-ক্যালকুলাসকে বীজগণিত বলার কী লাভ?

Question

কলিং পার্থক্য কি পরিবর্তে একটি বীজগণিত একটি ক্যালকুলাস -calculus? আমি এই প্রশ্ন উত্থাপন কারণ আমি কোথাও লাইন পড়া " (iirc, ডানা স্কট আরোপিত) -calculus একটি ক্যালকুলাস কিন্তু একটি বীজগণিত নয়।" আসলকথা কি? ধন্যবাদ।$\lambda$$\lambda$

Comments

সম্ভবত কোনও অন্তর্দৃষ্টি দিয়ে বিষয়টির একজন শিক্ষানবিশের কাছ থেকে আসা: দুটি ল্যাম্বডা-ক্যালকুলাস এক্সপ্রেশন সমান অনস্বীকার্য কিনা তা নির্ধারণ করছে না? কেন এটি "ক্যালকুলাস" হিসাবে বিবেচিত হবে না তার কোনও প্রভাব আছে? কারণ এটি একটি মৌলিক প্রশ্ন যা অ্যালগোরিদমিকভাবে গণনা করা যায় না ...

— জেরেমি কুন

Answer 1

একটি ক্যালকুলাস প্রতীকী ভাবের হেরফেরের উপর ভিত্তি করে গণনার একটি সিস্টেম। একটি বীজগণিত প্রতীকী ভাব এবং তাদের মধ্যে সম্পর্কের একটি সিস্টেম [*] system অর্থাত, একটি ক্যালকুলাস উত্তরগুলি সন্ধানের জন্য একটি সিস্টেম এবং বীজগণিত শর্তগুলির মধ্যে সম্পর্ককে প্রকাশ করার একটি উপায়।

-calculus হয় একটি ক্যালকুলাস অথবা একটি বীজগণিত, কিনা আপনি মনে করতে চান তার উপর নির্ভর করে হয় β এবং η ওরিয়েন্টেড হ্রাস নিয়ম বা unoriented সমীকরণ যেমন নিয়ম। আপনি যদি নিয়মকে ওরিয়েন্টেড বলে মনে করেন, তবে আপনি একটি মূল্যায়ন আদেশ স্থির করেছেন, এবং নিয়মগুলি আপনাকে কীভাবে একটি পদ গ্রহণ করতে হবে এবং একটি সাধারণ ফর্ম তৈরি করতে হবে তা বলে। আপনি unoriented হচ্ছে নিয়ম যদি মনে করেন, তারপর তারা আপনার উপর সমতা সম্পর্ক দিতে λ -terms।$\lambda$$\beta$$\eta$$\lambda$

[*] বীজগণিতের একটি শ্রেণিবদ্ধ সংজ্ঞাও রয়েছে, যা একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞাটি অনানুষ্ঠানিক ধারণার চেয়ে কিছুটা নিয়ন্ত্রক। আলগাভাবে বলতে গেলে, পার্থক্যটি হ'ল বীজগণিতের আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা কেবলমাত্র সেই সিস্টেমগুলিকে পরিবর্তনশীল বাঁধাই ছাড়াই অন্তর্ভুক্ত করে। সুতরাং এসকেআই সংযুক্তকারীগণ একটি বীজগণিত গঠন করে তবে -ক্যালকুলাস হয় না।$\lambda$

Comments

আমার মন্তব্যে উল্লিখিত হিসাবে, বীজগণিতগুলির শ্রেণিবদ্ধ সংজ্ঞাটি বাধ্যতামূলক ক্রিয়াকলাপগুলির সাথে কাঠামোকে অন্তর্ভুক্ত করতে দেখানো যেতে পারে। মূল ধারণাটি যে যেখানে বাইন্ডারবিহীন কাঠামোগুলি সেটগুলিতে বীজগণিত হিসাবে উপস্থাপিত হতে পারে, সেখানে বাইন্ডারযুক্ত কাঠামোগুলি -Presheafs- তে বীজগণিত দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে।

— কোডি

আফাইক, এটি সর্বজনীন বীজগণিতগুলিতে বীজগণিতের সংজ্ঞা উচ্চতর অর্ডার স্বাক্ষর (প্রোগ্রামিং ল্যাঙ্গুয়েজসের জন মিচেলের ফাউন্ডেশন অনুসারে) পরিচালনার অনুমতি দেয় না।

— ব্লেজারব্লেড

Answer 2

Ditionতিহ্যগতভাবে, একটি বীজগণিত একটি ক্রিয়াকলাপ যা অপারেশনগুলির সাথে সেট করে যা কিছু সমীকরণ (মনে করে "গোষ্ঠী") পূরণ করে। ধারণাটি সাধারণীকরণের বিভিন্ন উপায় রয়েছে:

• বহু-বাছাইযুক্ত বীজগণিতগুলির বেশ কয়েকটি ক্যারিয়ার সেট রয়েছে। একটি উদাহরণটি একটি রিং আর এর উপর একটি মডিউল হবে , যেখানে আমরা পুরো বিষয়টিকে একক বীজগণিত হিসাবে বিবেচনা করতে চাই। অন্যটি, বরং নিরীহ উদাহরণ, একটি নির্দেশক গ্রাফ, যার দুটি ক্যারিয়ার সেট, প্রান্তের E এবং শীর্ষে অবস্থিত ভি এবং দুটি ক্রিয়াকলাপ, উত্স s : E → V এবং লক্ষ্য E → ভি , কোনও সমীকরণ সন্তুষ্ট না করে।$M$$R$$E$$V$$s : E \to V$$E \to V$

• কেবলমাত্র সমীকরণ নয় এমন আরও সাধারণ অক্ষরকে অনুমোদিত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, কোনও ক্ষেত্রের অক্ষগুলি হল x x 0 ব্যতীত সমস্ত সমীকরণ । আর একটি উদাহরণ অবিচ্ছেদ্য ডোমেনের মতো কিছু।$x \neq 0 \implies x \cdot x^{-1} = 1$

• আরও সাধারণ ক্রিয়াকলাপ অনুমোদিত হতে পারে, বিশেষত অসীম আভিজাত্যের ক্ষেত্রে বা উচ্চতর-আদেশ ক্রিয়াকলাপগুলি যা যুক্তি হিসাবে কাজ করে। একটি infinitary অপারেশনের একটি উদাহরণ হল এ মিডপয়েন্ট algebras মার্টিন Escardo এবং Alex সিম্পসন করুন। আপনি যদি এই দিক থেকে আরও দূরে যান তবে আপনি মনদেজে পৌঁছে যান।$M$

এই অর্থে untyped -calculus একটি বীজগণিত কারণ এটি কিছু (উচ্চতর-অর্ডার) অপারেশন কিছু সমীকরণ (পরিতৃপ্ত সঙ্গে একটি ক্যারিয়ার সেট পরিপ্রেক্ষিতে নিদিষ্ট হয় β এবং η )।$\lambda$$\beta$$\eta$

Answer 3

বীজগণিতটি বিভাগের তত্ত্বে কী রয়েছে তার একটি যথাযথ সংজ্ঞা রয়েছে: উদাহরণস্বরূপ এই নিবন্ধটি দেখুন । গণিত এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানে সাধারণত বীজগণিত কাঠামো শব্দটি একই প্রসঙ্গে কীভাবে আবদ্ধ ভেরিয়েবলগুলির সাথে কাঠামোটি বোঝা যায় তা বুঝতে কয়েক বছর সময় লেগেছিল এবং এটি দেখা গেছে যে এফ-বীজগণিতগুলির শ্রেণিবদ্ধ ধারণাটি একত্রিত করতে সক্ষম দুই। আমি সমাধানের historicalতিহাসিক দিকগুলি সম্পর্কে নিশ্চিত নই তবে একটি সম্ভাব্য পন্থা হ'ল ফিওর, প্লটকিন এবং তুরি ( এখানে উপলভ্য ) প্রবর্তিত প্রেসিডেফ বীজগণিতগুলি প্রশ্নটি মীমাংসিত করেছিল এবং বিভিন্ন কিন্তু অনুরূপ পন্থা উত্সাহিত করেছে , দেখুন উদাহরণস্বরূপ হিরশোভিৎস এট আল। এবং তার পিএইচডি ছাত্র জুলিয়ানা জিসিডো ।

সিনট্যাকটিক "ক্রাফট" মুছে ফেলার প্রত্যাশায় সাধারণত -ক্যালকুলি এবং সম্পর্কিত সম্পর্কিত সবচেয়ে বিরক্তিকর অধ্যায়গুলি অন্তর্ভুক্ত করে, আবদ্ধ ভেরিয়েবলগুলির সাথে কাঠামোগুলির সম্পর্কে আমাদের বোধগম্যকরণ এবং গভীরতর ধারণা সম্পর্কে কীভাবে শ্রেণিবদ্ধ ধারণাগুলি ব্যবহার করতে হয় সে সম্পর্কে কিছু প্রস্থানীয় গবেষণা করা উচিত remains স্ট্রাকচার।$\lambda$

Comments

এফ-বীজগণিতগুলি সাধারণত নিখরচায় বীজগণিত হয়, সমীকরণের অনুমতি দেয় না; পিয়ার্সের বিভাগের তত্ত্বের ভূমিকা (1992 থেকে) দাবি করেছে যে এফ-বীজগণিতগুলির সমীকরণের কোনও বিকাশ নেই। আমি কেবল ২০১০ সাল থেকে চুং-কিল (গিল) হুরের পিএইচডি থিসিসের বিমূর্তের সমাধানগুলি পড়েছি: "শ্রেণিবদ্ধ সমীকরণ সিস্টেম: বীজগণিতের মডেল এবং সমীকরণীয় যুক্তি"। এটিই আমার অনুমান, এবং এটিই কি শীর্ষস্থানীয় চিকিত্সা?

— ব্লেজারব্লেড

আমি মনে করি না এফ-বীজগণিতের দৃষ্টিভঙ্গি সমীকরণের সাথে তত্ত্বগুলির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। ধারণাটি হ'ল আপনি উপযুক্ত তত্ত্বের দ্বারা "কোয়ান্টেন্টিং" দিয়ে বিনামূল্যে (সমীকরণ ব্যতীত) সমীকরণের সাথে প্রাথমিক বীজগণিত গঠন করতে পারেন। গিলের কাজ বা পিয়ার্স তার মন্তব্যে কী বোঝায় সে সম্পর্কে আমি বেশি কিছু জানি না।

— কোডি

সংযোজন: কার্সারি নজরে পরে, মার্সেলো ফিয়োরের সাথে গিলের কাজটি এফ-বীজগণিতগুলির জন্য সমীকরণীয় তত্ত্বগুলির একটি সাধারণ ধারণা হিসাবে বিবেচিত হবে বলে মনে হয় না।

— কোডি

Answer 4

যদিও এটি সত্য যে "বীজগণিত" ধারণার তুলনায় "ক্যালকুলাস" ধারণাটি কম সংজ্ঞাযুক্ত, বিস্তৃতভাবে "ক্যালকুলাস" গণনার একটি প্রক্রিয়া বোঝায়, অন্যদিকে বীজগণিতগুলি সমীকরণীয় তত্ত্বগুলি সহ নির্মাণের ধরণ রাখে।
আপনি বলতে পারেন যে আরও বোধ আছে যে বীজগণিতগুলি কাঠামো হিসাবে "ইতিমধ্যে বিদ্যমান" এবং আমরা এর আগে নতুন উত্তর তৈরি করার জন্য কিছু পদ্ধতি ব্যবহার না করে কেবল সেগুলি সম্পর্কে সত্যই উন্মোচন করছি।

স্কট স্কট ডোমেনগুলির সাথে কী অর্জন করার চেষ্টা করছিল সে সম্পর্কে আপনি যদি চিন্তা করেন তবে তাঁর বক্তব্যটি বোঝায়: তিনি এলসি-র জন্য একটি নির্দিষ্ট শব্দার্থ হিসাবে কাজ করবে এমন পূর্বনির্ধারিত গাণিতিক এবং বীজগণিত কাঠামো সন্ধান করার চেষ্টা করছিলেন। তিনি এই অনুভূতিটি দূর করতে চেয়েছিলেন যে কোনও নির্দিষ্ট প্রক্রিয়া থেকে বেরিয়ে আসার জন্য যে কোনও অর্থের অর্থ ছিল was

কোনও সম্পর্কিত প্রশ্ন সম্পর্কে আপনি আগের উত্তরে আগ্রহী হতে পারেন: ডিনোটেশনাল শব্দার্থবিজ্ঞানের গঠন কী?

Answer 5

আমি খুব সাধারণ কারণে ল্যাম্বডা-ক্যালকুলাসকে একটি "বীজগণিত" বলতে খুব অনীহা করব। এটি একটি আনুষ্ঠানিক সিস্টেম যা অর্থের কোনও উল্লেখ ছাড়াই বিশুদ্ধভাবে সিনট্যাক্স ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত হয়। সমতা এবং $\beta$$\eta$$M$$N$

স্কট যদি কখনও ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসকে "বীজগণিত" বলে ডাকে (যা আমি বরং সন্দেহ করি), তবে তিনি বরং একটি সূক্ষ্ম বিন্দু তৈরি করতেন, যেমন, আপনি লাম্বডা ক্যালকুলাসকে অগ্রাধিকারমূলক অর্থ বলে ভাবতে পারেন ।

তবুও তাঁর দাবির যে কোনও বীজগণিতকে বোঝাতে তার পক্ষে খুব কঠিন সময় হবে, কারণ ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসে তাঁর সমীকরণ নেই, তাঁর সমতুল্যতা রয়েছে (অর্থাত্ মেটা-স্তরে)। অন্যদিকে "সংযুক্ত বীজগণিত" পুরোপুরি স্বাভাবিক।

Answer 6

ক্যালকুলাসের মতো জিনিস নেই তবে শব্দটি সত্ত্বেও বীজগণিত নামে একটি সুসংজ্ঞিত গাণিতিক অবজেক্ট রয়েছে অনেকগুলি ব্যবহার রয়েছে রয়েছে । যাইহোক, আমার অনুমান যে নামটি অর্থে দেওয়া হয়েছিল

(...) সংখ্যা সিস্টেম এবং এগুলির মধ্যে ক্রিয়াকলাপগুলির বিমূর্ত অধ্যয়ন।

$\lambda$

Comments

নীলের উত্তরটি দেখুন।

— ডেভ ক্লার্ক

$\lambda$