তব্যের জন্য ধন্যবাদ। বিন ফু

— বিন ফু

@ বিন ফু: আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ অনুমানটি বোঝায়!

— দাই লে

Answer 1

এই সমস্যা নিম্নলিখিত কাগজ, যেখানে আরও সাধারণ সমস্যার বেশিরভাগই সুরাহা হয় মীমাংসিত হয় http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/06/integrate/ ।

Answer 2

হার-পেলেডের কোরসেট পেপারের প্রমাণের বিবরণ পড়ার পরে , এখন আমি বুঝতে পারি যে তার পদ্ধতিটি অনুসারে বাছাই করা ননজেটিভ সংখ্যার আনুমানিক যোগফলের জন্য একটি ও (লগ এন) সময়ের অ্যালগরিদমকে বোঝায়। কোরিসেটটি বাছাই করা তালিকার সংখ্যার উপসেট দ্বারা গঠিত এবং তাদের অবস্থানগুলি কেবলমাত্র তালিকা আকার এন এবং আনুমানিক অনুপাতের অ্যাপসিলনের উপর নির্ভর করে। কোরসেটের সমস্ত পয়েন্টের ওজন ও (লগ এন) সময়ে গণনাযোগ্য। সুতরাং, এটি কাগজটিতে স্পষ্টভাবে দাবি করা না হলেও এটি একটি সাজানো তালিকার আনুমানিক যোগফলের জন্য একটি ও (লগ এন) সময়ের অ্যালগোরিদম নিয়ে আসে। যেহেতু অ্যালগরিদম হ্যার-প্লেডের কাগজের দাবি করা উপপাদাগুলির পরিবর্তে কোরসেট নির্মাণের প্রমাণে লুকানো আছে, তাই আমি কাগজে ফলাফলগুলি পরীক্ষা করে ঠিক পরে এমন সিদ্ধান্তে পেলাম না।

আমি ওপেন (লগ এন) সময় অ্যালগরিদমযুক্ত বিভাগ 4 মুছে ফেলে আমার কাগজটি সংশোধন করেছি। হার-পেলেডের কাগজটি আপডেট হওয়া সংস্করণে উদ্ধৃত করা হয়েছে। ও (লগ এন) সময়ের সাথে অতুলনীয় জটিলতা থাকার কারণে প্রথম অ্যালগরিদম এখনও রাখা হয়। উদাহরণস্বরূপ, এটি ও (লগ লগ এন) সময়ে চলে যখন ইনপুট অনুসারে বাছাই করা তালিকার সংখ্যাগুলি 0 থেকে (লগ এন) to {হে (1)} এর মধ্যে থাকে} অ্যালগরিদম একটি চতুষ্কোণ অঞ্চল অঞ্চল অনুসন্ধানের উপর ভিত্তি করে তৈরি হয়েছে, যা কোরসেট নির্মাণের চেয়ে অনেক বেশি আলাদা। সময় নিম্ন সীমাটি রাখা হয়, কিন্তু সামান্য সংশোধিত।

এই লাইনে কাজগুলি সম্পর্কে এখন আমার আরও ভাল ধারণা রয়েছে। আমি এই ওয়েবসাইটটিতে তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের সহকর্মীদের কাছ থেকে পেশাদার সহায়তার সত্যই প্রশংসা করি, যা একটি দুর্দান্ত প্রতিক্রিয়া সরবরাহ করে। আমার সংশোধিত কাগজটি আগামী কয়েক দিনের মধ্যে একই সংরক্ষণাগার সাইটে পাওয়া যাবে। আমি বাদ পড়তে পারে সম্পর্কিত সম্পর্কিত উল্লেখ সম্পর্কে আরও মন্তব্য আন্তরিকভাবে স্বাগত জানাই।

বিন ফু

Comments

হুম। হার-প্লেডের দশটি কোরসেট কাগজগুলির মধ্যে আপনার অর্থ কী? এছাড়াও কোরসেট (দুটি ই এর সাথে) করসেটের মতো নয় (এক ই সহ)। কেউ এলোমেলো নমুনা ব্যবহার করে; অন্যটি তিমির হাড় ব্যবহার করে।

— জেফি

@ জে ff ই: আমি মনে করি যে তিনি সরিলের উত্তরে উল্লিখিত কাগজটি বোঝাতে চেয়েছিলেন।

— সোসোশি ইটো

সম্ভবত, তবে আমি যখন আমার মন্তব্য পোস্ট করেছি, পৃষ্ঠায় এই উত্তরটি সারিলের চেয়ে বেশি ছিল। আমি একটি লিঙ্ক যুক্ত করেছি।

— জেফি

আমার আপডেট হওয়া সংস্করণটি এখন arxiv.org/abs/1112.0520 এ উপলব্ধ ।

— বিন ফু

Answer 3

হার-পিল্ডের কোরসেট কাগজটি আনুমানিক সমষ্টিগত সমস্যার জন্য একটি -সাইজ কোরসেটের অস্তিত্ব দেখায় । এটি তুচ্ছ বলে মনে হচ্ছে এবং আনুমানিক যোগফলের জন্য কোনও ও ( লগ এন ) সময় অ্যালগরিদম স্পষ্টভাবে বোঝায় না ।$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$

ধরুন যে । সংশোধন করা হয়েছে. একটি সাজানো তালিকার জন্য 0 ≤ একটি 1 ≤ একটি 2 ≤ ⋯ ≤ একটি এন , নিম্নলিখিত পয়েন্ট আনুমানিক যোগফল সমস্যার জন্য একটি তুচ্ছ coreset গঠন:$\varepsilon > 0$$0\leq a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$

$\qquad a_n, \frac{a_n}{1+\varepsilon}, \frac{a_n}{(1+\varepsilon)^2}, \dots , \frac{a_n}{(1+\varepsilon)^k}$

$k \in \mathcal{O}\left(\frac{\log n}{\varepsilon}\right)$

$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$

$\mathcal{O}(\log n)$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-j}$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-j}$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-(j+1)}$$\mathcal{O}((\log n)^2)$

Comments

হার- প্লেডের দশটি কোরসেট কাগজগুলির মধ্যে আপনার অর্থ কী? এছাড়াও, coreset ≠ কাঁচুলি !

— জেফি

এটি উত্তর হিসাবে পোস্ট করা উচিত নয় কারণ এটি আপনার প্রশ্নের মোটেই উত্তর দেয় না। এটি সবচেয়ে ভাল হবে যদি এটি সারিলের উত্তরের মন্তব্য হিসাবে পোস্ট করা যেতে পারে তবে এটির জন্য এটি খুব দীর্ঘ। আমি এটিকে প্রশ্নের আপডেট হিসাবে পোস্ট করব।

— Tsuyoshi Ito

সোসোশি: আপনি ঠিক বলেছেন। আমার মন্তব্যগুলি পোস্ট করা উচিত

— বিন ফু

উত্তর অঞ্চল পরিবর্তে মন্তব্য অঞ্চল। দুঃখিত।

— বিন ফু

আমি মনে করি না আপনি আমার কাগজটি বুঝতে পেরেছেন। আপনি উপরে যা লিখেছেন তা উভয়ই ভুল এবং আমার কাগজে যা আছে তা নয়।

— সারিল হার-পিলড