মার্শালিয়ানদের সন্ধান করা বিভিন্ন ক্ষমতা সহ লিওন্টিফ উত্পাদন ফাংশনের জন্য দাবি করে

3

একটি অনুশীলন সমস্যা সমাধানের চেষ্টা করা, নিশ্চিত না যে আমি সঠিক দিকে যাচ্ছি যেহেতু আমার সমাধানটি বেশ অগোছালো বলে মনে হচ্ছে। নিম্নলিখিত ইউটিলিটি ফাংশন দেওয়া,

$u(x,y)=min\{x^{1/2},2y\}$ , Marshallian দাবি এটি।

আমার উত্তর:

যেহেতু লিয়নটিফ নিখুঁত সম্পূরক সমূহ হল, ক্ষেত্রে যে হতে হবে $x^{1/2}=2y$ , একটি বাজেট বাধ্যতা এই বদলে নিম্নলিখিত উৎপাদ:

, যেখানে ডাব্লু মোট আয়। টেকিং এবং এই উৎপাদনের বর্গ $p_x \times x + p_y \times y = w$ $x^{1/2}=2y$ $x=4y^2$ । এটিকে বাধা হিসাবে বজায় করা হবে:

, এই মুহুর্তে আমি চতুর্ভুজ সূত্র প্রয়োগ করেছি এবং y এর জন্য ডিমান্ড ফাংশন নীচে পেয়েছি, $p_x \times 4y^2 + p_y \times y = w$

Y = \frac{- {পি}_{Y} \pm \sqrt{{পি}_{Y}^{2} + + 16 {পি}_{এক্স} W}}{8 {পি}_{এক্স}}

$y = \frac{-p_y \pm \sqrt{p_y^2 + 16 p_x w}}{8p_x}$

এটি আমার কাছে অগোছালো মনে হচ্ছে, আমি অনুমান করি যে আমি চতুর্ভুজ বিয়োগের দিকটি বাতিল করতে পারব বলে মনে হচ্ছে যে এটি নেতিবাচক। এমনকি যদি কিছুটা নিশ্চিত হয়ে যায় যে এটি সঠিক পদ্ধতির প্রশংসা হবে।

ধন্যবাদ!

microeconomics

— jbrau
সূত্র

আপনি এড়িয়ে যেতে পারেন যে y নেতিবাচক কারণ দুর্লভ সামগ্রীর জন্য দামগুলি ইতিবাচক। অন্যথায় তারা দুর্লভ হবে না। তারা মুক্ত হবে। এগুলি শূন্য বলেও আপনি রায় দিতে পারেন কারণ তারা যদি হয় তবে শুরু করার সাথে কোনও সমস্যা হবে না।

— টবি

আপনি একটি উত্তর গ্রহণ (কোন) গ্রহণ বিবেচনা করেছেন?

— লুচোনাচো

1

অমিত যেমন বলেছিলেন, আপনার উত্তরটি সঠিক। টবি যেমন বলেছিল, আপনি নেতিবাচক আউটপুট বাতিল করতে পারেন।

সত্যই উত্তর হিসাবে যুক্ত করার মতো খুব বেশি অন্তর্দৃষ্টি নেই। তবে আমিও মোটামুটি হতবাক হয়েছি যে এ জাতীয় সাধারণ সমস্যা একটি জটিল উত্তর দেয়। দেখা যাচ্ছে যে, উভয় উপাদানগুলির এক্সটেনশন একই হলে আপনি লিনিয়ার চাহিদা (আয়ের উপর) পাবেন get

আরও সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন:

ইউ (এক্স, Y) = সর্বনিম্ন {একটি {এক্স}^{α}, খ Y^{β}}

$U(x,y) = \text{min}\{ax^\alpha,by^\beta\}$

অনুকূলতার প্রয়োজন (অনুকূল মানগুলির জন্য * স্বরলিপি বাদ দেওয়া)

একটি {এক্স}^{α} = খ Y^{β}

$ax^\alpha = by^\beta\$

এর মধ্যে একটিতে বাজেটের সীমাবদ্ধতায় প্রতিস্থাপনের ফলে:

{পি}_{এক্স} এক্স + + {পি}_{Y} {(\frac{একটি}{খ})}^{\frac{1}{β}} {এক্স}^{\frac{α}{β}} = W

$p_x x + p_y \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{\beta}} x^{\frac{\alpha}{\beta}} = w$

$\alpha=\beta$

এক্স = \frac{W}{{পি}_{এক্স} + + {পি}_{Y} {(\frac{একটি}{খ})}^{\frac{1}{α}}}

$x = \frac{w}{p_x + p_y\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{\alpha}}}$

মনে হয় সাধারণ (অব্যাহত) মামলার জন্য একটি বীজগণিত সমাধান উদ্ভূত হতে পারে না, কারণ যে বহুপদী আপনি পেয়েছেন তার অযৌক্তিক ক্ষমতা থাকতে পারে।

— luchonacho
সূত্র

1

$p_x =1$

Y = \frac{- {পি}_{Y}}{8} + + \sqrt{({পি}_{Y} / 8)^{2} + + \frac{1}{4} W}

$y = \frac{-p_y}{8} + {\sqrt{(p_y/8)^2 + \frac14 w}}$

⟹ \frac{\partial Y}{\partial {পি}_{Y}} = - \frac{1}{8} + + \frac{1}{2} \cdot {(({পি}_{Y} / 8)^{2} + + \frac{1}{4} W)}^{- 1 / 2} \cdot \frac{2 {পি}_{Y}}{8^{2}}

$\implies \frac {\partial y}{\partial p_y} = -\frac {1}{8}+ \frac 12\cdot\left((p_y/8)^2 + \frac14 w\right)^{-1/2}\cdot \frac {2p_y}{8^2}$

= - \frac{1}{8} \cdot [1 - {(({পি}_{Y} / 8)^{2} + + \frac{1}{4} W)}^{- 1 / 2} \cdot \frac{{পি}_{Y}}{8}]

$= -\frac 18 \cdot \left[ 1- \left((p_y/8)^2 + \frac14 w\right)^{-1/2}\cdot \frac {p_y}{8}\right]$

এই ডেরাইভেটিভটি নেতিবাচক হওয়ার জন্য, আমরা বন্ধনীগুলির অভ্যর্থনাটিকে ধনাত্মক হতে চাই। সুতরাং আমাদের প্রয়োজন

1 - {(({পি}_{Y} / 8)^{2} + + \frac{1}{4} W)}^{- 1 / 2} \cdot \frac{{পি}_{Y}}{8} > 0

$1- \left((p_y/8)^2 + \frac14 w\right)^{-1/2}\cdot \frac {p_y}{8} > 0$

⟹ 1 > {(({পি}_{Y} / 8)^{2} + + \frac{1}{4} W)}^{- 1 / 2} \cdot \frac{{পি}_{Y}}{8}

$\implies 1> \left((p_y/8)^2 + \frac14 w\right)^{-1/2}\cdot \frac {p_y}{8}$

⟹ {(({পি}_{Y} / 8)^{2} + + \frac{1}{4} W)}^{1 / 2} > \frac{{পি}_{Y}}{8}

$\implies \left((p_y/8)^2 + \frac14 w\right)^{1/2} > \frac {p_y}{8}$

⟹ ({পি}_{Y} / 8)^{2} + + \frac{1}{4} W > ({পি}_{Y} / 8)^{2}

$\implies (p_y/8)^2 + \frac14 w > (p_y/8)^2$

যা সর্বদা ধারণ করে। সুতরাং আমরা দেখতে পাই যে এমনকি এই "অদ্ভুত চেহারা" উত্সাহর ক্রমটি তার "অগোছালো" চাহিদা ফাংশন সহ, চাহিদাযুক্ত পরিমাণের উপর দামের সর্বদা নেতিবাচক প্রভাব প্রতিফলিত করে।

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র