3-মূল্যবান যুক্তির কার্যকরী সম্পূর্ণতা

সাম্প্রতিক কিছু কাজের প্রেক্ষাপটে আমরা একটি ত্রি-মূল্যবান যুক্তি-লা ক্লিনির উপর ভিত্তি করে একটি ভাষা নির্ধারণ করছি, যেখানে $1$ সত্য হিসাবে দাঁড়ানো, $0$ মিথ্যা জন্য, এবং $\bot$ ত্রুটি বা না জানি জন্য। আমাদের ভাষাটি উদ্বেগজনক ছিল তা প্রদর্শনের জন্য, আমরা প্রমাণ করতে চেয়েছিলাম যে আমরা কার্যকরভাবে সম্পূর্ণ অপারেটরগুলির একটি সেট তৈরি করতে পারি।

সাহিত্যে বিদ্যমান ফলাফলগুলি খুঁজে পাওয়া বেশ কঠিন ছিল। আমরা জোব দ্বারা 1962 সালে লেখা একটি কাগজ পেয়েছি, যা নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি বলে:

জোব 1962 উপপাদ্য কাগজ (অ্যাক্সেস সীমাবদ্ধ)।

ত্রি-মূল্যবান যুক্তি $E$ সেট উপর প্রকাশ করা $\{1, 2, 3\}$ এবং অপারেটর দ্বারা সংজ্ঞায়িত $\bullet, E_1$ এবং $E_2$ নীচে দেওয়া, কার্যকরীভাবে সম্পূর্ণ।

$\begin{array}{cccccc} ∙ & 3 & 2 & 1 & E_{1} & E_{2} \\ 3 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}$ $\begin{array}{c|ccc|c|c} ~\bullet~ & ~3~ & ~2~ & ~1~ & ~E_1~ & ~E_2~ \\ \hline 3 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}$

আমাদের কাগজে, আমরা আমাদের অপারেটর এবং জোবি দ্বারা সংজ্ঞায়িতদের মধ্যে একটি চিঠিপত্র দেখিয়ে এই ফলাফলটি ব্যবহার করেছি (মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, আমরা দৃ the় সংমিশ্রণ, প্রত্যাখ্যান এবং একটি অপারেটর ব্যবহার করি যা মিথ্যাতে জানে না)।

আমার প্রধান উদ্বেগটি হ'ল আমি জোবের কার্যকরী সম্পূর্ণতার প্রমাণটি বুঝতে পারি না এবং আমরা এই তারিখের পরে আর কোনও ফলাফল (ইতিবাচক বা নেতিবাচক) খুঁজে পাইনি, যা কিছুটা অবাক করার মতো।

সুতরাং আমার প্রশ্নটি নিম্নলিখিত: 3-মূল্যবান লজিকগুলির কার্যকরী সম্পূর্ণতা সম্পর্কে আরও কিছু জ্ঞাত ফলাফল রয়েছে? এই দিকের যে কোনও তথ্য সহায়ক হবে।

reference-request lo.logic

— চার্লস
সূত্র

দ্য

3

$3$ -লিমেন্ট ফিল্ড কার্যত সম্পূর্ণ। দ্য

3

$3$ -মেমেন্ট পোস্ট বীজগণিত কার্যত সম্পূর্ণ।

— এমিল জ্যাবেক

@ এমিলজেবেক ধন্যবাদ, আমি কেবল টার্নারি পোস্ট লজিক সম্পর্কে পড়েছি, এবং এটি মিলিয়ে মনে হচ্ছে (যদিও আমি এই বিষয়টিতে খুব বেশি কিছু পাই না)। আপনি 3-উপাদান ক্ষেত্র সম্পর্কে কিছু রেফারেন্স আছে? গুগল কিছুটা অস্পষ্ট।

— চার্লস

আমি আপনাকে একটি সামান্য রেফারেন্স দিতে পারছি না, তবে এটি একটি সহজ সত্য: স্ট্যান্ডার্ড (মাল্টিভারিয়েট) ইন্টারপোলেশনটি বোঝায় যে একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের কোনও ক্রিয়াকলাপ বহুবচন দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে। তদুপরি, ক্ষেত্রটি যদি প্রধান হয় (যেমন এখানে) তবে বহুবচনটির সহগগুলি ধ্রুবক শর্তাবলী দ্বারা নির্ধারিত হয় (

1 + 1 + \dots + 1

$1+1+\cdots+1$ )। সুতরাং, ভাষাতে মৌলিক ক্ষেত্র

{+, \cdot, 1}

$\{+,\cdot,1\}$ কার্যত সম্পূর্ণ হয়।

— এমিল জেবেক

সীমাবদ্ধ সেটগুলিতে ফাংশন বীজগণিত, ডায়েটলিন্ড লউ, ২০০] বইয়ের অধ্যায় ৫ এবং এর অনেকগুলি মূল্যবান যুক্তিতে (প্রমাণ সহ) কার্যকরী সম্পূর্ণতার গভীরতার সাথে চিকিত্সা রয়েছে। সংক্ষিপ্তসার: রোজনবার্গস [১৯ ,৫, ১৯ ]০] সর্বাধিক ক্লোনগুলির বৈশিষ্ট্য (যাকে প্রাকসম্পূর্ণ ক্লোনও বলা হয়) যে কোনও কে-এর জন্য কে-মূল্যবান যুক্তিতে কার্যকরী সম্পূর্ণতার জন্য একটি মানদণ্ড দেয়।

3-মূল্যবান যুক্তির বিশেষ ক্ষেত্রে যেমন একটি চরিত্রায়ন (18 সর্বাধিক / প্রাক-অসম্পূর্ণ ক্লাস নিয়ে গঠিত) জাবলনস্কিজ ইতিমধ্যে 1954 সালে দিয়েছিলেন Hence সুতরাং, আপনার 3-মূল্যবান "অপারেটর" এর সেটটি কার্যত সম্পূর্ণ সম্পূর্ণ হয়েছে কিনা তা যাচাই করার জন্য, এটি তারা 18 টি অসম্পূর্ণ ক্লাসের কোনওটিতে পড়ে না তা খতিয়ে দেখার জন্য যথেষ্ট।

— গুস্তাভ নর্দ
সূত্র