খাম প্যারাডক্স

Question

দুটি খাম আছে। একটিতে অর্থ এবং পরিমাণ অর্থ রয়েছে। সঠিক পরিমাণ " " আমার অজানা, তবে আমি উপরেরটি জানি। আমি একটি খাম বাছাই এবং আমি এটি খুলি। আমি দেখতে এতে টাকা, স্পষ্টত যেখানে ।$x$$2x$$x$$y$$y \in \{x, 2x\}$

এখন আমাকে খামগুলি রাখার বা সুইচ করার প্রস্তাব দেওয়া হচ্ছে।

স্যুইচিংয়ের প্রত্যাশিত মান হ'ল । আমার খামটি রাখার প্রত্যাশিত মান হ'ল ।$(\frac{1}{2} \cdot 2y + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}y) = \frac{5}{4}y$$y$

মনে হচ্ছে আমার সর্বদা খামগুলি স্যুইচ করা উচিত। আমার দুটি প্রশ্ন:

এই যুক্তি কি সঠিক?

যদি আমাকে খামটি খোলার অনুমতি না দেওয়া হয় এবং পরিমাণ অর্থ দেখতে না দেওয়া হয় এবং তবে আমাকে অনির্দিষ্টকালের জন্য স্যুইচ করার বিকল্প দেওয়া হয়?$y$

Comments

সম্পর্কিত: en.wikedia.org/wiki/Two_envelopes_problem

— Herr K.

আপনি কেবল প্রত্যাশাটি নিতে পারবেন না, আপনার এক্স সম্পর্কে বিশ্বাস নিয়ে শুরু করা উচিত এবং বেয়েসের নিয়ম অনুসারে আপনার বিশ্বাস আপডেট করা উচিত। আপনি যখন y দেখেন, আপনি কোন খামটি খোলেন সে সম্পর্কে আপনার বিশ্বাস পরিবর্তন হয়ে যাবে।

— এইচআরএসই

বলুন এক্সটি 0 এবং এর মধ্যে সমানভাবে বিতরণ করা হয় $\infty$। তারপর কি?

— কিটসুন অশ্বারোহী

@ কিটসুনক্যাভালরি এই জাতীয় কোনও বিতরণ নেই। (দয়া করে আমাকে এই জাতীয় বিতরণ উত্পন্ন করার জন্য একটি প্রোগ্রাম প্রেরণ করুন)) বাস্তবে এমন কোনও রেজোলিউশন নেই যা আপনার প্রশ্নের সমস্ত মানগুলির জন্য দেওয়া প্রশ্নগুলিতে দেওয়া পিয়োর বিশ্বাসকে উত্পন্ন করে$y$। হের কে লিংক এই ব্যাখ্যা করা হয় en.wikipedia.org/wiki/...

— Giskard

@Kitsune ক্যাভালরি অর্ধেক লাইন (অথবা পুরো লাইন) উপর সমবন্টন Bayesian পরিসংখ্যান একটি সুপরিচিত অপ্রকৃত পূর্বে, একটি স্বাদ জন্য দেখুন stats.stackexchange.com/a/97790/28746 বা stats.stackexchange.com/a/ 35794/28746

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লো

Answer 1

এখানে একটি "প্রত্যাশিত ইউটিলিটি সর্বাধিকীকরণ / গেম তাত্ত্বিক" পদ্ধতির (সেট-তাত্ত্বিক সম্ভাবনার ড্যাশ সহ) রয়েছে। যেমন একটি কাঠামোতে, উত্তরগুলি পরিষ্কার প্রদর্শিত হবে।

প্রাঙ্গনে

আমরা নিখুঁত সততা মধ্যে বলা হয় যে জন্য ,. $x$ কঠোরভাবে ইতিবাচক আর্থিক পরিমাণ, নিম্নলিখিত দুটি টিকিট একটি বাক্সে রাখা হয়েছিল: $\{A=x, B= 2x\}$ নির্ধারিত পরিচয় নম্বর সহ $1$ এবং $\{A=2x, B= x\}$ নির্ধারিত পরিচয় নম্বর সহ $0$। তারপরে একটি বার্নোল্লি থেকে একটি অঙ্কন $(p=0.5)$ এলোমেলো ভেরিয়েবল কার্যকর করা হয়েছিল, এবং ফলাফল এবং ঘটেছে ইভেন্টের উপর ভিত্তি করে পরিমাণ $x$ এবং $2x$ খামে রাখা হয়েছিল $A$ এবং $B$। আমাদের কী বলা হয় তা বলা হয় না$x$ হয়, বা কোন পরিমাণে কোন খাম গিয়েছিল।

প্রথম CASE: একটি খাম এটি না খোলায় স্যুইচ করার বিকল্পটি সহ চয়ন করুন

প্রথম বিষয়টি হ'ল আমরা একটি খামকে কীভাবে বেছে নেব ? এটি পছন্দগুলির সাথে করতে হবে। সুতরাং ধরে নিন যে আমরা ইউটিলিটি ফাংশন সহ ইউটিলিটি ম্যাক্সিমাইজারগুলি প্রত্যাশিত$u()$।

দুটি সম্ভাব্য র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিবেচনা করে আমরা এখানে সম্ভাব্য কাঠামোটি মডেল করতে পারি, $A$ এবং $B$খামগুলি, এবং এতে পরিমাণের প্রতিনিধিত্ব করে। প্রত্যেকের সমর্থন হয়$\{x, 2x\}$। তবে তারা স্বতন্ত্র নয়। সুতরাং আমরা যৌথ বিতরণ দিয়ে শুরু করতে হবে। সারণী আকারে, যৌথ বন্টন এবং সংশ্লিষ্ট প্রান্তিক বিতরণ হয়

$$\begin{array}{| r | r | } \hline \text{A} \;/ \;\;\text{B} \rightarrow & x & 2x & \text {Marg A} \\ \hline \hline x & 0 & 0.5 & 0.5\\ \hline 2x & 0.5 & 0 & 0.5 \\ \hline \text{Marg B} & 0.5 & 0.5 & 1.00 \\ \hline \end{array}$$

এটি আমাদের জানায় $A$ এবং $B$ অভিন্ন প্রান্তিক বিতরণ আছে।

তবে এর অর্থ হ'ল আমরা খামগুলি কীভাবে চয়ন করি তা বিবেচ্য নয়, কারণ আমরা সর্বদা একই প্রত্যাশিত ইউটিলিটি পাব ,

$$0.5 \cdot u(x) + 0.5\cdot u(2x)$$

আমরা এখানে যা মুখোমুখি তা হ'ল দুটি যৌগিক জুয়া (প্রতিটি খাম) এর উপর একটি যৌগিক জুয়া (একটি খাম কীভাবে চয়ন করা যায়)। আমরা চয়ন করতে পারেন$A$ সম্ভাবনা সহ $1$, $0$, বা এর মধ্যে কিছু (এবং পরিপূরকভাবে এর জন্য) $B$)। এটা কোন ব্যাপার না। আমরা সর্বদা একই প্রত্যাশিত ইউটিলিটি পাব। নোট করুন যে ঝুঁকির প্রতি আমাদের মনোভাব এখানে ভূমিকা পালন করে না।

সুতরাং, আমরা একটি খাম চয়ন করি, বলুন $A$, এবং আমরা এটি তাকিয়ে আছে। এখন আমাদের প্রত্যাশিত ইউটিলিটি কী? ঠিক আগে পছন্দ হিসাবে একই । যেভাবেই একটি খাম বাছাই করা, তার ভিতরে থাকা সম্ভাবনাগুলিকে প্রভাবিত করে না।

আমাদের স্যুইচ করার অনুমতি রয়েছে। বলুন আমরা করি, এবং এখন আমরা খাম ধরে আছি$B$। প্রত্যাশিত ইউটিলিটি এখন কী? ঠিক আগের মতই ।

এটি আমাদের জন্য বিশ্বের সম্ভাব্য দুটি রাষ্ট্র: চয়ন করুন $A$ বা চয়ন করুন $B$। যে কোনও পছন্দ অনুসারে, বিশ্বের উভয় রাষ্ট্রই আমাদের নির্বাচিত / ধরে নেওয়া চালক শক্তিকে (অর্থাত্ প্রত্যাশিত ইউটিলিটি সর্বাধিকীকরণ) একই মূল্যকে বোঝায়।

সুতরাং এখানে, আমরা স্যুইচিং সম্পর্কে উদাসীন। , এবং বাস্তবে আমরা এলোমেলোভাবেও করতে পারি।

২ য় ক্ষেত্রে: পরে স্যুইচ করার বিকল্পটি দিয়ে এনভেলপ খুলুন

এখনই ধরুন যে আমরা বাছাই করেছি $A$, এটি খুলুন, এবং পরিমাণের ভিতরে পাওয়া যায় $y \in \{x, 2x\}$। এটি কি জিনিস পরিবর্তন করে?

দেখা যাক. আমি অবাক, কি

$$P(A = x \mid A \in \{x, 2x\}) = ?$$

আমরা হব, $\{x, 2x\}$ নমুনা স্থান যা এলোমেলো পরিবর্তনশীল $A$সংজ্ঞায়িত করা. সম্পূর্ণ নমুনা স্পেসে অবস্থিত তাত্পর্যপূর্ণ সিগমা-বীজগণিতের উপর অবস্থার শর্তাদি সম্ভাব্যতা বা প্রত্যাশিত মানগুলিকেও প্রভাবিত করে না। এটি যেমন আমরা ভাবছি "এর মান কী$A$ যদি আমরা জানি যে সমস্ত সম্ভাব্য মানগুলি উপলব্ধি হয়ে থাকতে পারে? "কোনও কার্যকর জ্ঞান অর্জন করা যায় নি, তাই আমরা এখনও মূল সম্ভাব্য কাঠামোতে আছি।

তবে আমিও অবাক, কী

$$P(B = x \mid A \in \{x, 2x\}) = ?$$

কন্ডিশনার বিবৃতি, ইভেন্টটি দ্বারা উত্পাদিত সিগমা-বীজগণিত হিসাবে সঠিকভাবে দেখা $\big \{A \in \{x, 2x\}\big\}$, পুরো পণ্য নমুনা স্থান যা এলোমেলো ভেক্টর $(A,B)$সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। উপরের যৌথ বিতরণের টেবিল থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে যৌথের সম্ভাব্যতা বরাদ্দ প্রান্তিকের সম্ভাবনা বরাদ্দ হিসাবে সমান (মাপের শূন্যের দুটি ইভেন্টের উপস্থিতির কারণে "প্রায় অবশ্যই" যোগ্যতা)। সুতরাং এখানেও আমরা মূলত এর জন্য সম্ভাব্যতাগুলি শর্ত করি$B$এটির পুরো নমুনা স্পেসে। এটি অনুসরণ করে যে খামটি খোলার জন্য আমাদের ক্রিয়াটি এর জন্য সম্ভাব্য কাঠামোকে প্রভাবিত করে না$B$ এছাড়াও।

সিদ্ধান্ত গ্রহণের পাশাপাশি গেম তত্ত্ব লিখুন। আমরা খামটি খুলেছি, এবং সিদ্ধান্ত নিতে হবে যে আমরা সুইচ করব কিনা। আমরা যদি স্যুইচ না করি তবে আমরা ইউটিলিটি পাই$u(y)$। যদি আমরা স্যুইচ করি তবে আমরা বিশ্বের নিম্নলিখিত দুটি সম্ভাব্য রাজ্যে আছি

$$y = x, u(A) = u(x) \implies u(B) = u(2x)$$ $$y = 2x, u(A) = u(2x)\implies u(B) = u(x)$$

কোন রাষ্ট্রটি আসলে রাখে তা আমরা জানি না, তবে উপরের আলোচনা অনুযায়ী আমরা জানি যে প্রত্যেকটির সম্ভাবনা রয়েছে $p=0.5$ বিদ্যমান

আমরা এটিকে এমন একটি খেলা হিসাবে মডেল করতে পারি যেখানে আমাদের প্রতিপক্ষ "প্রকৃতি" এবং যেখানে আমরা জানি যে প্রকৃতি নিশ্চিতভাবে এলোমেলো কৌশল নিয়ে খেলে : সাথে$p=0.5$ $y=x$ এবং সাথে $p=0.5$, $y=2x$। তবে আমরা এখন এটিও যদি আমরা স্যুইচ না করি তবে আমাদের বেতন নিশ্চিত। সুতরাং এখানে আমাদের খেলাগুলি আমাদের সাধারণ আকারে, আমাদের পেওফগুলি সহ:

$$\begin{array}{| r | r | } \hline \text{We} \;/ \;\;\text{nature} \rightarrow &y= x & y=2x \\ \hline \text{Switch} & u(2x) & u(x) \\ \hline \text{Don't Switch} & u(y) & u(y) \\ \hline \end{array}$$

প্রতিস্থাপনের লোভ আমাদের প্রতিহত করা উচিত $u(x)$ এবং $u(2x)$ জন্য $u(y)$। $u(y)$একটি জ্ঞাত এবং নির্দিষ্ট পরিশোধ "স্যুইচ" কৌশলটির অর্থ প্রদানগুলি আসলে জানা যায় না (যেহেতু আমরা এর মান জানি না$x$)। সুতরাং আমরা বিকল্প প্রতিস্থাপন করা উচিত । যদি$y=x$ তারপর $u(2x) = u(2y)$, এবং যদি $y=2x$ তারপর $u(x) = u(y/2)$। সুতরাং এখানে আবার আমাদের খেলা:

$$\begin{array}{| r | r | } \hline \text{We} \;/ \;\;\text{nature} \rightarrow &y= x & y=2x \\ \hline \text{Switch} & u(2y) & u(y/2) \\ \hline \text{Don't Switch} & u(y) & u(y) \\ \hline \end{array}$$

এখন ম্যাট্রিক্সের সমস্ত পে-অফস জানা গেছে। একটি বিশুদ্ধ প্রভাবশালী কৌশল আছে?

কৌশল "স্যুইচ" এর প্রত্যাশিত পরিশোধ is

$$E(V_S) = 0.5\cdot u(2y) + 0.5 \cdot u(y/2)$$

কৌশল "প্রত্যাশা স্যুইচ করুন" এর প্রত্যাশিত পরিশোধ

$$E(V_{DS}) = u(y)$$

আমাদের যদি সুইচ করা উচিত

$$E(V_S) > E(V_{DS}) \implies 0.5\cdot u(2y) + 0.5 \cdot u(y/2) > u(y)$$

এবং এখন , ঝুঁকি প্রতি মনোভাব সমালোচনা হয়ে ওঠে। ঝুঁকি নেওয়ার এবং ঝুঁকিপূর্ণ নিরপেক্ষ আচরণের অধীনে এটিকে অনুমিত করা কঠিন নয় , আমাদের স্যুইচ করা উচিত।

শুভেচ্ছা ঝুঁকি বিমুখ আচরণ , আমি একটি মার্জিত ফলাফলের খুঁজে পেয়েছেন:

লগারিদমিক (বলুন, বর্গমূল) এর চেয়ে "কম অবতল" (কঠোরভাবে উপরে) ইউটিলিটি ফাংশনের জন্য, তারপরে আমাদের এখনও স্যুইচ করা উচিত।

লগারিদমিক ইউটিলিটির জন্য $u(y) = \ln y$, আমরা স্যুইচিং বা না করার মধ্যে উদাসীন।

লগারিদমিক ইউটিলিটি ফাংশনগুলির ("নীচে কঠোরভাবে" এর চেয়ে "আরও অবতল" জন্য, আমাদের উচিত নয়) স্যুইচ করা ।

আমি লগারিদমিক কেসের ডায়াগ্রামের সাথে বন্ধ করে দিই

ধরে $y=4$। তারপর$y/2 =2, 2y = 8$। লাইন$Γ-Δ-Ε$"স্যুইচ" থেকে প্রত্যাশিত ইউটিলিটিটি যে লাইনে পড়ে থাকবে। প্রকৃতি যেহেতু ক$50-50$ কৌশল, এটি আসলে পয়েন্ট এ হবে $\Delta$যার মধ্যম পয়েন্ট $Γ-Δ-Ε$। লগারিদমিক ইউটিলিটি সহ সেই মুহুর্তে, আমরা "ডোন্ট স্যুইচ", অর্থাত্ ঠিক একই রকমের ইউটিলিটিটি পাই$\ln(4)$ এই সংখ্যার উদাহরণ জন্য।

Comments

লগারিদমিক ইউটিলিটি ফাংশনের মাধ্যমে "ঝুঁকি থেকে দূরে থাকা" শুরু করা প্যারাডক্সটিকে সমাধান করে না। @ এইচআরএসই দ্বারা উল্লিখিত হিসাবে, বয়েস উপপাদ্যটি ব্যবহার করে, পরিশোধের সম্ভাবনাগুলি$u(2y)$ এবং $u(y/2$হয় নাপ্রথম খামে পরিমাণ দেখার পরে 0.5 । এটি কেবল আগে অত্যন্ত সন্দেহজনক ইউনিফর্মের জন্য অনুপযুক্ত$x$ (জন্য $x>0$)। যদি আগে একটি যথাযথ ব্যবহার করা হয়$x$ (সম্পর্কে বিশ্বাসের প্রতিফলন $x$), সমাধানটি যদি স্যুইচ হয়ে যায় $y$ যথেষ্ট ছোট এবং প্রথম খামটি রাখার জন্য যদি হয় $y$যথেষ্ট পরিমাণে বড়। Jstor.org/stable/2685310 দেখুন ।

— জারলে টুফ্টো

@ জারেল টুফ্টো আমি যেভাবে এটি দেখছি, ইউনিফর্মের পূর্বেরটি সঠিকভাবে আগে $p=0.5$। যদি কেউ সন্দেহজনক হতে চায়, আয়োজকদের বিশ্বাস না করে এবং অন্য কোনও পূর্ববর্তী বিশ্বাস গঠন না করে তবে অবশ্যই এটি তার অধিকার, তবে আমাকে আস্থা রাখার জন্য তাকে কিছু যুক্তি দিয়ে আসতে হবে ক) আয়োজকরা কেন মিথ্যা বলছেন এবং খ) কীভাবে তিনি বেছে নেওয়ার আগে বিভিন্ন পছন্দ করেন কি? মনে রাখবেন যে আমার উত্তর অনুমান করে যে আমরা বিষয়টি নিয়ে আয়োজকদের বিশ্বাস করি।

— এলেকোস পাপাদোপ্লোস

আমি অবশ্যই একমত যে আপনাকে পরিমাণমতো প্রতিটি খাম দেওয়া হচ্ছে $X$ এবং $2X$যথাক্রমে 1/2 এর সমান সম্ভাবনা সহ। আমি যা বলছি তা হ'ল পূর্বে অন্তর্নিহিত অনুচিত ইউনিফর্ম$X$ যে আপনি ব্যবহার, যে, $\pi(x) =1$, সবার জন্য $x>0$ প্যারাডক্সের দিকে নিয়ে যায় কারণ বেইস উপপাদ্য এর পরে বাড়ে $P(X=y|Y=y) = P(X=y/2|Y=y)=1/2$ কোথায় $y$প্রথম খামে পরিলক্ষিত পরিমাণ। একটি যথাযথ পূর্ব ব্যবহার$\pi(x)$ পরিবর্তে, এই শর্তাধীন সম্ভাবনাগুলি পৃথক এবং সর্বোত্তম সিদ্ধান্ত উপর নির্ভর করে $y$(এবং অবশ্যই ইউটিলিটি ফাংশন)।

— জারলে টুফটো

@ জারেল টুফ্টো আপনার উল্লেখ করার আগে এই অনুপযুক্ত, এর সাথে সম্পর্কিত সম্ভাবনার প্রতিফলন ঘটেছে?

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

দুটি খামে অর্থের পরিমাণ $X$ এবং $2X$। পূর্ব সম্ভাবনা বন্টন সম্পর্কে আপনার বিশ্বাস প্রতিনিধিত্ব করে$X$কোন খাম খোলার আগে। আপনি হয় স্পষ্টরূপে এই নির্দিষ্ট পূর্বে ব্যবহার করছেন বা আপনি বিপরীত শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার সমানতার মিথ্যা প্রতিশ্রুতি দিচ্ছেন।

— জারলে টুফ্টো

Answer 2

আপনি যদি খাম E1 খোলেন , এবং দেখুন যে এর মান E1 = Y , তবে এটি সত্য যে অন্য খামের E2 এর মান {E2 = Y / 2, E2 = 2Y in এ থাকে ।

এটিও সত্য যে en খামের প্রত্যাশিত মান হ'ল (Y / 2) * PR (E2 = Y / 2) + (2Y) * PR (E2 = 2Y) ।

ত্রুটিটি অনুমান করা হচ্ছে যে জন (E2 = Y / 2) = PR (E2 = 2Y) = 1/2 নির্বিশেষে ওয়াই কি। এটি দেখানোর একটি সহজ উপায় হ'ল প্রতিটি খামে মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের বিভিন্ন সংখ্যার কাগজের অর্থ রয়েছে। যদি Y = $ 1 হয় তবে E2 এর পক্ষে Y / 2 হওয়া অসম্ভব ।

আরও কঠোর প্রমাণ এখানে সরবরাহের জন্য খুব বিশদ, তবে এর সংক্ষিপ্তসারটি প্রথমে ধরে নেওয়া উচিত যে কোনও মান Z এর জন্য যে জন (Z / 2 <= E2 <Z) = জন (জেড <= ই 2 <2 জেড) । এটি মূলত শেষ অনুচ্ছেদের মতো একই ধারণা, বিভিন্ন মানের মধ্যে প্রসারিত। তবে যদি জেডের কোনও মানের ক্ষেত্রে এটি সত্য হয় তবে এর অর্থ হল প্রি (জেড * 2 ^ (এন -1) <= ই 2 <জেড * 2 ^ (এন -1)) এন এর প্রতিটি মানের জন্য স্থির , -inf থেকে INF। যেহেতু এটি অসম্ভব, অনুমানটি সঠিক হতে পারে না।

+++++

এটি কিছুটা বিভ্রান্তিকর হতে পারে, তাই আমার একটি উদাহরণ চেষ্টা করুন। আপনাকে দুটি খামের দুটি সেট দেওয়া হয়। একটি সেটে তাদের 10 এবং 20 ডলার রয়েছে। অন্যটিতে সেগুলিতে 20 এবং 40 টি থাকে You আপনি একটি সেট বেছে নিন এবং তারপরে 20 টি সন্ধানের জন্য সেই সেটটিতে একটি খাম খুলুন then তারপরে আপনাকে সেই সেটটিতে অন্য খামে স্যুইচ করার সুযোগ দেওয়া হবে। আপনার উচিত?

হ্যাঁ, পরিবর্তন করা উচিত। অন্যান্য খামে স্যুইচ করে প্রত্যাশিত লাভ হ'ল [(20-10) + (20-40)] / 2 = +5।

এটি নোট করুন উদাহরণটি - এটি হ'ল যে আপনি 20 পেয়েছেন, এবং 10 বা 40 নয়, আপনার প্রশ্নে বর্ণিত শর্তগুলির সাথে খাপ খায়। সুতরাং আপনার সমাধান কাজ করে। কিন্তু পরীক্ষা নিজেই সেই বর্ণনার সাথে খাপ খায় না। আপনি যদি 10 খুঁজে পেয়েছেন বা 40টি খুঁজে পেয়েছেন তবে অন্য খামে 20 এর সম্ভাব্যতা 100%। প্রত্যাশিত লাভ যথাক্রমে +10 এবং -20 হয়। এবং যদি আপনি তিনটি মান অর্জনের সম্ভাব্যতার চেয়ে তিনটি অর্জনের গড় গড়ে থাকেন তবে আপনি 10/4 + 5/2 - 20/4 = 0 পাবেন।

Comments

আমি কেন ধরে নেব যে একটি খামে এটি 50 সেন্ট থাকতে পারে না? এছাড়াও প্রশ্নটি বিশেষত এমন সময়গুলির সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছে যেখানে আপনি যে পরিমাণে সম্ভাব্য পরিমাণগুলি জানেন না, কেবল সম্ভাব্য আপেক্ষিক পরিমাণ, তাই আমি সত্যিই এটি অনুসরণ করছি না।

— কিটসুন অশ্বারোহী

আমি বললাম এটি একটি সরল পদ্ধতি ছিল। এটি দিয়ে শুরু হয়েছিল 'ধরে নিন যে প্রতিটি খামে মার্কিন কাগজের অর্থ রয়েছে।' যেহেতু মার্কিন কাগজের টাকায় আপনার 50 সেন্ট থাকতে পারে না, প্রি (E2 =)$2|E1=$1) 1 =। মুল বক্তব্যটি হ'ল Y / 2 এবং 2Y সমমানের সম্ভাবনা রয়েছে, আপনি যখন Y কে জানেন না, তখন Y এর জন্য এমন একটি ডি-ফ্যাক্ট ডিস্ট্রিবিউশন ধরে নিচ্ছেন যা অর্জন করা অসম্ভব।

— জেফজো

Answer 3

সাধারণত সমস্যাটি অলসযোগ্য কারণ আপনি পুরো পরীক্ষার এলোমেলোকরণ প্রক্রিয়াটি নির্দিষ্ট করেন নি।

তবে আপনি যে খামটি বেছে নিয়েছেন তা ওয়াইকে এবং অন্য খামে X হিসাবে আসুন। উত্তরটি তখনই$E[X|Y=y]$- যা শর্তাধীন প্রত্যাশা । তবে, Y এর সর্বাধিক সাধারণ বন্টন ধরে নেওয়া, Y সকলের থেকে অভিন্নভাবে আঁকা$\mathbb{R}$। কিন্তু তারপর$Pr(Y=y)=0$, এবং বোরেল – কোলমোগোরভ প্যারাডক্সের দ্বারা প্রত্যাশাটি অলসযোগ্য।

Comments

@ জেফজো, যথেষ্ট খ্যাতি না থাকার কারণে আমি আপনার পোস্টের অধীনে মন্তব্য করতে পারিনি। আমি এই উত্তরটি যুক্ত করেছি কারণ আমি বিশ্বাস করি এটি আপনার পোস্টের সাথে সম্পর্কিত।

— জন র্যাম্বো