অবশিষ্টাংশ এবং ম্যাট্রিক্স ক্যালকুলাসের সমষ্টি (ধাপে ধাপে)

Question

1. ম্যাট্রিক্স ফর্ম অবশিষ্টাংশ সমষ্টি লিখুন।

প্রচেষ্টা: $ (yX \ boldsymbol {\ beta}) ^ টি (YX \ boldsymbol {\ beta}) = y ^ Ty- \ boldsymbol {\ beta} ^ TX ^ Ty-y ^ TX \ boldsymbol {\ beta} + \ boldsymbol {\ beta} ^ TX ^ TX \ boldsymbol {\ beta} = y ^ Ty-2y ^ TX \ boldsymbol {\ beta} + \ boldsymbol {\ beta} ^ TX ^ TX \ boldsymbol {\ beta}। $

2. এইটিকে ছোট করুন এবং যাচাই করুন যে $ \ hat {\ boldsymbol {\ beta}} = (এক্স ^ TX) ^ {- 1} এক্স ^ টাই $।

প্রচেষ্টা: $ \ frac {\ আংশিক এসএসআর (\ boldsymbol {\ beta})} {\ partial \ boldsymbol {\ beta}} = -2y ^ TX + 2X ^ TX \ boldsymbol {\ beta} = 0 \ rightarrow X ^ TX \ boldsymbol {\ beta} = y ^ TX \ rightarrow \ hat {\ boldsymbol {\ beta}} = (এক্স ^ TX) ^ {- 1} y ^ TX = (এক্স ^ TX) ^ {- 1} এক্স ^ টাই । $

আমি ম্যাট্রিক্স ক্যালকুলাস অধ্যয়ন না, তাই আমি গণনা ধাপ সম্পর্কে একটু বিভ্রান্ত am। প্রথম সমস্যাতে, আপনি আমাকে দেখান যে কোন সমীকরণ সমীকরণের প্রথম সমতাটির জন্য ব্যবহৃত হয়। এবং দ্বিতীয় সমস্যা, আমি বিভেদ প্রথম ধাপ সম্পর্কে একটু বিভ্রান্ত।

আপনি পদক্ষেপ দ্বারা গণনা ধাপে যদি আমি সত্যিই কৃতজ্ঞ।

Answer 1

$ \ Mathbf A, \ mathbf B $ $ $ m \ বার n $ ম্যাট্রিক্স (অথবা ভেক্টর হয় $ এম $ বা $ n $ $ $ $ 1) যাক, \ শুরু {সারিবদ্ধ} (\ mathbf A + \ mathbf B) ^ টি & amp; = \ mathbf A ^ T + \ mathbf B ^ T \ tag {1} \\ (\ mathbf একটি \ mathbf বি) ^ টি & amp; = \ mathbf বি ^ টি \ mathbf A ^ টি \ tag {2} \ শেষ {সারিবদ্ধ}

সুতরাং, \ শুরু {সারিবদ্ধ} (\ mathbf y- \ mathbf x \ beta) ^ টি (\ mathbf y- \ mathbf x \ beta) & amp; = (\ mathbf y ^ t - (\ mathbf x \ beta) ^ টি) (\ mathbf y- \ mathbf এক্স \ বিটা) \\ & amp; = (\ mathbf y ^ টি- \ beta ^ টি \ mathbf x ^ টি) (\ mathbf y- \ mathbf x \ beta) \\ & amp; = \ mathbf y ^ T (\ mathbf y- \ mathbf x \ beta) - \ beta ^ T \ mathbf x ^ টি (\ mathbf y- \ mathbf x \ beta) \\ & amp; = \ mathbf y ^ টি \ mathbf y- \ mathbf y ^ টি \ mathbf x \ beta- \ beta ^ টি \ mathbf x ^ টি \ mathbf y + \ beta ^ টি \ mathbf x ^ টি \ mathbf x \ beta \ \ & amp; = \ mathbf y ^ T \ mathbf y-2 \ mathbf y ^ টি \ mathbf x \ beta + \ beta ^ টি \ mathbf x ^ টি \ mathbf x \ beta \ tag {3} \ শেষ {সারিবদ্ধ} যেখানে লাইন 1 $ (1) $ ব্যবহার করে, লাইন 2 $ (2) $ ব্যবহার করে, এবং শেষ লাইন এই অর্থ থেকে আসে যে $ \ mathbf y ^ T \ mathbf এক্স \ বিটা $ এবং $ \ beta ^ T \ mathbf X ^ টি \ mathbf y $ উভয় $ 1 \ times1 $ scalars।

---

$ \ Mathbf a, \ mathbf x $ be $ n \ times $ 1 ভেক্টর এবং $ \ mathbf একটি সমমানের $ n \ বার n $ ম্যাট্রিক্স যাক। ম্যাট্রিক্স ক্যালকুলাস নিম্নলিখিত নিয়ম আছে: \ শুরু {সারিবদ্ধ} \ frac {\ mathrm d \ \ mathbf a ^ টি \ mathbf z} {\ mathrm d \ \ mathbf z} & amp; = \ mathbf a \ tag {4} \\ \ frac {\ mathrm d \ \ mathbf z ^ টি \ mathbf a \ mathbf z} {\ mathrm d \ \ mathbf z} & amp; = 2 \ mathbf a \ mathbf z \ tag {5} \ শেষ {সারিবদ্ধ}

$ \ Mathbf \ beta $ এর সাথে $ {3) $ বিভাজন করার জন্য এইগুলি প্রয়োগ করার জন্য, আমরা প্রথম অর্ডার শর্তটি পাই: \ শুরু {সমীকরণ} -2 \ mathbf x ^ টি \ mathbf y + 2 \ mathbf x ^ টি \ mathbf x \ beta = 0 \ শেষ {সমীকরণ} $ \ বিটা $ জন্য সমাধান, আমরা স্বাভাবিক OLS সূত্র পেতে।

Comments

ধন্যবাদ। আপনি বিভাজন জন্য উল্লিখিত নিয়ম প্রমাণ দেখতে কোন উত্স সুপারিশ করতে পারেন?

— Daeseon

@ সাইহুনকিম ম্যাট্রিক্স ক্যালকুলাসের উইকিপিডিয়া এন্ট্রিটি একটি ভাল শুরু।

— Herr K.