একই আদেশ ছাড়া দ্বিতীয় আদেশ stochastic কর্তৃত্ব

Question

$ F $ এবং $ G $ একই অর্থের সাথে দুইটি বন্টন করা যাক। $ F $ বলা হয় দ্বিতীয় আদেশ stochastically আয়ত্ত ( SOSD ) $ জি $ যদি $$ \ int u (x) \ mathrm df (x) \ ge \ int u (x) \ mathrm dg (x) \ tag {1} $$ সব বৃদ্ধি এবং অবতল $ u (\ cdot) $ জন্য।

এই উপরে সংজ্ঞা সমতুল্য
$$ \ int _ {- \ infty} ^ x F (t) \ mathrm dt \ le \ int _ {- \ infty} ^ xg (t) \ mathrm dt, \ qquad \ forall x \ in \ mathbb R \ tag { 2} $$

আমাকে বলা হয়েছিল যে $ F $ এবং $ G $ এর জন্য একই অর্থের প্রয়োজনীয়তা সত্যিই প্রয়োজনীয় নয়। ধরুন $ F $ এবং $ G $ করবেন না একই মানে আছে। আমরা কি এখনও $ (1) $ এবং $ (2) $ এর মধ্যে সমতা থাকতে পারি?

N.B. আমি একই শর্ত ছাড়াই $ (2) \ রাইটারো (1) $ দেখানোর জন্য সক্ষম ছিলাম, কিন্তু অন্য কোনও দিকে নয়।

Answer 1

$ U (x) = x $ যা বাড়ছে এবং অবতল। এরপর সংজ্ঞায়িত শর্ত SOSD পড়তে

$$ \ int x \ mathrm df (x) \ ge \ int x \ mathrm dg (x) \ implies ই_এফ (এক্স) \ geq E_G (এক্স) \ tag {1} $$

.. যা $ E_F (এক্স) & lt ক্ষেত্রে বিপরীত হবে; E_G (X) $ যা একটি সাধারণ "বিভিন্ন উপায়ে" পোস্টুলুলের অধীনে অনুমতিযোগ্য হবে। অন্যদিকে, আমরা দেখি যে "একই অর্থ" শর্তটি এসওএসডি-র জন্য নির্ধারিত শর্ত দ্বারা লঙ্ঘন করা যেতে পারে। যে আমাদের কি বলে?

1) যে $ E_F (X) \ geq E_G (X) $ একটি প্রয়োজনীয় শর্ত $ F $ SOSD $ G $ এর জন্য।

2) ... এবং যাতে "$ F $ এবং $ G $ এর একই অর্থের প্রয়োজন" SOSD এর ধারণাটির আবেদনটিকে ভুলভাবে নিষিদ্ধ করে।