গ্রাহকের বিবেচনা করুন যার পছন্দগুলি নিম্নলিখিত ইউটিলিটি ফাংশন দ্বারা উপস্থাপিত হতে পারে: $$ u (x_1, x_2) = \ dfrac {x_2} {(1 + x_1) ^ 2}। $$
- এজেন্টের আয় $ Y = 5 $ অনুমান করুন। ভাল $ 1 ডলারের এক ইউনিটের মূল্য $ p_1 = 1 $। $ 1 $ ভাল এজেন্টের প্রতিটি ইউনিটের জন্য, তিনি $ P_2 = 1 $ এর অতিরিক্ত মূল্যে ভাল $ 2 ডলারের এক ইউনিট পর্যন্ত কিনতে পারবেন। অন্য কথায়, ভাল $ 2 ডলারের এক ইউনিট কিনতে এজেন্ট প্রথমে $ 1 ডলারের এক ইউনিট কিনে নিতে হবে। এজেন্টটি সে যা কিনে সেগুলি গ্রাস করবে। এই তথ্য ব্যবহার করে, সম্ভাব্য সেট স্কেচ। এটা কি বহিঃপ্রকাশ? ইউটিলিটি maximizing বান্ডিল derive।
- আপনার প্রশ্নের উত্তর কীভাবে 4. এজেন্টটি যে সমস্ত জিনিস কিনে সেগুলি ব্যবহার করতে না পারলে পরিবর্তন ("বিনামূল্যে নিষ্পত্তি")?
প্রশ্ন 4 জন্য:
ভোক্তা ব্যবহারযোগ্যতা maximization সমস্যা হয়:
\ eqnarray *} \ max_ {x_1, x_2} শুরু করুন & amp; \ \ \ frac {x_2} {(1 + x_1) ^ 2} \\ \ text {s.t।} & amp; \ \ x_1 + x_2 \ leq 5 \\ \ text {এবং} & amp; \ \ 0 \ leq x_2 \ leq x_1 \ end {eqnarray *}
এখানে কিছু উদাসীন সংকোচন সহ ভোক্তাদের সীমাবদ্ধতা সেট রয়েছে:
পর্যবেক্ষণ করুন যে সংকোচ সেটটি বহনযোগ্য এবং গ্রাহক যথোপযুক্ত সৃষ্টিতে তার সমস্ত আয় ব্যয় করে না। তার সর্বোত্তম খরচ বান্ডিল $ (x_1, x_2) = (1,1) $।
প্রশ্ন 5 জন্য:
গ্রাহকের উপযোজন সর্বাধিক সমস্যা (বিনামূল্যে নিষ্পত্তি সহ):
\ eqnarray *} \ max_ {x_1, x_2, b_1, b_2} শুরু করুন & amp; \ \ \ frac {x_2} {(1 + x_1) ^ 2} \\ \ text {s.t।} & amp; \ \ b_1 + b_2 \ leq 5 \\ & amp; \ \ 0 \ leq b_2 \ leq b_1 \\ \ text {এবং} & amp; \ \ 0 \ leq x_1 \ leq b_1, 0 \ leq x_2 \ leq b_2 \ end {eknarray *}
এখানে $ b_1 $, $ b_2 $ ভোক্তাদের দ্বারা কেনা দুটি পণ্যগুলির পরিমাণ বোঝায়, এবং $ x_1 $, $ x_2 $ খরচ করা পরিমাণটি বোঝায়। এই ক্ষেত্রে, ভোক্তা যতটা সম্ভব $ 2 $ (b_2) মার্কিন ডলার কিনে তার পরিমাণের পরিমাণ 2 $ (x_2) $ ব্যবহার করে তার পণ্যটির সর্বোচ্চ চেষ্টা এবং সর্বোচ্চ চেষ্টা করবে। স্পষ্টতই, এই ইউটিলিটি maximization সমস্যা সমাধান
$ b_1 = b_2 = x_2 = 2.5, x_1 = 0 $।
প্রশ্ন 4 এর জন্য, এখানে Lagrangian পদ্ধতি ব্যবহার করে অপ্টিমাইজেশান সমস্যা সমাধান করার একটি উপায়:
ভোক্তাদের ইউটিলিটি maximization সমস্যা দেওয়া:
\ eqnarray *} \ max_ {x_1, x_2} শুরু করুন & amp; \ \ \ frac {x_2} {(1 + x_1) ^ 2} \\ \ text {s.t।} & amp; \ \ x_1 + x_2 \ leq 5 \\ \ text {এবং} & amp; \ \ 0 \ leq x_2 \ leq x_1 \ end {eqnarray *}
নিম্নরূপ আমরা Lagrangian সেট আপ:
$ \ mathcal {L} (x_1, x_2) = \ dfrac {x_2} {(1 + x_1) ^ 2} - \ lambda (x_1 + x_2-5) + \ mu_1 (x_1-x_2) + \ mu_2x_2 $
অনুকূলতার জন্য প্রয়োজনীয় শর্তাবলী নিম্নরূপ:
$ \ dfrac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial x_1} = \ dfrac {-2x_2} {(1 + x_1) ^ 3} - \ lambda + \ mu_1 = 0 $
$ \ dfrac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial x_2} = \ dfrac {1} {(1 + x_1) ^ 2} - \ lambda - \ mu_1 + \ mu_2 = 0 $
$ x_1 + x_2 \ leq 5 $, $ \ lambda \ geq 0 $ এবং $ \ lambda (x_1 + x_2-5) = 0 $
$ x_1 \ geq x_2 $, $ \ mu_1 \ geq 0 $ এবং $ \ mu_1 (x_1-x_2) = 0 $
$ x_2 \ geq 0 $, $ \ mu_2 \ geq 0 $ এবং $ \ mu_2x_2 = 0 $
উপরে সিস্টেম সমাধান, আমরা পেতে
$ x_1 = 1 $, $ x_2 = 1 $, $ \ mu_1 = \ frac {1} {4} $, $ \ mu_2 = 0 $, $ \ lambda = $ $
বিকল্পভাবে Q4 এর জন্য, সমস্যাটিকে একটি একক পরিবর্তনশীল অপ্টিমাইজেশান সমস্যা রূপান্তর করা যেতে পারে। এই কারণেই ব্যক্তিটি সর্বদা সমানভাবে $ x_1 $ এবং $ x_2 $ সমান পরিমাণে খরচ করবে। $ X_2 = x_1 $ উপাদানের উপরিভাগ:
\ eqnarray *} \ max_ {x_2} শুরু করুন & amp; \ \ \ frac {x_2} {(1 + x_2) ^ 2} \\ \ text {s.t।} & amp; \ \ 0 \ leq x_2 \ leq 2.5 \ end {eknarray *}
$ \ Dfrac {x_2} {{1 + x_2) ^ 2} $ $ বিনিময় করার সাথে সাথে নিম্নলিখিত প্রয়োজনীয় শর্তটি দেয়
$ \ dfrac {(1 + x_2) ^ 2 - 2 (1 + x_2) x_2} {(1 + x_2) ^ 4} = \ dfrac {1-x_2 ^ 2} {(1 + x_2) ^ 4} = 0 $
যা $ x_2 = 1 $ এবং $ x_1 = 1 $ এর সংশ্লিষ্ট মান উত্পন্ন করে।
