লেন-মডেল সমতা

প্রারম্ভিক অবস্থানটি অসম্পূর্ণ তথ্য (নৈতিক বিপত্তি) এবং নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য সহ একটি অধ্যক্ষ-এজেন্ট-মডেল:

এজেন্ট ইউটিলিটি: $u(z)=-e^{(-r_az)}$
প্রধান ইউটিলিটি: $B(z)=-e^{(-r_pz)}$
প্রচেষ্টা স্তর $e\in \Bbb R$
ফলাফল $x\in \Bbb R, x\sim N(\mu(e), \sigma), \mu'(e)>0, \mu''(e)\le0$
চুক্তি: , $w(x)=a+bx$

যেখানে এবং হ'ল যথাক্রমে এজেন্ট এবং অধ্যক্ষের জন্য নিরঙ্কুশ ঝুঁকি- মাপ। $r_A$ $r_P$

যখন এজেন্টের প্রচেষ্টা দৃশ্যমান হয় না তখন আমি এজেন্টকে অফার দেওয়ার জন্য প্রিন্সিপালের সর্বোত্তম চুক্তির সন্ধান করছি। অধ্যক্ষের ইউটিলিটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:

{ইউ}^{পি} (ই, একটি, খ) = \int_{- \infty}^{\infty} - ই^{(- R_{পি} ((1 - খ) এক্স - একটি))} চ (এক্স | ই) ঘ এক্স

$U^P(e,a,b)=\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx$

আমি এটি দেখতে চাই যে নীচের সমতুল্যতা রয়েছে যার অর্থ অধ্যক্ষের ইউটিলিটির সর্বাধিককরণ নিম্নলিখিত সমতলের আরএইচএস হিসাবে লেখা যেতে পারে:

\underset{ই, একটি, খ}{সর্বোচ্চ} \int_{- \infty}^{\infty} - ই^{(- R_{পি} ((1 - খ) এক্স - একটি))} চ (এক্স | ই) ঘ এক্স \Leftrightarrow \underset{ই, একটি, খ}{সর্বোচ্চ} (1 - খ) μ (ই) - একটি - \frac{R_{পি}}{2} (1 - খ)^{2} σ^{2}

$\max_{\rm e,a,b}\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx \Leftrightarrow \max_{\rm e,a,b}(1-b)\mu(e)-a-\frac{r_P}2(1-b)^2\sigma^2$

যেখানে $f(x|e)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}2(\frac{x-\mu(e)}\sigma)^2)}$ হ'ল একটি সাধারণ এলোমেলো পরিবর্তনশীল and এর ঘনত্ব ফাংশন $x\sim N(\mu(e),\sigma)$ , প্রত্যাশিত মান $\mu(e)$ এবং বৈকল্পিক $\sigma>0$ ।

আমি এলএইচএসে সুস্পষ্ট রূপটি ব্যবহার করার চেষ্টা করেছি $f(x|e)$ , এটি কিছুটা চালিত করে এবং তারপরে পুনরাবৃত্তি করতে পারি তবে সমতা পেলাম না।

expected-utility asymmetric-information principal-agent

— Fusscreme
সূত্র

প্রধান পয়েন্ট যে অধ্যক্ষের একটি প্রতিদান থেকে উপযোগ প্রত্যাশিত হয় প্রচেষ্টা একটি নির্দিষ্ট স্তর উপর শর্তাধীন হিসেবে লেখা যেতে পারে $z$ $e$

ই [z- র | ই] - \frac{R_{পি}}{2} var (z- র | ই) ।

$\text{E}[{z}|e] - \frac{r_p}{2}\text{Var}(z|e).$

অন্য কথায়, যেহেতু সম্পদ সাধারণত বিতরণ করা হয়, তত্পরতাযুক্ত ইউটিলিটির একটি সাধারণ 'গড়-বৈচিত্র্য' উপস্থাপনা থাকে। একটি উপার্জনের জন্য, এখানে দেখুন ।

আমি এটি গ্রহণ করি যে অধ্যক্ষের payoff সমান । এরপরে এর (শর্তাধীন) গড় এবং ভিন্নতা গণনা করা সহজবোধ্য : $z$ $x - w(x) = (1 - b)x - a$ $z$

ই [z- র | ই] = (1 - খ) ই [এক্স | ই] - ই [একটি] = (1 - খ) μ (ই) - একটি,

$\text{E}[z|e] = (1 - b)\text{E}[x|e] - \text{E}[a] = (1 - b)\mu(e) - a,$

var [z- র | ই] = (1 - খ)^{2} var (এক্স | ই) - var (একটি) = (1 - খ)^{2} σ^{2} ।

$\text{Var}[z|e] = (1 - b)^2 \text{Var}(x|e) - \text{Var}(a)= (1 - b)^2\sigma^2.$

এটি অনুসরণ করে যে অধ্যক্ষের প্রত্যাশিত ইউটিলিটি হিসাবে লেখা যেতে পারে

(1 - খ) μ (ই) - একটি - \frac{R_{পি}}{2} (1 - খ)^{2} σ^{2} ।

$(1 - b)\mu(e) - a - \frac{r_p}{2}(1 - b)^2\sigma^2.$