স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির নির্মাণ বোঝা

11

আমি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলি নীচের উপায়ে মডেলিং / নির্মিত দেখেছি।

সম্ভাব্যতা স্থান বিবেচনা করুন দিন (পরিমাপযোগ্য) রূপান্তর হতে যে আমরা নমুনা বিন্দু বিবর্তন মডেল ব্যবহার সময়ের। এছাড়াও, দিন হতে র্যান্ডম ভেক্টর । তারপর, সম্ভাব্যতার সূত্রাবলি প্রক্রিয়া $(\Omega, \mathcal F, Pr)$ $\mathbb S$ $\mathbb S: \Omega \rightarrow \Omega$ $\omega$ $X$ $X: \Omega \rightarrow \mathbb R^n$ $\{ X_t: t=0,1,...\}$ বা এর সূত্র ধরে পর্যবেক্ষণের ক্রম মডেল করতে ব্যবহৃত হয় $X_t(\omega) = X[\mathbb S^t(\omega)]$ $X_t = X \circ \mathbb S^t.$

আমি নমুনা পয়েন্ট কিভাবে বুঝতে হবে এবং রূপান্তরের এই নির্মাণ? (গেল নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে শক একটি ক্রম ভালো কিছু হতে?) $\omega \in \Omega$ $\mathbb S$ $\omega$

আরও সংক্ষিপ্ততার জন্য, আমি এই স্বরলিপিটিতে এই দুটি প্রক্রিয়াটি কীভাবে লিখব?

প্রক্রিয়া 1: যেখানে ।

\begin{matrix} (1) & X_{t + 1} = ρ X_{t} + ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \rho X_t + \varepsilon_{t+1} \tag{1}$

X_{0} = 0

$X_0 = 0$

প্রক্রিয়া 2:

\begin{matrix} (2) & X_{t + 1} = ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \varepsilon_{t+1} \tag{2}$

— jmbejara
সূত্র

4

আপনি যে নির্মাণটি বর্ণনা করেছেন এটি সম্পূর্ণ সাধারণ নয়। আসলে এটি কঠোরভাবে স্থির সময় সিরিজের বৈশিষ্ট্যযুক্ত। আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে এটি শিফট-ইনগ্রেন্টেন্ট। এই অপারেটর মূলত একটি শিফট অপারেটর। $S$

তুলনা করার জন্য, এখানে এর সাধারণ সংজ্ঞাটি দেওয়া যাক, পৃথক সময়, প্রক্রিয়াগুলি বলুন:

সংজ্ঞা একটি সম্ভাব্যতার সূত্রাবলি প্রক্রিয়া একটি ক্রম একটি সম্ভাব্যতা স্থান Borel পরিমাপযোগ্য মানচিত্র । $\{ X_t \}$ $( \Omega, \mathcal{F}, \mu )$

এখন আপনি যা বর্ণনা করছেন তার জন্য আপনার কাছে একটি স্থির বোরেল পরিমাপযোগ্য মানচিত্র । এটি অন্তর্নিহিত পরিমাপ যা অনুসারে বিকশিত হচ্ছে । মানচিত্র উপর সংঘটিত একটি নতুন "ধাক্কা এগিয়ে পরিমাপ" (পরিমাপ-তত্ত্বীয় বাচনে) শুধু preimages গ্রহণ করে: একটি পরিমাপ সংজ্ঞায়িত দ্বারা $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ $S$ $S$ $\Omega$ $\mu_S$

A \in F \overset{μ_{S}}{\mapsto} P r (S^{- 1} (A)) .

$A \in \mathcal{F} \stackrel{\mu_S}{\mapsto} Pr(S^{-1}(A)).$

$X: ( \Omega, \mathcal{F}, \mu_S) \rightarrow \mathbb{R}^n$ $X \circ S$ $\mathbb{R}^n$ $S^t$ $t$

$\omega$ $( \Omega, \mathcal{F}, Pr)$ $X$ $S$

$C[0, \infty)$ $\omega$ $\Omega$

$\Omega$ $\mathcal{F}$ $\sigma$ $Pr$ $Pr$

রেফারেন্স একনোমেট্রিশিয়ানদের জন্য হোয়াইট অ্যাসেম্পটোটিক থিওরিতে কঠোরভাবে স্থায়ী স্টেশন টাইম সিরিজের শিফ্ট দ্বারা এই বৈশিষ্ট্য / নির্মাণের কথা বলা হয়েছে ।

— মাইকেল
সূত্র

S

$\mathbb S$

P r (A) = P (S^{- 1} (A))

$Pr(A) = P(\mathbb S^{-1}(A))$

A \in F

$A \in \mathcal F$

S

$\mathbb S$

1

Ω

$\Omega$

Π R

$\Pi \mathbb{R}$

S

$S$

1

$\omega$

$\epsilon_t$

$\omega \in R,$ $S(\omega) = \omega,$ $X(S^t(\omega)) = S^t(\omega).$

প্রথম উদাহরণটি প্রথমটির একটি বিশদ বিবরণ:

$\omega \in R^2,$ $S((\omega_1,\omega_2)) = (\rho \cdot \omega_1 + \omega_2,\omega_2),$ $X(S^t(\omega)) = (S^t(\omega))_1.$

যেমনটি আমরা দেখেছি, অপারেশন এস নিজেই বরং অস্পষ্ট এবং যুক্তিযুক্তভাবে ব্যাখ্যা করার জন্য পৃথক। তবে লক্ষণীয় বিষয়টি হ'ল এটি রূপান্তর সংরক্ষণের পরিমাপের সংজ্ঞা দেয় এবং এর অধীনে একটি চিত্র গ্রহণ করা একই পরিমাপের সাথে সেটটি উত্পাদন করে। সুতরাং এই ফাংশন গতিশীলতার পরিমাপ আমাদের রাজ্যের স্পেস সময়ে।

— নিকিতা টোরোপভ
সূত্র

1

$\mathbb{S}$ $\omega$ $X(\omega)$ $\omega$ $\mathbb{S}$ $X$ $\{X_t\}_{t=0}^\infty$

— প্যাট ডব্লিউ।
সূত্র