কোসিলিনিয়ার ইউটিলিটি: পেরেটো অনুকূলতা মোট উপযোগ সর্বাধিককরণকে বোঝায়?

আমি পড়েছি যে যদি আমাদের সকল গ্রাহকের জন্য কসিলিনিয়ার ইউটিলিটি থাকে তবে যে কোনও প্যারেটো অনুকূল বরাদ্দ সমস্ত গ্রাহকের ইউটিলিটি স্তরের যোগফলকে সর্বাধিক করে তোলে। এটাই:

$\textbf{What we know:}$

1) u^{i} (m^{i}, x^{i}) = m^{i} + ϕ^{i} (x^{i}) \forall i = 1, . . ., I

$1)\quad u^i(m^i,x^i)=m^i+\phi^i(x^i)\; \quad \forall i=1,...,I$

2) ϕ^{i} () is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)

$2)\quad\phi^i(\;)\;\text{is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)}$

3) An allocation, x satisfies \neg \exists \hat{x} s . t . {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) \geq m^{i} + ϕ (x^{i}) \forall i

$3)\quad \text{An allocation,}\,x\, \text{satisfies}\;\neg\,\exists\,\hat{x}\; s.t. \;\hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)\geq m^i+\phi(x^i)\;\forall i$

and {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) > m^{i} + ϕ (x^{i}) for some i

$\text{and} \quad \hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)> m^i+\phi(x^i)\,\text{for some}\,i$

$\textbf{What to show:}$

x solves m a x \sum_{i = 1}^{I} m^{i} + ϕ^{i} (x^{i})

$x\;\text{solves}\;max\sum_{i=1}^Im^i+\phi^i(x^i)$

কেউ কি এর প্রমাণ দিতে পারে? কোন সাহায্যের ব্যাপকভাবে প্রশংসা হবে!

$\textbf{Edit:}\,$ আমি জানি না যে এটি সঠিক পথ কিনা, তবে strict এর কঠোর ক্রমবর্ধমান সম্পত্তি দ্বারা পছন্দগুলি স্থানীয় অ-তৃপ্তি পূরণ করে, যা বোঝায় যে তারা প্রথম কল্যাণ উপপাদাকে সন্তুষ্ট করে। এখন, যদি আমি বুঝতে পারি যে সমস্ত প্যারেটো অনুকূল বরাদ্দগুলি ক্যাসিলিনার ইউটিলিটির সাথে প্রতিযোগিতামূলক ভারসাম্যহীন, তবে আমি কিছু করতে পারি! $\phi(\,)$

microeconomics pareto-efficiency proof

— DornerA
সূত্র

আপনি কি নিশ্চিত যে হয় অধীনে হিসাবে একই অধীনে ? একটি বাজেট / সংস্থান সীমাবদ্ধতা মনে হচ্ছে না। এবং এটির সাহায্যে, আপনি (3) এর মধ্যে অসাম্যগুলি যোগ করে আপনি যা চান তা পেতে সক্ষম হবেন ।

m^{i}

$m^i$

{\hat{x}}^{i}

$\hat x^i$

m^{i}

$m^i$

x^{i}

$x^i$

i

$i$

— হের কে।

@HerrK। এটি একটি দুর্দান্ত পয়েন্ট এবং আমার দ্বারা বরং একটি

— বিব্রতকর

এক্স এর কাজ করার জন্য কোনও বৈশিষ্ট্য আছে? উদাহরণস্বরূপ, যদি এটি কঠোরভাবে বাড়ছে তবে অবতল হয় তবে পিও বরাদ্দ যেখানে একটি এজেন্ট মোট এনডোমেন্ট গ্রহণ করে তার কম কম ইউটিলিটি পাওয়া উচিত যা দুটি এজেন্টের মধ্যে সমানভাবে বরাদ্দকে বিভক্ত করে।

— 123

@ 123 দুর্ভাগ্যক্রমে উপরে তালিকাভুক্ত বিষয়গুলির তুলনায় সম্পর্কে অন্য কোনও অনুমান করা নেই

ϕ^{i} (\frac{}{})

$\phi^i(\frac{}{})$

— ডোরনারএ

উত্তর:

সম্পাদনা: এজ মামলা চুষে; মন্তব্য দেখুন। এমডাব্লুজি অধ্যায় 10 বিভাগ সি, ডি আরও দেখুন

ধরুন সমাধান করে $(\vec x^*, \vec m^*)$

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

তবে পেরেটো অনুকূল নয়।

\begin{aligned} ⟹ \exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. & u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) \geq u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) \forall i = 1, \dots, I \\ u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) > u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) for some i \end{aligned}

$\begin{align} \implies \exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad & u_i(x_i', m_i') \geq u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \forall \ i = 1,\cdots,I \\ & u_i(x_i', m_i') > u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \text{for some} \ i \end{align}$

⟹ \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\implies \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)$

যা একটি বৈপরীত্য। আমাদের যদি ইউটিলিটি সর্বাধিকীকরণ সমস্যার সমাধান করে থাকে তবে এটি অবশ্যই পেরেটো অনুকূল হতে হবে।

(দ্রষ্টব্য যে এটি continuous এর ক্রমাগত এবং ক্রমবর্ধমান বৈশিষ্ট্যগুলির আকারে আসে ) $\phi(\cdot)$

ধরুন একটি সম্ভাব্য পেরেটো অনুকূল বরাদ্দ, কিন্তু সমাধান করে না $(\vec x^*, \vec m^*)$

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

যেহেতু আমরা কে হিসাবে বিবেচনা এবং কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে, আমরা জানি স্থানীয়ভাবে অ-ব্যর্থ। পেরেটো বরাদ্দ কেবল সম্ভাব্য হওয়া উচিত। $m_i$ $\phi_i(\cdot)$ $u_i(\cdot)$

\exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*}) ⟹ \sum_{i = 1}^{I} ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)\\ \implies \boxed{ \sum^I_{i=1} \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} \phi_i(x^*_i)}$

যদি এটি সত্য হয় কারণ এই বিকল্প বরাদ্দকরণটি কেবলমাত্র পৃথক সকলের সমতুল্য জন্য আলাদা আলাদা ব্যক্তিকে দেয় তবে বিকল্প বরাদ্দটি অক্ষম। সুতরাং আমাদের একটি দ্বন্দ্ব থাকতে হবে। $x$

যদি এটি সত্য হয় কারণ বিকল্প বরাদ্দের ক্ষেত্রে অন্য কাউকে বেশি বরাদ্দ করা হয় এবং কেবলমাত্র একজন অন্য ব্যক্তিকে কম বরাদ্দ দেওয়া হয়, তবে আসল বরাদ্দ পেরেটো অনুকূল হবে না। মনে করুন এটি ছিল। আপনি যদি মূল বরাদ্দটি গ্রহণ করেন এবং নতুন বরাদ্দের পথে স্থানান্তরিত হন, তবে আপনাকে কমপক্ষে একই ইউটিলিটি স্তরে হারাতে হবে এমন রাখার জন্য আপনাকে সংখ্যার ভাল, । তবে কেবলমাত্র অঙ্কের ভালে ব্যবসা কখনই যোগফলের সামগ্রিক ইউটিলিটি পরিবর্তন করতে পারে না । মূল বরাদ্দ থেকে, যদি আপনি জন্য ট্রেড করতে পারেন $x$ $x$ $m$ $x$ $m$ $x$ করুন এবং কেউ কেউ আঘাত ছাড়াই ভাল বন্ধ, আপনি একটি Pareto সর্বোত্তম ছিলেন না, এবং যদি আপনি বাণিজ্য করতে পারবে না জন্য কেউ ভাল বন্ধ করতে, আপনি সমষ্টিগত ইউটিলিটি, যা মূল বরাদ্দ অর্থ সংকলিত না বাড়াতে পারেন একটি ছিল সর্বাধিক সমস্যার সমাধান $m$ $x$

আপনি একাধিক ব্যক্তির মধ্যে কীভাবে পুনর্বিন্যাস করেন তা বিবেচনা না করেই এই যুক্তি প্রযোজ্য । $x$

$\square$

— কিটসুন অশ্বারোহী
সূত্র

আমি দেখতে পাচ্ছি যে ওপি এই উত্তরটি গ্রহণ করেছে তবে এটি তার আসল প্রস্তাবটি প্রমাণ করে না। ওপি দাবি করেছে যে কোনও পিও বরাদ্দ প্রদত্ত সর্বাধিক সমস্যার সমাধান করে। এই প্রমাণটি দেখায় যে সর্বাধিকীকরণ সমস্যার সমাধান হ'ল পিও। যাইহোক, এই ফলাফলটি ইউটিলিটি ফাংশনটি স্পষ্ট করে তোলে যে পছন্দগুলি স্থানীয় অ-তৃপ্তি পূরণ করে। এবং আমরা জানি যে সিই এবং পিও পয়েন্টগুলির মধ্যে অগত্যা কোনও দ্বিপাক্ষিক উপস্থিতি নেই কারণ এক্সের ফাংশনে রাখা নিষেধাজ্ঞার উপর নির্ভর করে মূল প্রস্তাবটি সম্ভবত মিথ্যা ((ল্যাটেক্স ব্যবহার করা এত কঠিন ফোন ব্যবহার করে - দুঃখিত।)

— 123

আমি মনে করি না আদর্শ বিশুদ্ধ বিনিময় অর্থনীতি পরিবেশে প্রস্তাবটি সত্য। : এখানে কাউন্টার উদাহরণ economics.stackexchange.com/a/15146/11824

— অমিত

@ আমি আপনাকে ঠিক বলেছি মনে করি তবে বিবৃতিটি যুক্ত শর্তে ধরেছে যে পিও বরাদ্দ এমন যে সমস্ত গ্রাহকের জন্য : । অথবা বিকল্পভাবে যদি সমস্যাটি জন্য নেতিবাচক মানগুলির জন্য অনুমতি দেয় । এই ক্ষেত্রে আপনার পাল্টা নমুনা পিও হবে না।

(x, m)

$(x,m)$

i

$i$

m_{i} > 0

$m_i>0$

m_{i}

$m_i$

— গিসকার্ড

@ কিটসুনক্যাভালরি এখানে ভুলটি পড়েছে: "মূল বরাদ্দ থেকে, আপনি যদি জন্য ট্রেড করতে পারেন এবং কাউকে আঘাত না করে কাউকে আরও ভাল করে তুলতে পারেন তবে আপনি পেরেও অনুকূলে ছিলেন না, এবং আপনি যদি বানানোর জন্য ট্রেড করতে না পারেন তবে অন্য কেউ ভাল, আপনি যোগফল সামগ্রিক উপযোগ বৃদ্ধি করতে পারবেন না ... "বা আপনি বাণিজ্য করতে পারবেন না কারণ এটি একটি নেতিবাচকতা সীমাবদ্ধতা লঙ্ঘন করবে। বু, গণ্ডগোল! : ডি 50 পয়েন্ট ফিরিয়ে দিন: ডি

m

$m$

x

$x$

m

$m$

x

$x$

— গিসকার্ড

@denesp সে ব্যাপারে আমি সম্মত ফলাফলের ঝুলিতে যদি আমরা পারেন অনুমতি কোনো বাস্তব নম্বর, বা শুধুমাত্র কঠোরভাবে ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যার, সব জন্য হতে ।

m_{i}

$m_i$

i

$i$

— অমিত

আমি মনে করি না যে এটি একটি আদর্শ খাঁটি বিনিময় অর্থনীতিতে প্রশ্নটি উল্লেখ করছে যা সত্য। নিম্নলিখিত কাউন্টারেরেক্সামলটি বিবেচনা করুন: ধরুন

$I = \{1,2\}$ এবং এবং । $u_1(x_1, m_1) = \sqrt{x_1} + m_1$ $u_2(x_2, m_2) = \sqrt{x_2} + m_2$

এবং সম্ভাব্য বরাদ্দের সেটটি হতে দিন

$\{((x_1, m_1), (x_2, m_2))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+: x_1+x_2 = 2, m_1+m_2 = 2 \}$ ।

লক্ষ্য করুন যে বরাদ্দ পেরেটো দক্ষ, তবে যোগফলকে সর্বাধিক করে না। কারণ হ'ল বরাদ্দ উচ্চতর যোগফল দেয়। $a_1 = ((x_1, m_1), (x_2, m_2)) = ((2,2),(0,0))$ $a_2 = ((1,1),(1,1))$

$u_1(2,2) + u_2(0,0) = \sqrt{2} + 2 < 2 + 2 = u_1(1,1) + u_2(1,1)$ ।

— অমিত
সূত্র

@ ডোরনার এ সম্পর্কে আপনার চিন্তাভাবনা?

— গিসকার্ড

আমি বিশ্বাস করি আপনি নীচের ফলাফলটি উল্লেখ করছেন: যে কোনও পিই বরাদ্দ সর্বাধিক , তবে আপনি নির্দিষ্ট করে না বলে সঠিকভাবে জানা শক্ত সম্ভাব্যতা। $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$

আমার আরো নির্দিষ্ট করা যাক। প্রত্যেকের জন্য , । বরাদ্দের হয় । সম্ভাব্য বরাদ্দের সেটটি হল । ইউটিলিটি থেকে থেকে , যেখানে strictly কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে। $i\in\{1,\ldots,I\}$ $(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}$ $a=(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}$ $F=\{(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}|(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}\forall i\in\{1,\ldots,I\},\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x},\sum_{i=1}^{I}m_{i}\leq c_{m}\}$ $i\in\{1,\ldots,I\}$ $a\in F$ $u_{i}(a)=m_{i}+\phi_{i}(x_{i})$ $\phi_{i}$

পিই বরাদ্দের স্ট্যান্ডার্ড: পিই হয় যদি যেমন সমস্ত এবং জন্য কিছু । $a\in F$ $\nexists a'\in F$ $u_{i}(a')\geq u_{i}(a)$ $i$ $u_{i}(a')>u_{i}(a)$ $i$

এখন আমি দাবী করে যে যদি পি ই তাহলে একটি সমাধান , বা, তৈরীর থেকে সম্মান সঙ্গে বৃহদায়ন গুলি স্পষ্ট, St । $a$ $a$ $\displaystyle\max_{a\in F}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $x_{i}$ $\displaystyle\max_{(x_{i})_{i=1}^{I}\in\mathbb{R}_{+}^{I}}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x}$

আমি এখানে দাবি প্রমাণ করতে যাচ্ছি না, তবে মূল ধারণাটি সহজ এবং নিম্নরূপ। ধরা যাক পিই তবে সর্বাধিক সমস্যার সমাধান করে না। তারপরে আমরা আরও সম্ভাব্য করতে পারি যেমন । সত্য, , , এজেন্টরা আরও খারাপ হয়, তবে আমরা তাদের অর্থ এর মতো সমানভাবে তৈরি করতে , s অর্থ ব্যবহার করতে পারি , এবং এখনও রেখে যেতে পারি কিছু অর্থের সাথে যেহেতু আমরা s থেকে যোগফল বাড়িয়েছি । $a^{*}$ $a'$ $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}')>\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}^{*})$ $a'$ $a^{*}$ $m_{i}$ $a^{*}$ $x_{i}$

এটি বলার আর একটি উপায় হ'ল থেকে from থেকে উপযোগের যোগফল হ'ল । এখন যে কোনও অপ্রয়োজনীয় বরাদ্দ term এর প্রথম মেয়াদটি অভিন্ন হবে। $a\in F$ $\sum_{i=1}^{I}m_{i}+\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $a\in F$

তবুও চিন্তা করার আর একটি উপায় হ'ল পাই এবং অর্থের আকার নির্ধারণ করে, গুলি, পুনরায় বিতরণ নির্ধারণ করে। আপাতদৃষ্টিতে রৈখিকতা, কমিয়ে এক ইউনিট এবং বৃদ্ধি এক ইউনিট পাতার পাতার দ্বারা অপরিবর্তিত। এই জন্য সত্য নয় এবং । $x_{i}$ $m_{i}$ $m_{i}$ $m_{j}$ $m_{i}+m_{j}$ $x_{i}$ $x_{j}$

এটি আরও বোঝায় যে যে কোনও the যা সর্বাধিক সমস্যার সমাধান করে তা হ'ল পিই। $a\in F$

— জানুয়ারী
সূত্র

আপনি অন্য দুটি উত্তর পড়েছেন? একটি মূলত একই অবস্থা। অন্যটি একটি কাউন্টারিক নমুনা সরবরাহ করে।

— গিসকার্ড

@ আডেনস্প হ্যাঁ আমি উত্তরগুলি পড়েছি এবং আমি বিভিন্ন জিনিস বলছি। দুটি উত্তর ইউটিলিটির যোগফলের সর্বাধিককরণের বিষয়ে কথা বলছে, আমি s থেকে যোগফলের সর্বাধিককরণের কথা বলছি । পাল্টা-উদাহরণে, সমালোচনামূলক ধৃষ্টতা যে । তাহলে জন্য , তারপর আমি যা বলছি প্রযোজ্য। কোন অনুমানটি 'স্ট্যান্ডার্ড' তর্কযোগ্য। আমি এমডাব্লুজি দ্বারা উত্থাপিত হয়েছে।

x_{i}

$x_{i}$

m_{i} \geq 0

$m_{i}\geq0$

\forall i \in {1, 2}

$\forall i\in\{1,2\}$

m_{i} \in R

$m_{i}\in\mathbb{R}$

i \in {1, 2}

$i\in\{1,2\}$

— জানুয়ারী

আরও একটি মন্তব্য, মাস-কোলেল, হুইনস্টন, গ্রিন অধ্যায় 10, বিশেষত অংশ সি এবং আরও বেশি বিশেষ করে ডি ডি, ওপির বিষয়ে ইস্যুটির যে পাঠ্যপুস্তক রয়েছে সে সম্পর্কে এই প্রশ্নটি ভাল।

— জানুয়ারী