মনোপলিগুলি কেবল একটি গাণিতিক ভুল বোঝাবুঝি

Question

একটি সামান্য হেড-স্ক্র্যাচার (এবং কেন আমাদের স্বরলিপি দিয়ে সতর্ক হওয়া উচিত) এর একটি ভাল উদাহরণ।

একচেটিয়া সর্বাধিক লাভের বিষয়টি বিবেচনা করুন, এটি দামের চেয়ে বেশি সমাধান করে

$$\max \pi = PQ(P) - C(Q(P)) \tag{1}$$

রুটিন পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করুন ( এই পোস্টটি দেখুন )

আমরা গুরুত্বপূর্ণ ফলাফলটিতে পৌঁছেছি যে, মুনাফা সর্বাধিকীকরণের মূল্যে, দামের স্থিতিস্থাপকতা নিখুঁত পদে এর চেয়ে বেশি বা বীজগণিত পদে এর চেয়ে কম হওয়া উচিত । যথা আমরা লাভ-সর্বাধিক দামে$1$$-1$

$$\eta^* = \frac {\partial Q }{ \partial P}\cdot \frac {P}{Q} <-1 \Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P <-Q$$

$$\Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q <0 \tag{2}$$

তবে হ'ল এবং , মোট আয় থেকে প্রাপ্তসুতরাং , প্রান্তিক রাজস্ব এবং আমরা সবে পেয়েছি যে লাভটি সর্বাধিকীকরণ মূল্যে এবং নিরঙ্কুশ শর্তে চেয়ে বেশি স্থিতিস্থাপকতা পেতে আমাদের অবশ্যই।$\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q$$PQ(P)$$PQ(P) = TR$$\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q = MR$$1$$MR^* <0$

তবে আমরা এখন এটিও করেছি যে মুনাফা সর্বাধিকীকরণের পয়েন্টে ।$MR^*=MC^*>0$

সুতরাং কোনও সমাধানের অস্তিত্ব নেই এবং তাই আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে একচেটিয়াগুলি কেবল একটি গাণিতিক ভুল বোঝাবুঝি।

এই স্মারক পোস্টটি লিখতে আমি এখন সমস্যায় পড়েছি (?), আমি আশা করি যে ট্রিকটি কোথায় রয়েছে তা নির্দেশ করার জন্য কেউ সাফ কয়েক হাজার সেকেন্ডের মধ্যে পরিষ্কার উত্তর লিখতে হবে।

Comments

@ অ্যালোকোসপ্যাপাডোপলস, আমার সম্পর্কযুক্ত মন্তব্যটি ক্ষমা করবেন, কিন্তু এই প্রশ্নটি কীভাবে কয়েক ঘন্টার মধ্যে ২২০+ ভিউ পেতে পারে?

— লন্ডন

@ লন্ডন এর শিরোনামের কারণে।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

@ লন্ডন এবং তারপরে, "উত্তপ্ত প্রশ্নগুলি" ত্বরান্বিত প্রভাব রয়েছে। এটি বর্তমানে গণিত সে সাইটে উত্তপ্ত প্রশ্নগুলির সাইডবারে রয়েছে।

— 23 '30 এলেকোস পাপাদোপল্লোস

আমি কি সঠিকভাবে বুঝতে পারি যে আপনি ইচ্ছাকৃতভাবে কৌশল সংক্রান্ত প্রশ্ন পোস্ট করছেন?

— 410 চলে গেছে

@ এনারজি নাম্বার হ্যাঁ, এটি একটি কৌশল প্রশ্ন ছিল, যেমন পোস্টের শেষ বাক্যে লেখা আছে।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

Answer 1

$PQ(P)=TR$ , মোট রাজস্ব।

$\frac{∂Q}{∂P}P+Q$ ডেরিভেটিভ হয় থেকে সম্মান সঙ্গে ।$PQ(P)$ $P$

$MR$ , প্রান্তিক আয়, ডেরিভেটিভ হয় থেকে সম্মান সঙ্গে ।$TR$ $Q$

সুতরাং সাধারণভাবে$\frac{∂Q}{∂P}P+Q \neq MR$

Comments

এটি নিখুঁত "কয়েক-ডজন-সেকেন্ড-অনুরোধ হিসাবে" উত্তর!

— এলেকোস পাপাদোপল্লোস

অ্যালেকোসপ্যাপাডোপ্লোস আপনাকে ধন্যবাদ (মূলত সঠিক সময়ে লগ ইন করার জন্য আমার ভাগ্য))

— অ্যাডাম বেইলি

Answer 2

@ অ্যাডামবাইলে টু দ্য-পয়েন্ট উত্তরের পরিপূরক হিসাবে, এই পোস্টের উদ্দেশ্যটি ছিল আগ্রহী পাঠকদের আমাদের চিন্তায় সিদ্ধান্ত-পরিবর্তনশীলগুলির পরিবর্তনের পরিণতি সম্পর্কে সচেতন করা।

আমরা ডিমান্ডকে "পরিমাণের উপর নির্ভরশীল দাম" বা "দামের উপর নির্ভর করে পরিমাণ" হিসাবে ভাবতে অভ্যস্ত। তবে উত্পাদন ব্যয়ের দিক থেকে আমরা স্বয়ংক্রিয়ভাবে দামের উপর নির্ভর করে পরিমাণের উপর নির্ভর করে ব্যয়টি ভাবি।

অতএব, স্বরলিপি সহ কিছুটা ক্লান্তিকরভাবে স্পষ্ট হওয়াও অর্থ প্রদান করে (গতিশীল অপ্টিমাইজেশানের উপর ছেলেরা জিজ্ঞাসা করুন, উদাহরণস্বরূপ কপুটো বই )। সুনির্দিষ্ট উদাহরণে, , , প্রতীকগুলি সিদ্ধান্তের পরিবর্তনশীলটি প্রকাশ করে না এবং এটিই যেখানে ব্যবহারের ভিত্তি ছিল। তবে, আমরা লিখেছি$TR$$MR$$MC$

$$\max \pi = TR[Q(P)] - C[Q(P)]$$

আমরা স্পষ্টভাবে ইঙ্গিত দেব যে আমাদের চূড়ান্ত সিদ্ধান্তের পরিবর্তনশীল দাম, এবং তাই

$$f.o.c: \;\;\;MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} - MC(Q)\frac {\partial Q}{\partial P} =0$$

$$\implies (MR(Q) - MC(Q))\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} =0 \implies MR(Q) = MC(Q)$$

এছাড়াও আমরা স্পষ্টভাবে এটি দেখতে হবে

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} = \frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q$$

এবং যাতে চাহিদা মূল্যের স্থিতিস্থাপকতার উপর নির্ভর করে

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(P) = Q\frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q < 0 \implies MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} < 0 \implies MR(Q) >0$$

(যেহেতু )। সুতরাং সর্বোত্তম পয়েন্টে, পরিমাণের ক্ষেত্রে প্রান্তিক আয় ইতিবাচক হওয়া উচিত, তবে দামের ক্ষেত্রে প্রান্তিক আয় অবশ্যই নেতিবাচক হওয়া উচিত।$\frac {\partial Q}{\partial P} <0$

Comments

আমি এই জাতীয় কৌশল এবং / বা ছোট ধাঁধা পছন্দ করি। হয়তো আমাদের মাঝে মাঝে একবার এই জাতীয় কিছু চিন্তা করা উচিত। একজন যে কত দ্রুত হতে পারে তার নীচে একটি আবদ্ধতা রয়েছে, যাতে পোস্টের কোনও উত্তর না থাকাকালীন প্রত্যেকেই ভাবতে পারে।

— সমুদ্রের এক বৃদ্ধ।

@Anoldmaninthesea। আপনি যদি ধাঁধা পছন্দ করেন তবে এই পোস্টে আমার উত্তরটি দেখুন, math.stackexchange.com/q/490851/87400 আমাকে বলতে হবে যে আমি এটির জন্য সত্যিই গর্বিত।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

আপনি ক্যাপুটো বই সম্পর্কে কি মনে করেন? আপনি এটি সুপারিশ করেন?

— সমুদ্রের এক বৃদ্ধ।

@Anoldmaninthesea। একেবারে। এটি শুরুতে আপনাকে বাদাম ছড়িয়ে দিতে পারে, এর সমস্ত উন্মাদনা স্বরলিপি এবং বিভিন্ন সম্পর্কের উপস্থিত প্রতিটি ফাংশনের সমস্ত যুক্তি বিশদভাবে লেখার জন্য এটির দৃistent়তার সাথে, তবে আপনি যদি তার সাথে পরিচিত হন তবে আপনি বুঝতে পারবেন যে এটি কীভাবে সমস্ত কিছু পরিষ্কারভাবে বুঝতে সহায়তা করে । এই বইয়ের কারণে আমি প্রথমবারের মতো হ্যামিল্টন-জ্যাকোবি-বেলম্যান সমীকরণটি বুঝতে পেরেছি।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লো

এখন, আমি অবশ্যই এটি পড়তে হবে। =)

— সমুদ্রের এক বৃদ্ধ।