এআর-তে ব্যারোর (২০০৯) বিরল বিপর্যয় মডেল: সমীকরণ (10) কীভাবে অর্জন করবেন?

ব্যারোতে (২০০৯) বিরল বিপর্যয়, সম্পদের মূল্য এবং কল্যাণ ব্যয় ব্যারো এপস্টাইন-জিনের পছন্দগুলির সাথে একটি লুকাস ট্রি মডেল বিকাশ করেছেন।

আমার প্রশ্নে কাগজের সমীকরণ (10) সম্পর্কিত। এই সমীকরণ Barro, যে সন্তোষজনক সমাধান ইউটিলিটি অধীনে খরচ সমানুপাতিক ক্ষমতায় Rased , যেখানে আপেক্ষিক ঝুঁকি বিরাগ সহগ, অর্থাত্ $U_t$ $C_t$ $1-\gamma$ $\gamma$

$U_t=\Phi C_t^{1-\gamma}$

যদিও আমি এই ফলাফলটির যুক্তি বুঝতে পেরেছি তা বুঝতে পারি না যে তিনি কীভাবে ধ্রুবকটি অর্জন করেন which যা উল্লিখিত কাগজের দেখানো হয়েছে: $\Phi$

আলবার্তো Giovannini এবং ফিলিপ ভেইল (1989, পরিশিষ্ট) যে দেখাই, সমীকরণ (9), সাধিত ইউটিলিটি, ইউটিলিটি ফাংশন , এর ক্ষমতা উত্থাপিত সম্পদ সমানুপাতিক । সমীকরণ (10) এ ফর্মটি অনুসরণ করে কারণ আই টি ক্ষেত্রে সম্পদের ধ্রুবক অনুপাত হিসাবে অনুকূলভাবে বেছে নেওয়া হয়েছে। এর সূত্রটি হ'ল, যদি , $U_t$ $1-\gamma$ $C_t$ $\Phi$ $\gamma \neq 1$ $\theta \neq 1$
$Φ = (\frac{1}{1 - γ}) {ρ + (θ - 1) g^{*} - (1 / 2) γ (θ - 1) σ^{2} - (\frac{θ - 1}{γ - 1}) p [E (1 - b)^{1 - γ} - 1 - (γ - 1) E b]}^{(γ - 1) / (1 - θ)}$ $\Phi = (\frac{1}{1-\gamma})\{\rho+(\theta-1)g^* - (1/2)\gamma(\theta -1)\sigma^2 - (\frac{\theta-1}{\gamma-1})p[E(1-b)^{1-\gamma} - 1 - (\gamma - 1)Eb] \}^{(\gamma-1)/(1-\theta)}$

ব্যারো জিওভান্নিনি এবং ওয়েইলের 1989 সালের এনবিইআর কাগজটি উদ্ধৃত করেছেন। এই কাগজটিতে আমি ধ্রুবক পেতে পারি। যাইহোক, এটা, Barro, এর সংস্করণের তুলনায় সম্পূর্ণ ভিন্ন দেখায় কারণ আমি একটি অভিব্যক্তি যে অন্তর্ভুক্ত দিয়ে শেষ , যেখানে ইকুইটি উপর দিকেই প্রত্যাবর্তন হবে। আমি বিশ্বাস করি Barro, প্রতিস্থাপিত হয়েছে সুস্থিতি সমাধান সঙ্গে । তবে তার অভিব্যক্তিতে কোনও লগ বা এক্সপ্রেস এক্সপ্রেশন অন্তর্ভুক্ত নয়। $E[R_t^{1-\gamma}]$ $R_t$ $E[R_t^{1-\gamma}]$ $R_t$

সমাধানের জন্য কোনও সমাধান বা কোনও ইঙ্গিতের জন্য আমি কৃতজ্ঞ হব।

macroeconomics finance academic-graduate

— drcms02
সূত্র

এটি দুর্দান্ত দেখাচ্ছে! আপনার প্রচেষ্টার জন্য ধন্যবাদ. আপনার উত্তরের অংশ 2 এবং 3 এর পর্যালোচনা করতে কয়েক দিন সময় লাগবে, তবে এটি খুব স্বজ্ঞাগত দেখাচ্ছে।

— drcms02

আমি মনে করি ব্যারো পাদটীকাতে বোঝায় যে জিওভান্নি এবং ওয়েল একই সমীকরণটি খুঁজে পেয়েছেন, , তবে এর সর্বোত্তম পথটি ব্যবহার করে । ব্যারোর গবেষণাপত্রে, এর গতিবিদ্যা বহিরাগত: অনুমান অনুসারে পদ্ধতিটি ভিন্ন । $U_t=\Phi C^{1-\gamma}$ $C_t$ $C_t$ $C_t=Y_t$

ব্যারো সীমার ক্ষেত্রে ব্যবহার করে যখন কোনও সময়ের দৈর্ঘ্য 0 এর কাছাকাছি হয় সম্ভবত পাঠককে কী বিরক্ত করতে পারে তা হল মডেলটি পৃথক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।

মডেলটি আবার লিখুন

প্রথমত, আমরা সময়ের যার দৈর্ঘ্য মডেল পুনর্লিখন করতে এবং তারপর ব্যবহার । জিডিপি গতিবিদ্যা লিখতে সঙ্গে , এবং $\delta$ $\delta\to 0$

\log (Y_{t + δ}) = \log (Y_{t}) + g δ + u_{t + δ} + v_{t + δ}

$\log(Y_{t+\delta})=\log(Y_t)+g\delta+u_{t+\delta}+v_ {t+\delta}$

u_{t + δ} \sim N (0, δ σ^{2})

$u_{t+\delta}\sim \mathcal{N}(0,\delta\sigma^2)$

সম্ভাব্যতা সঙ্গে

এবং

সম্ভাব্যতা সঙ্গে

। ইউটিলিটি

সন্তুষ্ট করে

v_{t + δ} = 0

$v_{t+\delta}=0$

1 - p δ

$1-p\delta$

\log (1 - b)

$\log(1-b)$

p δ

$p\delta$

U_{t} = \frac{1}{1 - γ} {C_{t}^{1 - θ} + \frac{1}{1 + ρ δ} {[(1 - γ) E_{t} U_{t + δ}]}^{\frac{1 - θ}{1 - γ}}}^{\frac{1 - γ}{1 - θ}} .

$U_t=\frac{1}{1-\gamma}\left\lbrace C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}\left[(1-\gamma)E_tU_{t+\delta}\right]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace^\frac{1-\gamma}{1-\theta}.$

1) এই এর কার্যকারিতা হিসেবে $\Phi$ $E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

এখন থেকে অনুমান করা একটা হয় যেমন যে (নোট যে উপর নির্ভর করে অবরোহমার্গী)। নির্ধারণ $\Phi$ $U_t=\Phi C^{1-\gamma}$ $\Phi$ $\delta$ $H(U)=[(1-\gamma)U]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}$

\begin{aligned} H (U_{t}) = C_{t}^{1 - θ} + \frac{1}{1 + ρ δ} H (E_{t} U_{t + δ}) . \end{aligned}

$\begin{align} H(U_t)= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(E_tU_{t+\delta}). \end{align}$

U_{t}

$U_t$

\begin{aligned} H (Φ) C_{t}^{1 - θ} = C_{t}^{1 - θ} + \frac{1}{1 + ρ δ} H (Φ) {(E_{t} [C_{t + δ}^{1 - γ}])}^{\frac{1 - θ}{1 - γ}} . \end{aligned}

$\begin{align} H(\Phi)C_t^{1-\theta}= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(\Phi)\left(E_t\left[C_{t+\delta}^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$

C_{t} \neq 0

$C_t\neq 0$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} = 1 - \frac{1}{1 + ρ δ} {(E_{t} [{(\frac{C_{t + δ}}{C_{t}})}^{1 - γ}])}^{\frac{1 - θ}{1 - γ}} . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left(E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$

$E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

\begin{aligned} {(\frac{Y_{t + δ}}{Y_{t}})}^{1 - γ} = \exp ((1 - γ) g δ) . \exp ((1 - γ) u_{t + δ}) . \exp ((1 - γ) v_{t + δ}) . \end{aligned}

$\begin{align} \left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$

u_{t + 1}

$u_{t+1}$

v_{t + 1}

$v_{t+1}$

\begin{aligned} E_{t} {(\frac{Y_{t + δ}}{Y_{t}})}^{1 - γ} = \exp ((1 - γ) g δ) . E_{t} \exp ((1 - γ) u_{t + δ}) . E_{t} \exp ((1 - γ) v_{t + δ}) . \end{aligned}

$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).E_t\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).E_t\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$

\exp (X)

$\exp(X)$

X

$X$

N (0, σ^{2})

$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$

\exp (σ^{2} / 2)

$\exp(\sigma^2/2)$

\exp ((1 - γ) v_{t + δ})

$\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right)$

1

$1$

1 - p δ

$1-p\delta$

(1 - b)^{1 - γ}

$(1-b)^{1-\gamma}$

p δ

$p\delta$

\begin{aligned} E_{t} {(\frac{Y_{t + δ}}{Y_{t}})}^{1 - γ} = \exp ((1 - γ) g δ) . \exp (\frac{(1 - γ)^{2} σ^{2} δ}{2}) . (1 - p δ + p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ) . \end{aligned}

$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)^2\sigma^2\delta}{2}\right).\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$

C_{t} = Y_{t}

$C_t=Y_t$

Φ

$\Phi$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} & = 1 - \frac{1}{1 + ρ δ} {\exp ((1 - θ) g δ) . \exp (\frac{(1 - γ) (1 - θ) σ^{2} δ}{2}) \\ . {(1 - p δ + p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ)}^{\frac{1 - θ}{1 - γ}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left\lbrace\exp\left((1-\theta)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\right.\\ &\left. .\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace. \end{align}$

$\delta\to 0$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} & = 1 - (1 - ρ δ) . (1 + (1 - θ) g δ) . (1 + \frac{(1 - γ) (1 - θ) σ^{2} δ}{2}) \\ . (1 - \frac{1 - θ}{1 - γ} p δ + \frac{1 - θ}{1 - γ} p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ) . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-(1-\rho\delta). \left(1+(1-\theta)g\delta\right).\left(1+\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\\ & .\left(1-\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta+\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$

δ^{i}

$\delta^i$

i > 1

$i>1$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} & = ρ δ - (1 - θ) g δ - \frac{(1 - γ) (1 - θ) σ^{2} δ}{2} \\ + \frac{1 - θ}{1 - γ} p δ - \frac{1 - θ}{1 - γ} p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g\delta-\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$

g

$g$

g^{*} = g + \frac{σ^{2}}{2} - p E b

$g^*=g+\frac{\sigma^2}{2}-pEb$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} & = ρ δ - (1 - θ) g^{*} δ + (1 - θ) \frac{σ^{2}}{2} δ - (1 - θ) p E b δ - \frac{(1 - γ) (1 - θ) σ^{2} δ}{2} \\ + \frac{1 - θ}{1 - γ} p δ - \frac{1 - θ}{1 - γ} p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g^*\delta+(1-\theta)\frac{\sigma^2}{2}\delta -(1-\theta)pEb\delta -\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$

δ = 1

$\delta=1$

H

$H$

— GuiWil
সূত্র

এআর-তে ব্যারোর (২০০৯) বিরল বিপর্যয় মডেল: সমীকরণ (10) কীভাবে অর্জন করবেন?

মডেলটি আবার লিখুন

1) এই এর কার্যকারিতা হিসেবে ই টি [ ( সি টি + + δΦΦ\PhiEt[(Ct+δCt)1−γ]Et[(Ct+δCt)1−γ]E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]

Et[(Ct+δCt)1−γ]Et[(Ct+δCt)1−γ]E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]

δ→0δ→0\delta\to 0

1) এই এর কার্যকারিতা হিসেবে $\Phi$ $E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

$E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

$\delta\to 0$