প্রত্যাশার মেয়াদ সহ ইউলার সমীকরণ লগ-লিনিয়ারাইজেশন

10

লগ-লিনিয়ারাইজেশন (যেমন, এখানে বা এখানে ) সহায়তার জন্য কয়েকটি অনলাইন সংস্থান উপলব্ধ । যাইহোক, লগ-লিনিয়ারাইজেশন যেখানে একটি প্রত্যাশা জড়িত একটি সামান্য জটিল কারণ লগটি কেবল প্রত্যাশা অপারেটরটিকে "পাস" করতে পারে না। কেউ এই উদাহরণে বীজগণিত সাহায্য করতে পারে?

আমার কাছে অয়লার সমীকরণ (সমীকরণ 1) যেখানে। আমি ঝুঁকিমুক্ত হারের জন্য এবং ইক্যুইটি প্রিমিয়ামের জন্য একটি অভিব্যক্তি অর্জন করার চেষ্টা করছি। এই কাজটি করা সম্পর্কে আমার কীভাবে যাওয়া উচিত?

1 = E_{t} [{δ {(\frac{C_{t + 1}}{C_{t}})}^{- 1 / ψ}}^{θ} {\frac{1}{1 + R_{m, t + 1}}}^{1 - θ} 1 + R_{i, t + 1}]

$1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta \left \{ \frac{1}{1 + R_{m,t+1}} \right \}^{1 - \theta} 1 + R_{i, t+1} \right ]$

θ = (1 - γ) / (1 - 1 / ψ)

$\theta = ( 1 -\gamma)/(1 - 1/\psi)$

উপরের দ্বিতীয় লিঙ্ক থেকে মনে হয় যে আমার আগ্রহের ভেরিয়েবলগুলি তাই পরিবর্তে শুরু করা উচিত । তারপরে প্রদত্ত পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করে মনে হচ্ছে আমার পৌঁছানো উচিত (সমীকরণ 2) $C_t = c e^{\tilde C_t}$

\begin{aligned} 1 = E_{t} [{δ {(\frac{{\tilde{C}}_{t + 1} + 1}{{\tilde{C}}_{t} + 1})}^{- 1 / ψ}}^{θ} {\frac{1}{(1 + R_{m}) [\tilde{(1 + R_{m, t + 1})} + 1]}}^{1 - θ} \cdot \cdot [(1 + R_{i}) [\tilde{(1 + R_{i, t + 1})} + 1]]] . \end{aligned}

$\begin{align} 1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{\tilde C_{t+1} + 1}{\tilde C_t + 1} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta {} \left \{ \frac{1}{(1 + R_m)[\widetilde{(1 + R_{m,t+1})} + 1]} \right \}^{1 - \theta} \cdot \\ \cdot [(1 + R_i)[\widetilde{(1 + R_{i, t+1})} + 1]] \right ]. \end{align}$

তবে আমি এখান থেকে কোথায় যাব?

সম্পাদনা করুন:

আমার কাছে থাকা নোটগুলি থেকে আমি সরাসরি সমীকরণ 1 অনুলিপি করেছি। এটি সম্ভবত এমন হয় যে ডানদিকে শব্দটি , প্রথম বন্ধনীতে হওয়া উচিত, । লগ-লিনিয়ারাইজেশনে আমার প্রথম প্রয়াসে আমি এটি এইভাবে চিকিত্সা করেছি। $1 + R_{i,t+1}$ $(1 + R_{i,t+1})$
সমীকরণ 2-এ, আমি নির্দেশের পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করেছি যা শুরুতে দ্বিতীয় লিঙ্কে পাওয়া যাবে। সুতরাং, টাইম সাবস্ক্রিপ্ট ছাড়াই এবং স্থিতিশীল অবস্থায় এই মানগুলি। $R_i$ $R_m$
বাজারের পোর্টফোলিওতে রিটার্ন এবং সম্পত্তিতে রিটার্ন । $R_m$ $R_i$ $i$

সম্পাদনা 2:

দরকারী মন্তব্যের জন্য ধন্যবাদ। সুতরাং, আমি এখন পর্যন্ত যা জড়ো করেছি, সেগুলি থেকে আমার এমন কিছু পাওয়া উচিত:

\begin{aligned} 1 & = E_{t} [δ^{θ} (1 - \frac{θ}{ψ} ({\tilde{C}}_{t + 1} - {\tilde{C}}_{t}) (1 + R_{m})^{θ - 1} (θ - 1) (1 + {\tilde{R}}_{m, t} \frac{R_{m}}{1 + R_{m}}) \\ \cdot (1 + R_{i}) ((1 + {\tilde{R}}_{i, t} \frac{R_{i}}{1 + R_{i}})] \end{aligned}

$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) \right .\\ & \left . \, \cdot (1 + R_i) \left ( (1 + \tilde R_{i,t} \frac{ R_i}{1 + R_i} \right ) \right ] \end{align}$

তারপরে এটি বোঝাবে যে ঝুঁকিমুক্ত হার নীচে পাওয়া গেছে:

\begin{aligned} 1 & = E_{t} [δ^{θ} (1 - \frac{θ}{ψ} ({\tilde{C}}_{t + 1} - {\tilde{C}}_{t}) (1 + R_{m})^{θ - 1} (θ - 1) (1 + {\tilde{R}}_{m, t} \frac{R_{m}}{1 + R_{m}}) (1 + R_{f})] \\ 1 & = E_{t} [m_{t + 1} (1 + R_{f})] \\ \frac{1}{E_{t} [m_{t + 1}]} & = 1 + R_{f} . \end{aligned}

$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) (1 + R_f) \right ] \\ 1 &= E_t[ m_{t+1} (1 + R_f)] \\ \frac{1}{E_t[m_{t+1}]} &= 1 + R_f. \end{align}$

এটা কি সঠিক? এবং এখন, প্রশ্নটি শেষ করতে, আমি কীভাবে ইক্যুইটি প্রিমিয়ামটি খুঁজে পাব?

macroeconomics asset-pricing

— ethan1410
সূত্র

আমি দৌড়াদৌড়ি করছি, তবে গালির বইতে কি আপনার অ্যাক্সেস রয়েছে? আমি মনে করি তিনি এটি ব্যাপকভাবে করেন,

— iirc

না। এটি কি তার মুদ্রানীতির বইতে থাকবে? "আর্থিক নীতি, মুদ্রাস্ফীতি, এবং ব্যবসায় চক্র?"

— ethan1410

E_{t} [m_{t + 1} (1 + R_{m})]

$E_t[m_{t+1}(1+R_m)]$

4

আসুন মুহুর্তের জন্য প্রত্যাশিত মানটির অস্তিত্ব উপেক্ষা করুন। যদি এটি একটি নির্ধারিত সেটআপ ছিল, লগগুলি গ্রহণের মাধ্যমে লিনিয়ারাইজেশন সহজসাধ্য হবে এবং লিঙ্কের কৌশলগুলি ছাড়া ওপি সরবরাহ করেছিল। আমরা যে প্রথম সমীকরণটি পেয়েছি তার উভয় পক্ষেই প্রাকৃতিক লগ গ্রহণ:

\begin{matrix} (1) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} \ln (\frac{C_{t + 1}}{C_{t}}) - (1 - θ) \ln (1 + R_{m, t + 1}) + \ln (1 + R_{i, t + 1}) \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\ln \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )-(1-\theta) \ln(1 + R_{m,t+1}) + \ln (1 + R_{i, t+1}) \tag{1}$

সেট

\begin{matrix} (2) & {\hat{c}}_{t + 1} = \frac{C_{t + 1} - C_{t}}{C_{t}} \Rightarrow \frac{C_{t + 1}}{C_{t}} = 1 + {\hat{c}}_{t + 1} \end{matrix}

$\hat c_{t+1} = \frac{C_{t+1}-C_t}{C_t} \Rightarrow \frac{C_{t+1}}{C_t} = 1+\hat c_{t+1} \tag{2}$

$\ln (1+a) \approx a$ $|a|<0.1$

\begin{matrix} (3) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} {\hat{c}}_{t + 1} - (1 - θ) R_{m, t + 1} + R_{i, t + 1} \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\hat c_{t+1} -(1-\theta) R_{m,t+1} + R_{i, t+1} \tag{3}$

$\hat c_{t+1} =0$

\begin{matrix} (4) & R_{i} = - θ \ln δ + (1 - θ) R_{m} \end{matrix}

$R_{i} = - \theta \ln \delta + (1-\theta) R_{m} \tag{4}$

$E_t\left[f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)\right]$ $f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)$ $f()$ $\mathbf z_{t+1}$ $t$ $\mathbf z_{t+1}$ $E_t(\mathbf z_{t+1})$

\begin{matrix} (5) & f (z_{t + 1}) \approx f (E_{t} [z_{t + 1}]) + \nabla f (E_{t} [z_{t + 1}]) \cdot (z_{t + 1} - E_{t} [z_{t + 1}]) \end{matrix}

$f\left(\mathbf z_{t+1}\right) \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) + \nabla f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right)\cdot \big(\mathbf z_{t+1}-E_t[\mathbf z_{t+1}]\big) \tag{5}$

তারপর

\begin{matrix} (6) & E_{t} [f (z_{t + 1})] \approx f (E_{t} [z_{t + 1}]) \end{matrix}

$E_t\left[f\left(\mathbf z_{t+1}\right)\right] \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) \tag{6}$

$(3)$

\begin{matrix} (7) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} E_{t} [{\hat{c}}_{t + 1}] - (1 - θ) E_{t} [R_{m, t + 1}] + E_{t} [R_{i, t + 1}] \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}E_t[\hat c_{t+1}] -(1-\theta) E_t[R_{m,t+1}] + E_t[R_{i, t+1}] \tag{7}$

কিন্তু স্থির-রাষ্ট্রীয় মূল্যবোধগুলি কোথায়? ঠিক আছে, স্টোকাস্টিক প্রসঙ্গে স্থিতিশীল রাষ্ট্রীয় মানগুলি কিছুটা জটিল - আমরা কী যুক্তি দিচ্ছি যে আমাদের ভেরিয়েবলগুলি (যা এখন এলোমেলো ভেরিয়েবল হিসাবে বিবেচিত হয়) ধ্রুবক হয়ে যায় ? বা স্টোকাস্টিক প্রসঙ্গে স্থিতিশীল রাষ্ট্রের সংজ্ঞা দেওয়ার অন্য কোনও উপায় আছে কি?

একাধিক উপায় রয়েছে। এর মধ্যে একটি হ'ল "নিখুঁত দূরদর্শিতা স্থির রাষ্ট্র", যেখানে আমরা নিখুঁতভাবে একটি অ-অবিচল ধ্রুবক মান পূর্বাভাস করি (এটি "প্রত্যাশাগুলির পরিপূর্ণতা হিসাবে সমতা")। এটি উদাহরণস্বরূপ একটি মন্তব্যে উল্লিখিত জর্দি গালির বইতে ব্যবহৃত হয়েছে । "পারফেক্ট-দূরদর্শিতা অবিচলিত অবস্থা" দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়

\begin{matrix} (8) & E_{t} (x_{t + 1}) = x_{t + 1} \end{matrix}

$E_t(x_{t+1}) = x_{t+1} \tag{8}$

$(7)$ $(3)$

$(4)$

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস
সূত্র

@ জম্ববেজার এটি পুরোপুরি সঠিক । এটি কোনও ক্রিয়াকলাপের কাটা কাটা প্রথম অর্ডার টেলারের প্রত্যাশিত মান। আপনি কি এর সাথে একমত নন? আপনি এটিকে একটি সাবটেক্টিমাল সান্নিধ্য হিসাবে বিবেচনা করুন না কেন, এটি অন্য একটি বিষয় এবং আপনি কী মানদণ্ডটি ব্যবহার করে মান এবং আনুমানিকের পর্যাপ্ততা বিচার করার জন্য তা করতে হবে।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লো

ঠিক আছে. তোমার একটা কথা আছে তবে, আপনি যেমন বলেছেন, আমি নিশ্চিত নই যে পরিস্থিতিটির সেরা জিনিসটি কী। তবে অবশ্যই এটি নিয়ে যাওয়ার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। পক্ষপাতদুষ্ট সম্পর্কে অবশ্যই কিছু বলার আছে তবে আপনি একটি ভাল বিষয় তুলে ধরেছেন। ভোট আমাকে তা দেয়ার সাথে সাথে আমি ভোটটিকে পূর্বাবস্থায় ফিরিয়ে আনব।

— jmbejara

3

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$ $f(x) \approx E[f(x)] + f'(E[x]) (x - E[x])$ $f(x) - \overline{f(x)}$ $x - \bar x$

\frac{Cov (f (x), x)}{Var(x)} \approx E [f^{'} (x)] .

$\frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}} \approx E[f'(x)].$

x

$x$

সম্পাদনা করুন:

$f(x) - \overline{f(x)}$ $x - \bar x$ $f(x) - \overline{f(x)} = \beta (x - \bar x) + \epsilon$ $E[\epsilon] = E[\epsilon x] = 0$ $\beta = \frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}}$ $\beta$

f (x) \approx E [f (x)] + E [f^{'} (x)] (x - \bar{x}) + ϵ,

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - \bar x) + \epsilon,$

E [ϵ] = 0.

$E[\epsilon] = 0.$

E [f (E [x]) + f^{'} (E [X]) (x - E [x])] = f (E [x]) \neq E [f (x)] .

$E[f(E[x]) + f'(E[X]) (x - E[x])] = f(E[x]) \neq E[f(x)].$

— jmbejara
সূত্র

f (x) \approx E [f (x)] + E [f^{'} (x)] (x - E [x])

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$

f (x)

$f(x)$

E [f (x)]

$E[f(x)]$

E [f (x)] \approx f (x) - \frac{Cov (f (x), x)}{Var (x)} \cdot [x - E (x)] ?

$E[f(x)] \approx f(x) - \frac {\text{Cov}(f(x),x)}{\text{Var}(x)}\cdot [x-E(x)]?$

3

আপনার সমস্যাটি পুনরাবৃত্তির সাথে সম্পদ-মূল্যের সমীকরণের (অ্যাপস্টাইন-জিন) পছন্দগুলির মতো বলে মনে হচ্ছে। সম্পদের দামের প্রতি আগ্রহী হয়ে উঠলে সাধারণকে "সামষ্টিক অর্থনৈতিক" রৈখিকতার সাথে সতর্ক থাকতে হবে। যেমন একটি আনুমানিকতা নিশ্চিত-সমতুল্য, মানে লিনিয়ারাইজড দ্রবণটির সহগগুলি শকের আকারের উপর নির্ভর করে না। তদুপরি, রৈখিক সমাধানে সমস্ত পরিবর্তনশীলগুলি তাদের নির্জনবাদী অবিচলিত রাজ্যগুলির চারপাশে ওঠানামা করে। ফলস্বরূপ, ঝুঁকি প্রিমিয়া শূন্য হয়, কোন ধরণের বিন্দুটিকে অস্বীকার করে।

একটি সমাধান হ'ল উচ্চ-অর্ডার পার্টেরটুথ পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা (ধ্রুবক ঝুঁকি প্রিমিয়া পেতে ২ য় আদেশ, সময়-পরিবর্তিত প্রিমিয়ার জন্য তৃতীয় আদেশ)। যদি আপনি যেভাবেই মডেলটিকে সংখ্যাসূচকভাবে সমাধান করতে চান তবে বিদ্যমান সফ্টওয়্যার (উদাহরণস্বরূপ ডাইনারে) দিয়ে এটি করা সহজ (এই ক্ষেত্রে ম্যানুয়ালি লিনিয়ারাইজ করার দরকার নেই)। পরিবর্তে যদি বিশ্লেষণাত্মক (আনুমানিক) সমাধানটিকে অগ্রাধিকার দেওয়া হয় তবে স্বাভাবিক উপায় হ'ল পরিমাণের গতিবিদ্যা (যেমন ব্যবহারের বৃদ্ধি) লাইনারাইজ করা, তবে বনসাল এবং ইয়ারন (2004) এর মতো লগইনরমালিটি অনুমান ব্যবহার করে প্রত্যাশাগুলি গণনা করে সরাসরি ইউলারের সমীকরণ থেকে সম্পত্তির দাম অর্জন করুন ।

উদাহরণস্বরূপ, যদি ছোট হাতের অক্ষরগুলি লগ হয়, তবে সাধারণ এলিউর সমীকরণটি আবার লিখতে পারে

1 = E_{t} [\exp (m_{t + 1} + r_{t + 1})]

$1 = E_t [\exp(m_{t+1} + r_{t+1})]$

$m_{t+1},r_{t+1}$

\begin{matrix} (1) & 0 = E_{t} [m_{t + 1}] + E_{t} [r_{t + 1}] + \frac{1}{2} {V a r_{t} [m_{t + 1}] + V a r_{t} [r_{t + 1}] + 2 C o v_{t} [m_{t + 1}, r_{t + 1}]} \end{matrix}

$0 = E_t[m_{t+1}] + E_t[r_{t+1}] + \frac{1}{2} \left\{ Var_t[m_{t+1}] + Var_t[r_{t+1}] + 2 Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}] \right\} \tag{1}$

$\exp(-r^f_t) = E_t[\exp(m_{t+1})]$

r_{t}^{f} = - E_{t} [m_{t + 1}] - \frac{1}{2} V a r_{t} [m_{t + 1}]

$r^f_t = -E_t[m_{t+1}] - \frac{1}{2} Var_t[m_{t+1}]$

এবং এইভাবে আমাদের থাকতে হবে

E_{t} [r_{t + 1}] - r_{t}^{f} + \frac{1}{2} V a r_{t} [r_{t + 1}] = C o v_{t} [m_{t + 1}, r_{t + 1}]

$E_t[r_{t+1}] - r^f_t + \frac{1}{2}Var_t[r_{t+1}] = Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}]$

প্রকৃতপক্ষে সম্পদের দামগুলি গণনা করতে, এক তখন

কিছু স্টেট ভেরিয়েবল এবং শকগুলির লিনিয়ার ফাংশন হিসাবে লগ-এসডিএফ প্রকাশ করুন (যেমন সিআরএর ক্ষেত্রে লগ ব্যবহারের বৃদ্ধি)
লগ লভ্যাংশ-দাম অনুপাত (ক্যাম্পবেল-শিলার আনুমানিকতা) এর ক্ষেত্রে লিনিয়ারাইজ রিটার্ন, এর পরিবর্তে (1)।
রাষ্ট্রের ভেরিয়েবলগুলিতে লিনিয়ার হিসাবে লগ ডি / পি অনুপাত প্রকাশ করুন, তারপরে এটির সমাধান পাওয়ার জন্য নির্ধারিত সহগের পদ্ধতিটি ব্যবহার করুন যা সন্তুষ্ট হয় (1)।

অনুশীলনে এটি কিছুটা জটিল (বিশেষত ইজেডের পছন্দসমূহের সাথে, যখন এসডিএফ প্রবেশ করে বাজারের রিটার্ন অর্জনের জন্য প্রথমে পদ্ধতির ব্যবহার করতে হবে, তারপরে অন্যান্য রিটার্নের জন্য দ্বিতীয়বার), তবে আরও বিশদ পাওয়া যাবে যেমন লিঙ্কযুক্ত বনসাল এবং ইয়ারনে কাগজ।

— ivansml
সূত্র

1

যথাযথভাবে। দেখে মনে হচ্ছে যে এই থ্রেডে বিভ্রান্তি এ থেকে এসেছিল যে সম্পত্তির মূল্য নির্ধারণের জন্য একটি ইউলারের সমীকরণের প্রথম অর্ডারে প্রায় কোনও ঝুঁকি প্রিমিয়াম নেই। (এসডিএফ এবং রিটার্নের মধ্যে সহজাততা অবশ্যই সহজাতভাবে দ্বিতীয় আদেশ)) এটি পরিষ্কার করার জন্য ধন্যবাদ।

— নামমাত্র অনমনীয়