সিইএস: উত্পাদন ফাংশন: প্রতিস্থাপনের স্থিতিস্থাপকতা

10

আমাকে তা প্রমাণ করতে হবে $\sigma = 1/(1 + \rho)$ সিইএস উত্পাদনের জন্য:

\begin{aligned} কুই = (ঠ^{ρ} + + ট^{ρ})^{\frac{1}{ρ}} \end{aligned}

$\begin{align} q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho} \end{align}$

আমি জানতে পেরেছিলাম যে আমাকে নীচের সমীকরণটি সমাধান করা দরকার:

\begin{aligned} σ = \frac{\frac{ঘ (ট / ঠ)}{ট / ঠ}}{\frac{ঘ আর টি এস}{আর টি এস}} = \frac{ঘ (ট / ঠ)}{ঘ আর টি এস} \frac{আর টি এস}{ট / ঠ} = \frac{ঘ (ট / ঠ)}{ঘ ((ট / ঠ)^{1 - ρ})} \frac{(ট / ঠ)^{1 - ρ}}{ট / ঠ} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma = \frac{\frac{d(k/l)}{k/l}}{\frac{dRTS}{RTS}} = \frac{d(k/l)}{dRTS}\frac{RTS}{k/l} = \frac{d(k/l)}{d((k/l)^{1-\rho})}\frac{(k/l)^{1-\rho}}{k/l} \end{align}$

তবে আমি কীভাবে এই প্রকাশটি আবার লিখতে জানি তা নয় $\sigma = 1/(1 + \rho)$

production-function

— frankfranfrank
সূত্র

কোব ডগলাস উত্পাদনের জন্য উদাহরণটি দেখুন এবং এটি সিইএসের জন্য সমাধান করার চেষ্টা করুন। en.wikedia.org/wiki/Elasticity_of_substistance

— ক্লাসহীন

9

উত্পাদন ফাংশনটি হ'ল:

কুই = (ঠ^{ρ} + + ট^{ρ})^{\frac{1}{ρ}}

$q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho}$ এমপিএল এবং এমপিকে যথাক্রমে:

{কুই}_{ঠ} = \frac{\partial কুই}{\partial ঠ} = \frac{1}{ρ} \cdot (ঠ^{ρ} + + ট^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot ঠ^{ρ - 1}

$q_l = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}$

{কুই}_{ট} = \frac{\partial কুই}{\partial ট} = \frac{1}{ρ} \cdot (ঠ^{ρ} + + ট^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot ট^{ρ - 1}

$q_k = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}$ L কে কে এর পরিবর্তে প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে?

কোথায় $f$ একটি একক ভেরিয়েবলের একটি স্বতঃস্ফূর্ত আসল-মূল্যবান ফাংশন, আমরা এক্স (বিন্দুতে x) হতে সম্মানের সাথে f (x) এর স্থিতিস্থাপকতা সংজ্ঞায়িত করি

σ (এক্স) = \frac{এক্স চ^{'} (এক্স)}{চ (এক্স)} \equiv \frac{\frac{ঘ চ (এক্স)}{চ (এক্স)}}{\frac{ঘ এক্স}{এক্স}}

$\sigma(x) = \frac{x f'(x)}{f(x)}\equiv \frac{\frac{df(x)}{f(x)}}{\frac{dx}{x}}$

ভেরিয়েবলের এমন পরিবর্তন করুন $u = ln(x)$ ( $\rightarrow x = e^u$ ) এবং $v=ln(f(x))$ ( $\rightarrow f(x) = e^v$ )
মনে রাখবেন যে $v' = f'(x) / f(x)$ এবং $u'=\frac{1}{x}$ যাতে $\frac{{বনাম}^{'}}{{তোমার দর্শন লগ করা}^{'}} = \frac{\frac{চ^{'} (এক্স)}{চ (এক্স)}}{\frac{1}{এক্স}} = σ (এক্স)$ $\frac{v'}{u'}=\frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{\frac{1}{x}} = \sigma(x)$
মনে রাখবেন যে এটি সমাধানের ফলে আপনি পান $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)}$ কারণ $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)} = \frac{d v}{d u}$ যা আমরা চেইন রুলের মাধ্যমে সমাধান করি: $\frac{ঘ বনাম}{ঘ তোমার দর্শন লগ করা} = \frac{ঘ বনাম}{ঘ এক্স} \cdot \frac{ঘ এক্স}{ঘ তোমার দর্শন লগ করা} = \frac{চ^{'} (এক্স)}{চ (এক্স)} \cdot এক্স$ $\frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot x$ যা হুবহু সংজ্ঞা হয় $\sigma(x)$ ।

এখন আসুন আপনার স্থিতিস্থাপকতার সমস্যাটি মোকাবেলা করুন।

l n (\frac{q_{k}}{q_{l}}) = l o g (\frac{\frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot l^{ρ - 1}}{\frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot k^{ρ - 1}}) = l n (\frac{l}{k})^{ρ - 1} = (ρ - 1) l n (l / k) = (1 - ρ) l n (k / l)

$ln(\frac{q_k}{q_l})= log(\frac{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}}{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}}) = ln (\frac{l}{k})^{\rho-1} = (\rho-1) ln (l/k) = (1 - \rho) ln (k/l)$

\Rightarrow l n (k / l) = \frac{1}{1 - ρ} \cdot l n (\frac{q_{ট}}{{কুই}_{ঠ}})

$\Rightarrow ln (k/l) = \frac{1}{1-\rho} \cdot ln(\frac{q_k}{q_l})$

সুতরাং $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$

— BKay
সূত্র

\frac{1}{ρ}

$\frac{1}{\rho}$ এবং

ρ

$\rho$ এক্সপোশন সহজ করার জন্য ডেরিভেটিভস এমপিএল এবং এমপিকে থেকে হ্রাস করা যেতে পারে।

— গ্যারেজ

0

আমি উপরের উত্তরে কিছুটা যুক্ত করতে চাই। আমি এর আগে একটি মন্তব্য লিখেছিলাম, তবে আমি ভেবেছিলাম যুক্তিটি আরও কিছুটা প্রকাশ করতে এটি সহায়ক হবে।

আমাদের একটি ফার্ম রয়েছে যা উত্পাদন, শ্রম দুটি কারণ ব্যবহার করে $l$ এবং মূলধন $k$ , আউটপুট উত্পাদন করতে। আউটপুট পরিমাণ লেখা হয় $q$ ।

একটি একক ভেরিয়েবলের ক্রিয়াকলাপের স্থিতিস্থাপকতা নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের শতাংশের প্রতিক্রিয়া স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের শতাংশ পরিবর্তনের পরিমাপ করে।

অন্যদিকে, দুটি ফ্যাক্টর ইনপুটগুলির মধ্যে প্রতিস্থাপনের স্থিতিস্থাপকতা তাদের পরিমাণের অনুপাতের শতাংশের প্রতিক্রিয়াকে আপেক্ষিক প্রান্তিক পণ্যগুলির শতাংশের পরিবর্তনের পরিমাপ করে।

উপরের সাথে সম্পর্কিত, আমাদের যে স্থিতিস্থাপকতা দেওয়া হয়

\begin{aligned} σ \equiv \frac{ঘ Ln (ট / ঠ)}{ঘ Ln (এম পি এল / এম পি কে)} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma \equiv \frac{d \ln{\left( k/l \right)}}{d\ln{ \left( MPL/MPK \right)}} \end{align}$

কোথায় $MPL$ শ্রমের প্রান্তিক পণ্য এবং $MPK$ মূলধনের প্রান্তিক পণ্য।

আমি এটি লেখার কারণটি হ'ল উপরের উত্তরে একটি ছোট ত্রুটি রয়েছে। "এখন আসুন আপনার স্থিতিস্থাপকতা সমস্যাটি মোকাবেলা করুন," এর ঠিক পরে সমীকরণে $\ln{\frac{q_k}{q_l}}$ সঙ্গে সঙ্গে একটি অভিব্যক্তি দ্বারা অনুসরণ করা হয় $\ln{\frac{q_l}{q_k}}$ ডিনোমিনেটরের সাথে অঙ্কটি পরিবর্তন করা।

আপনি যদি এটি সংশোধন করেন তবে আপনি এটি পান $\sigma = -\frac{1}{1-\rho}$ , যা কাছাকাছি তবে পুরোপুরি সঠিক নয়। সঠিক উত্তর পেতে, আপনি অন্যথায় যথাযথ একই গণনাগুলি অনুসরণ করার জন্য উপরের উত্তরটি দিয়েছিলেন get

Ln ট / ঠ = \frac{1}{1 - ρ} \cdot Ln \frac{{কুই}_{ঠ}}{{কুই}_{ট}}

$\ln{k/l} = \frac{1}{1-\rho}\cdot \ln {\frac{q_l}{q_k}}$

যে পেতে $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$ , যেখানে সংশোধনগুলি উপরে বর্ণিত কারণগুলির জন্য।

— mathsquestions1
সূত্র