অনুমান করুন $ v = \ alpha + \ beta $ $ বিটা & gt; $ $ I.e. $ v $ হল $ U $ এর ইতিবাচক affine রূপান্তর
$$ \ frac {v (g ^ 1) - v (g ^ 2)} {v (g ^ 2) - v (g ^ 3)} = \ frac {\ alpha + \ beta u (g ^ 1) - \ alpha - \ beta u (g ^ 2)} {\ alpha + \ beta u (g ^ 2) - \ alpha - \ beta u (g ^ 3)} = \ frac {u (g ^ 1) - u ( g ^ 2)} {u (g ^ 2) - u (g ^ 3)} $$
কনভার্স হয় না সত্য কারণ $ v = -u $ এছাড়াও সন্তুষ্ট
$$ \ frac {v (g ^ 1) - v (g ^ 2)} {v (g ^ 2)} - v (g ^ 3)} = \ frac {u (g ^ 1) - u (g ^ 2 )} {u (g ^ 2) - u (g ^ 3)} $$
সমস্ত $ g_1, g_2, g_3 \ in \ mathcal {G} $ এর জন্য।
পরে যোগ করা হয়েছে
উপায় দ্বারা, কথোপকথন সত্য। আমরা এই তথ্যটি প্রদান করেছি যে $ u $ এবং $ v $ উভয় $ $ succsim $ প্রতিনিধিত্ব করে। সুতরাং, $ v = -u $ একটি বৈধ উদাহরণ নয় কারণ তারা উভয় $ \ succsim $ প্রতিনিধিত্ব করতে পারে না।
এখানে বিপরীত প্রমাণ:
যে কোন দুটি লটারি $ বি $ এবং $ w $ যেমন $ u (b) & gt; u (w) $ এবং ফলস্বরূপ, $ v (b) & gt; বনাম (W) $। যে কোনও লটারি $ g \ in \ mathcal {G} $, আমরা জানি যে নিম্নলিখিতগুলি সত্য
$$ \ frac {v (g) - v (w)} {v (w) - v (b)} = \ frac {u (g) - u (w)} {u (w) - u (b) } $$
সুতরাং, $$ v (g) = v (w) + (v (w) - v (b)) \ frac {u (g) - u (w)} {u (w) - u (b)} $ $
অথবা সমানভাবে,
\ eqnarray *} v (g) & amp; শুরু করুন = & amp; v (w) - \ frac {v (w) - v (b)} {u (w) - u (b)} u (w) + \ frac {v (w) - v (b)} {u w) - u (b)} u (g) \\ & amp; = & amp; \ left (\ frac {u (w) v (b) - v (w) u (b)} {u (w) - u (b)} \ right) + \ left (\ frac {v (w) - v (b)} {u (w) - u (b)} \ right) u (g) \ end {eknarray *}
অতএব, $ v = \ alpha + \ beta আপনি $ যেখানে $ \ displaystyle \ alpha = \ frac {u (w) v (b) - v (w) u (b)} {u (w) - u (b) } $ এবং $ \ displaystyle \ beta = \ frac {v (w) - v (b)} {u (w) - u (b)} & gt; 0 $।