সুষম বৃদ্ধির পথে আউটপুট একত্রিত করার গতি

1

ভারসাম্যপূর্ণ বৃদ্ধির পথের আশেপাশে কত দ্রুত তে রূপান্তরিত হয় তা সন্ধান করুন তারা ইঙ্গিতটি পরামর্শ দেয়, লিখুন , যেখানে ।) $y$ $y^*$
$y = Y / A L = f (k); y^{*} = f (k^{*})$ $y=Y/AL=f(k); \; y^*=f(k^*)$ $k=g(y)$ $g(\bullet)=f^{-1}(\bullet)$
$Y$ পণ্য আউটপুট; কার্যকর শ্রম; মূলধন; ছোট হাতের অক্ষরগুলি দ্বারা ভাগ করা হয় (যেমন ); মূলধনের সুষম বৃদ্ধির পথ path $AL$ $K$ $AL$ $y=Y/AL$ $k^*$

এটি রোমারের দ্বারা উন্নত ম্যাক্রোতে এর সমস্যা । আমি ল্যাঞ্জরেঞ্জ ইনভার্শন তত্ত্বটি দেখার চেষ্টা করেছি এবং উপরের গেটটি কে- কেন্দ্রিক প্রথম অর্ডার টেলর সিরিজে প্রয়োগ করেছি $1.11$ $k^*$

g (y) = k^{*} + lim_{k \to k^{*}} (\frac{y - f (k^{*})}{1!}) \frac{d^{0}}{d w^{0}} (\frac{k - k^{*}}{f (k) - f (k^{*})})

$\displaystyle g(y) = k^* + \lim_{k \to k^*} \left( \frac{y-f(k^*)}{1!} \right) \frac{d^0}{dw^0} \left( \frac{k-k^*}{f(k)-f(k^*)} \right)$

তবে যেহেতু $y=f(k)$ এবং জিরোথ ডেরাইভেটিভ নিজেই কাজ করে, তাই আমরা নিম্নলিখিত বাতিলকরণ পাই:

= k^{*} + lim_{k \to k^{*}} \frac{f (k) - f (k^{*})}{f (k) - f (k^{*})} (k - k^{*})

$= k^* + \lim_{k \to k^*} \frac{f(k)-f(k^*)}{f(k)-f(k^*)}(k-k^*)$

= k^{*} + lim_{k \to k^{*}} (k - k^{*}) = k^{*}

$= k^* + \lim_{k \to k^*}(k - k^*) = k^*$

যা আমাদের কিছুই বলে না ... আমাদের কি দ্বিতীয় আদেশের ডেরাইভেটিভের দিকে নজর দেওয়া দরকার?

macroeconomics

— Sunhwa
সূত্র

ভেরিয়েবল হিসাবে সময় আপনার কোনও সমীকরণে উপস্থিত হয় না। সম্ভবত আপনি প্রাসঙ্গিক তথ্য টাইপ অবহেলা?

— গিসকার্ড

আহ, ঠিক আছে ধন্যবাদ, আমার মনে হয় এখন আমার কাছে আছে .. আমি কি উত্তর পোস্ট করব?

— সানহওয়া

সময় থাকলে অবশ্যই!

— গিসকার্ড

1

আমি বিশ্বাস করি এখানে আরও দ্রুত উপায় আছে। বিপরীত ফাংশন উপপাদ্য দ্বারা, আমরা আছে

y = f (k) ⟹ k = f^{- 1} (y) = f^{- 1} [f (k)] ⟹ \frac{\partial f^{- 1} (y)}{\partial y} = \frac{1}{f^{'} (k)}

$y = f(k) \implies k = f^{-1}(y) = f^{-1}[f(k)] \implies \frac {\partial f^{-1}(y)}{\partial y} = \frac {1}{f'(k)}$

এই সমস্ত সম্পর্ক মাথায় রেখে, আমাদেরও রয়েছে

\dot{y} = f^{'} (k) \cdot [s f (k) - (n + g + δ) \cdot f^{- 1} (y)]

$\dot y = f'(k)\cdot \big[sf(k) - (n+g+\delta)\cdot f^{-1}(y)\big]$

⟹ \frac{\partial \dot{y}}{\partial y} |_{y = y^{*}} = \frac{\partial f^{'} (k^{*})}{\partial y} \cdot [s f (k^{*}) - (n + g + δ) \cdot k^{*}] + f^{'} (k^{*}) \cdot [s - (n + g + δ) \cdot \frac{1}{f^{'} (k^{*})}]

$\implies \frac{\partial \dot y}{\partial y} \bigg|_{y=y^*} = \frac {\partial f'(k^*)}{\partial y}\cdot \big[sf(k^*) - (n+g+\delta)\cdot k^*\big]\\ + f'(k^*)\cdot \left[s - (n+g+\delta)\cdot \frac {1}{f'(k^*)} \right]$

⟹ \frac{\partial \dot{y}}{\partial y} |_{y = y^{*}} = 0 + s f^{'} (k^{*}) - (n + g + δ)

$\implies \frac{\partial \dot y}{\partial y} \bigg|_{y=y^*} = 0 + sf'(k^*) - (n+g+\delta)$

ইত্যাদি

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র

বাহ একদম! আমার উত্তরটি আবার পড়া খুব অগোছালো .. ধন্যবাদ @ অ্যালোকোস_প্যাপাডোপ্লোস!

— সুনহওয়া

2

ঠিক আছে, বইটিতে তারা order of এর প্রথম অর্ডার টেলর সিরিজের দিকে তাকিয়েছিল , যাতে @ এডেনএসপি বলেছিলেন, আমাদের এখানেও সময় প্রয়োজন! সুতরাং বরং এখানে আমাদের প্রায় এর টেলর সিরিজটি দেখা উচিত $\dot{k}$ $\dot{y}$

\dot{y} (y) ≃ [\frac{\partial \dot{y} (y)}{\partial y (k)} |_{y = y^{*}}] (y (k) - y (k^{*}))

$\displaystyle \dot{y}(y) \simeq \left[ \frac{\partial \dot{y}(y)}{\partial y(k)} \bigg|_{y=y^*} \right] (y(k) - y(k^*))$

\frac{\partial \dot{y} (y)}{\partial y (k)} |_{y = y^{*}} = (\frac{\partial \dot{y} (y)}{\partial k (t)} |_{y = y^{*}}) (\frac{\partial k (t)}{\partial y (k)} |_{k = k^{*}})

$\frac{\partial \dot{y}(y)}{\partial y(k)} \bigg|_{y=y^*} = \left( \frac{\partial \dot{y}(y)}{\partial k(t)} \bigg|_{y=y^*} \right) \left( \frac{\partial k(t)}{\partial y(k)} \bigg|_{k=k^*} \right)$

প্রথমে আমরা তাকান:

y = f (k)

$y=f(k)$

\Rightarrow \dot{y} = \frac{d}{d t} f (k) = \frac{d f}{d k} \frac{d k}{d t} = f^{'} (k) \dot{k}

$\Rightarrow \dot{y} = \frac{d}{dt} f(k) = \frac{d f}{d k} \frac{dk}{dt} = f'(k) \dot{k}$

আমরা জানি স্যালো মডেলের মূল সমীকরণটি হ'ল:

\dot{k} (t) = s f (k (t)) - (n + g + δ) k (t)

$\dot{k}(t) = s f(k(t)) - (n+g+\delta)k(t)$

\Rightarrow \dot{y} = f^{'} (k) [s f (k (t)) - (n + g + δ) k (t)]

$\Rightarrow \dot{y} = f'(k) \left[ s f(k(t)) - (n+g+\delta)k(t) \right]$

আমরা এর ব্যয়কে মূলধনের প্রতি শ্রদ্ধা সহকারে নিই:

\frac{\partial \dot{y}}{\partial k} = f^{″} (k) [s f (k (t)) - (n + g + δ) k (t)] + f^{'} (k) [s f^{'} (k) - (n + g + δ)]

$\frac{\partial \dot{y}}{\partial k} = f''(k)\left[ s f(k(t)) - (n+g+\delta)k(t) \right] + f'(k) \left[ s f'(k) - (n+g+\delta) \right]$

মান হয় সুবর্ণ-নিয়ম রাজধানী স্টক এত স্তর: $k^*$

s f (k^{*}) = (n + g + δ) k^{*}

$s f(k^*) = (n+g+\delta)k^*$

এবং অতঃপর

(\frac{\partial \dot{y}}{\partial k} |_{y = y^{*}}) = f^{″} (k^{*}) * (0) + f^{'} (k^{*}) [s f^{'} (k^{*}) - (n + g + δ)]

$\left( \frac{\partial \dot{y}}{\partial k} \bigg|_{y=y^*} \right) = f''(k^*)*(0) + f'(k^*)\left[ s f'(k^*) - (n+g+\delta) \right]$

পরবর্তী আমরা ইঙ্গিতটি ব্যবহার করি (আমার মতে শুরু করার জন্য কোনও ইঙ্গিতের বেশি নয়, বরং বিভ্রান্তিমূলক)

(\frac{\partial k (y)}{\partial y (t)} |_{k = k^{*}}) = {(\frac{\partial y (k)}{\partial k (t)} |_{y = y^{*}})}^{- 1} = f^{'} (k^{*})^{- 1} = g^{'} (y^{*})

$\left( \frac{\partial k(y)}{\partial y(t)} \bigg|_{k=k^*} \right) = \left( \frac{\partial y(k)}{\partial k(t)} \bigg|_{y=y^*} \right)^{-1} = f'(k^*)^{-1} = g'(y^*)$

এটিকে উভয়ই আমাদের প্রথম অর্ডারে আংশিক ডেরিভেটিভে প্লাগ করা হচ্ছে:

\frac{\partial \dot{y} (y)}{\partial y (k)} |_{y = y^{*}} = (f^{'} (k^{*}) [s f^{'} (k^{*}) - (n + g + δ)]) * (f^{'} (k^{*})^{- 1})

$\frac{\partial \dot{y}(y)}{\partial y(k)} \bigg|_{y=y^*} = \left( f'(k^*)\left[ s f'(k^*) - (n+g+\delta) \right] \right) * \left( f'(k^*)^{-1} \right)$

= s f^{'} (k^{*}) - (n + g + δ)

$= s f'(k^*) - (n+g+\delta)$

যেহেতু ভারসাম্যপূর্ণ বৃদ্ধির পথে এবং নির্বাণ $s = (n+g+\delta)k^*/f(k^*)$

- \frac{\partial \dot{y} (y)}{\partial y (k)} |_{y = y^{*}} = λ

$- \frac{\partial \dot{y}(y)}{\partial y(k)} \bigg|_{y=y^*} = \lambda$

λ = (n + g + δ) - \frac{(n + g + δ) (k^{*}) * f^{'} (k^{*})}{f (k^{*})}

$\lambda = (n+g+\delta) - \frac{(n+g+\delta)(k^*)*f'(k^*)}{f(k^*)}$

With আউটপুটটির স্থিতিস্থাপকতা হ'ল পুঁজির সাথে সম্পর্কিত: $\alpha_k = \frac{k*f'(k)}{f(k)}$

λ = (n + g + δ) (1 - α_{k} (k^{*}))

$\lambda = (n+g+\delta)(1-\alpha_k(k^*))$

সুতরাং তার সুষম প্রবৃদ্ধি-পাথ মান রেট দিতে এগোয় একই হিসাবে র দিকে এগোয় $y$ $\lambda$ $k$ $k^*$

— Sunhwa
সূত্র