"হেটারোসসেসিস্ট্যাসিটির উপস্থিতিতে, OLS অনুমানকারীরা নির্দোষ কিন্তু অক্ষম"
দেখানো হচ্ছে পক্ষপাতশূন্য অংশ তুলনামূলকভাবে সহজ। কিছু লেখক ব্যাখ্যা করেছেন অদক্ষতা কম বর্গাকার অনুমানকারী নতুন বৈকল্পিক সাহায্যে। যাইহোক, আমি ওয়েটেড কম বর্গাকার অনুমানকারী ($ \ hat {\ beta ^ *} $) এর বৈকল্পিক ব্যবহার করে একই জিনিস দেখানোর জন্য বলা হয়েছিল। আমি নিম্নলিখিত ভাবে এগিয়ে চলেছি: -
মডেলটি বিবেচনা করুন, $ Y_t = \ alpha + \ beta X_t + u_t $ যেখানে $ u_t $ হেরোসোসেডাস্টিক।
অনুমান করুন $ {\ sigma _u} ^ 2 $ হোমোসেডাস্টাস্টিক অনুমিতি অনুসারে $ u_t $ এর ধ্রুবক বৈকল্পিক।
যাক $ var (u_t) = {\ sigma _t} ^ 2 $ হেরোটোসডাস্টাস্টিক ধারণার অধীন ব্যাঘাতের বৈসাদৃশ্য হতে দিন।
বিশেষভাবে, অনুমান করুন $ {\ sigma _t} ^ 2 = k_t {\ sigma _u} ^ 2 $, $ k_t $ কিছু অ স্টোকাস্টিক স্থিতিশীল ওজন।
এখন, বিবর্তন ফর্ম উপরের মডেল বিবেচনা করুন
$ y_t = \ beta x_t + u_t $, যেখানে $ y_t = Y_t-E (Y) $, $ x_t = X_t-E (X) $
$ \ রাইটারো \ frac {y_t} {k_t} = \ beta \ frac {x_t} {k_t} + \ frac {u_t} {k_t} $
$ \ রাইটারো \ frac {y_t} {k_t} = \ beta \ frac {x_t} {k_t} + v_t $
যেখানে $ v_t $ ধ্রুবক বৈকল্পিক $ {\ sigma _u} ^ 2 $ আছে
এখন, ওজনযুক্ত কম বর্গাকার অনুমানকারী $ \ hat {\ beta ^ *} = \ frac {\ sum \ frac {y_t} {k_t} \ frac {x_t} {k_t}} {\ sum \ frac {{x_t} ^ 2} {{k_t} ^ 2}} $
যা অবশেষে আমাদের $ বর্ষ (\ hat {\ beta ^ *}) = \ frac {{\ sigma _u} ^ 2} {\ sum \ frac {{x_t} ^ 2} {{k_t} ^ 2}} $ দেবে
এখন, হেটারোসেসেডাস্টিক ধারণার অধীনে আমাদের $ বর্ষ (\ hat {\ beta}) = \ frac {\ sum {x_t} ^ 2 {\ sigma_t} ^ 2} {(\ sum {x_t} ^ 2) ^ 2} $
এখন, $$ \ frac {var (\ hat {\ beta ^ *})} {var (\ hat {\ beta})} = \ frac {{\ sigma _u} ^ 2} {\ sum \ frac {{x_t } ^ 2} {{k_t} ^ 2}} \ times \ frac {(\ sum {x_t} ^ 2) ^ 2} {\ sum {x_t} ^ 2 {\ sigma_t} ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Var (\ hat {\ beta ^ *}}}} {Var (\ hat {\ beta})} = \ frac {{\ sigma _u} ^ 2} {\ sum \ frac {{x_t } ^ 2} {{k_t} ^ 2}} \ times \ frac {(\ sum {x_t} ^ 2) ^ 2} {\ sum {x_t} ^ 2 {k_t \ sigma_u} ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Var (\ hat {\ beta ^ *}}}} {Var (\ hat {\ beta})} = \ frac {(\ sum {x_t} ^ 2) ^ 2} {\ sum \ frac {{x_t} ^ 2} {{k_t} ^ 2} \ sum {x_t} ^ 2 {k_t}} $$
যাইহোক, আমি এগিয়ে যেতে পারার আগে, আমার প্রশিক্ষক আমাকে আবার চেক করার জন্য জিজ্ঞাসা। তিনি জোর দিয়েছিলেন যে আমি $ \ frac {\ sum (a_t b_t) ^ 2} {\ sum {a_t} ^ 2 {b_t} ^ 2} $ এর মতো কিছু পেতে পারি, যাতে আমি কাউচি-শাওয়ার্ট অসমতা ব্যবহার করতে পারি যার ফলে $ var (\ টুপি {\ বিটা ^ *}) করুন & lt; var (\ টুপি {\ বিটা}) $। এই অবশেষে প্রমাণ করবে * অযোগ্যতা * অংশ।
যেহেতু আমি সেই ফর্মটি পাচ্ছি না, আমি মনে করি আমি ভুল করেছি। যদি কেউ এটা নির্দেশ করতে পারেন আমি খুশি হবে।