ল্যাংরাগিয়ান মাল্টিপ্লায়ার্স বোঝার জন্য সহায়তা করবেন?

Question

আমি ল্যাঙ্গরজিয়ামের গুণকগুলি বোঝার চেষ্টা করছি এবং অনলাইনে পাওয়া একটি উদাহরণ ব্যবহার করে।

সমস্যা সেট আপ:

ইউটিলিটি ফাংশন with , যেখানে সহ একটি গ্রাহক বিবেচনা করুন । ধরুন এই ভোক্তা সম্পদ রয়েছে এবং দাম । আমাদের দেওয়া হয়েছিল।$u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha}$$\alpha \in (0,1)$$w$$p =(p_x,p_y)$

আমি যে কাজটি করেছি:

আমি তখন বাজেটের সীমাবদ্ধতা সমীকরণটি সংজ্ঞায়িত করেছি: । এরপরে আমি গ্রাহকের সর্বাধিক সমস্যার জন্য একটি সম্পর্কিত ল্যাঙ্গরজিয়ানকে সংজ্ঞায়িত করেছি: । Λ ( x , y , λ ) = x α y 1 - α + λ ( ( x p x + y p y ) - w $w = xp_x + yp_y$$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

আমার প্রশ্ন:

এই সমীকরণটি আমাকে কী করতে দেয়? যদিও আমি ল্যাঙ্গরজিয়ামের গুণকগুলিতে উইকিপিডিয়ায় পৃষ্ঠায় সূত্রটি সেট আপ করেছি, তবে এই সমীকরণটির উদ্দেশ্য কী তা আমার সত্যিই কোনও ধারণা নেই। যেমন আমি বুঝতে পারি না যে প্রদত্ত সমীকরণটি আমাকে কীভাবে আমার ইউটিলিটি ফাংশনটি সর্বাধিক করতে হয় তা নির্ধারণ করতে দেয়।

দ্রষ্টব্য: আমি পদার্থবিজ্ঞানে মাল্টরিভেয়েবল ক্যালকুলাস এবং ল্যাঙ্গরিয়ানদের ( ) সাথে পরিচিত , তবে এই পদ্ধতিটি আমার কাছে নতুন।$L = T -V$

Comments

আপনি যদি এখানে একটি ভাল উত্তর না পান তবে আপনি math.stackex بدل.com এ এটি জিজ্ঞাসা বিবেচনা করতে পারেন! ভাল প্রশ্ন.

— 123

Answer 1

একটি সীমাবদ্ধ অপ্টিমাইজেশন ফাংশন এক বা একাধিক প্রতিবন্ধকতার জন্য একটি উদ্দেশ্য বিষয়কে সর্বাধিক বা কমিয়ে দেয়। আমি যেমন এটি বুঝতে পেরেছি, ল্যাংরিজিয়ান গুণক পন্থাটি একটি সীমিত অপ্টিমাইজেশন সমস্যা (আই) কে একটি নিয়ন্ত্রণহীন অপ্টিমাইজেশান সমস্যা (II) তে রূপান্তরিত করে যেখানে সমস্যা 2 এর সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ মানগুলিও I সমস্যাটির সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ মানসমূহ Additionally অতিরিক্তভাবে, উদ্দেশ্যগত কার্যগুলি সমস্যাগুলি I এবং II একই অনুকূল মান গ্রহণ করে। কৌতুক হ'ল সীমাবদ্ধতাগুলি পৃথকভাবে ব্যবহার না করে সরাসরি উদ্দেশ্যমূলক কার্যে সীমাবদ্ধ করার একটি চতুর উপায়।

আমি ভোক্তার সর্বাধিক সমস্যার জন্য আপনার উপস্থাপনার সাথে একমত: ।$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

এখন আমরা x an y এর সাথে আংশিক ডেরাইভেটিভ নিয়ে থাকি, এগুলি শূন্যের সমান করে সেট করে এবং তারপর x * এবং y * এর সমাধান করি।

$0=\partial\Lambda / \partial x = \alpha x^{\alpha -1 } y^{1-\alpha} + \lambda p_x = (\alpha / x ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_x$

$\Rightarrow -\lambda = (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$0 =\partial\Lambda / \partial y = (1 - \alpha) x^{\alpha} y^{-\alpha} + \lambda p_y = ((1 - \alpha) / y ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_y$

$\Rightarrow -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha} = -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) = ((1- \alpha) / (y p_y))$

$\Rightarrow ( y p_y ) / (1- \alpha) = (x p_x) / \alpha$ (একন 1)

আংশিক ডেরিভেটিভ নিয়ে বাজেটের সীমাবদ্ধতা সমীকরণটি পুনরুদ্ধার করুন ।$\partial\Lambda / \partial \lambda = 0$

$0 = \partial\Lambda / \partial \lambda = xp_x + yp_y - w \Rightarrow xp_x / w + yp_y /w = 1$ (একন 2)

আমাদের কাছে এখন দুটি সমীকরণ এবং দুটি অজানা (x, y) রয়েছে এবং x * এবং y * এর সমাধান করতে পারে।

$\Rightarrow yp_y / w = xp_x/w \cdot (1 / \alpha - 1) = xp_x/w / \alpha - xp_x/w$

$\Rightarrow 1 = yp_y / w + xp_x/w = xp_x/w / \alpha$

$\rightarrow \alpha = xp_x/w$ (ফলাফল 1)

$\Rightarrow \alpha = xp_x/w = 1 - yp_y /w$

$\rightarrow 1-\alpha =yp_y/w$ (ফলাফল 2)

1 এবং 2 ফলাফল কোব-ডগলাস ইউটিলিটি এবং উত্পাদন ফাংশনগুলির জন্য বিখ্যাত ধ্রুবক ব্যয়ের শেয়ারের ফলাফল গঠন করে। যা এক্স * এবং y *: এবং জন্যও স্পষ্টভাবে সমাধান করা যেতে পারে যা এবং মূল সমস্যা উভয়েরই অনুকূল মান।ওয়াই ∗ = ( ১ - α ) ডাব্লু / পি $x^* = \alpha w /p_x$$y^* = (1-\alpha) w /p_y$

Comments

আপনার শেষ বাক্যটির নিরিখে আমরা কেন সমাধান করছি না? আমি স্বীকার করি সাল থেকে মধ্যে অর্ডার (ডিগ্রী ওরফে) 1 , আংশিক ডেরিভেটিভ গ্রহণ অপসারণ যেহেতু এটি ব্যুৎপন্ন হয় স্বাভাবিকভাবে 1 এবং সুতরাং একটি পরিবর্তনশীল হচ্ছে না শেষ। এটা কি ইচ্ছাকৃত? Λ ( x , y , λ ) λ ∂ $\lambda$$\Lambda(x,y,\lambda)$$\lambda$$\frac{\partial \Lambda}{\partial \lambda}$$\lambda$

— স্ট্যান শানপিকে

আমি উত্তরটি প্রসারিত করেছি এবং আশা করি এটি কিছুটা পরিষ্কার করে দিয়েছি। হ্যাঁ, আপনি ব্যবহার করেন, আপনি কীভাবে বাজেট সমীকরণটি পুনরুদ্ধার করেন এবং শেষ পর্যন্ত x এবং y এর সর্বোত্তম মানগুলির সমাধান করেন। তবে আপনি আসলে ল্যাম্বডা পছন্দ করেন না। আপনি কেবল এক্স এবং y বেছে নিতে পারেন। একটি পছন্দের পরিবর্তনশীলের চেয়ে দামের (ছায়ার দাম) মতো শেষ হয়। $\partial \Lambda / \partial \lambda$$\lambda$

— বিকে

এটি এটি পরিষ্কার করে দিয়েছে। স্পষ্ট করার জন্য ধন্যবাদ। আমি এখানে একটি উদাহরণ দিয়ে কাজ করেছি: math.stackexchange.com/questions/674/… তবে কোনওভাবে আসলে সংখ্যাগুলি আমাকে বিভ্রান্ত করেছে। ভেরিয়েবলগুলি আরও বোধগম্য হওয়া দেখে।

— স্ট্যান শানপাইক

@ বি কে আপনি কীভাবে ? $\frac{y p_y}{w}=\frac{x p_x}{w(\alpha - 1)}$

— গণিত

Answer 2

এটি অন্তর্দৃষ্টি জন্য, কঠোরতার জন্য নয় এবং ধরে নেওয়া হয় যে আমরা জানি আপনি কোনভাবে বাধা থেকে বিচ্যুত হতে চান। এখানে এটি সহজ; তাই আমরা Lagrange, ডাকা আপনি ব্যয় নিয়মানুবর্তিতা আপনি, overspend চায় বদলে আরও অনেক কিছু। নিম্নলিখিত পদক্ষেপে সমস্যাটি চিন্তা করুন:$w$

1. আপনি বাইরে গিয়ে পিজ্জা ( ) এবং বিয়ার ( ) গ্রাস করতে চান , এবং আপনার পিতামাতাকে ক্রেডিট কার্ড ধার করতে বলেন।$x$$y$
2. আপনার পিতামাতারা আপনাকে চেনেন, সুতরাং ক্রেডিট কার্ডের সাহায্যে আপনি নিম্নলিখিত সতর্কতাটি পান: আপনি যদি চেয়ে বেশি ব্যয় করেন তবে আমরা আমাদের দুষ্ট প্রতিবেশী মিঃ ল্যাঞ্জরেজকে আপনার আঙ্গুলগুলি ধাক্কা দিতে দেব, প্রতি ডলারে ব্যয় হওয়া mb ইউটিলিটি ইউনিট সরবরাহ করার জন্য।$w$$\lambda$
3. লাগরঙ্গিয়ান তাকান; ( ), বিয়ার ( ) এবং ব্যথা ( ) এর ফাংশন হিসাবে এটি এখন আপনার পেনাল্টির ইউটিলিটি নেট । আপনার দৃষ্টিকোণ থেকে, আপনি কেবলমাত্র প্রদত্ত (যার অর্থ, বিশেষত, যদি খুব ছোট হয় তবে আপনার বাজেটের মোটামুটি ছাড়িয়ে যাওয়ার জন্য মিঃ ল্যাঞ্জ্রেজের কাছ থেকে অল্প সংখ্যক চড় মারা যাবে) justy λ ⋅ ( x p x + y p y - w ) λ $x$$y$$\lambda\cdot(xp_x+yp_y-w)$$\lambda$$\lambda$
4. আপনার পিতামাতার দৃষ্টিকোণ থেকে, তারা এমন সংখ্যায় সামঞ্জস্য করতে চান যা আপনাকে স্বেচ্ছায় ব্যয় করতে পছন্দ করে , মিঃ ল্যাঞ্জ্রেজকে উপসাগর ছেড়ে। ( উচ্চতর করা আপনাকে স্বল্প অর্থের দিকে নিয়ে যায়, আপনি সেই অনুসারে ব্যাখ্যাটি সামঞ্জস্য করতে পারেন))ডাব্লু $\lambda$$w$$\lambda$
5. অবশ্যই আপনি সেই স্তরটি বেছে নেবেন যেখানে অতিরিক্ত খরচ ও জরিমানার বান্ডিল থাকা এবং না থাকা সম্পর্কে আপনি উদাসীন। অতএব ছায়া মূল্য ব্যাখ্যা: হ'ল (আরও স্পষ্টভাবে: প্রথম অর্ডারটি প্রায়) আপনি কতটা দিতে ইচ্ছুক হবেন - আপনার উদ্দেশ্যমূলক কার্য হিসাবে একই ইউনিটে! আপনার বাজেট বৃদ্ধি করতে।$\lambda$

সীমাবদ্ধতার উপর সাইন পরিবর্তন করার পরামর্শ হিসাবে: অবশ্যই এটি গাণিতিকভাবে কাজ করে, তবে আমি নির্দেশের উদ্দেশ্যে এটি খুব কমই ব্যবহার করি; এটিকে যেমন রয়েছে তেমনি রেখে, একটি সীমাবদ্ধতা প্রকাশ করে (যা আপনি পছন্দ করেন না, এটি আপনার ইউটিলিটি হ্রাস করে) করের সমতুল্য (যা আপনি একই কারণে পছন্দ করেন না) । অর্থনৈতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, আপনি কোনও ট্যাক্স দ্বারা বাস্তবায়িত প্রতিবন্ধকতা সম্পর্কে ধারণা পাবেন এবং এটি উদাহরণস্বরূপ পিগুভিয়ান ট্যাক্স অভ্যন্তরীণকরণ (অযাচিত নেতিবাচক) বহিরাগতদের মডেলিংয়ে শিক্ষণীয়।$u-\lambda(xp_x+yp_y-w)$

Answer 3

সীমাবদ্ধতার অধীনে কোনও ফাংশন অনুকূল করতে Lgrange মাল্টিপ্লায়ার ব্যবহার করা একটি দরকারী কৌশল , যদিও শেষ পর্যন্ত এটি অতিরিক্ত অন্তর্দৃষ্টি এবং তথ্য সরবরাহ করে। সাম্য সীমাবদ্ধতার ক্ষেত্রে স্থির, সমস্যা

$$\max_{(x,y)} u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$ $$\text {s.t.} \;\;w = p_xx + p_yy$$

অবশ্যই সরাসরি প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে একটি নিয়ন্ত্রণহীন সমস্যায় রূপান্তরিত হতে পারে:

$$\max_{y} u(x,y) = \left(\frac {w-yp_y}{p_x}\right)^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$

তবে সাধারণভাবে, প্রত্যক্ষ প্রতিস্থাপন জটিলতর ভাব প্রকাশ করতে পারে (বিশেষত গতিশীল সমস্যার ক্ষেত্রে), যেখানে একটি বীজগণিত ভুল করা সহজ হবে। সুতরাং ল্যাঞ্জারেজ পদ্ধতির এখানে একটি সুবিধা রয়েছে। তদতিরিক্ত, ল্যাঞ্জরঞ্জ গুণকটির একটি অর্থবহ অর্থনৈতিক ব্যাখ্যা রয়েছে। এই পদ্ধতির মধ্যে আমরা একটি নতুন ভেরিয়েবল সংজ্ঞায়িত করি, বলি এবং আমরা "ল্যাঞ্জরজান ফাংশন" গঠন করি$\lambda$

$$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-p_xx-p_yy)$$

প্রথমত, দয়া করে মনে রাখবেন হয় সমতুল্য করার , যেহেতু ডানদিকে যোগ অংশ অভিন্নরুপে শূন্য। এখন আমরা দুটি ভেরিয়েবলের প্রতি শ্রদ্ধা রেখে ল্যাগরজ্যানকে সর্বাধিক করি এবং আমরা প্রথম অর্ডার শর্তাদি পাইআপনি ( x , y $\Lambda(x,y,\lambda)$$u(x,y)$

$$\frac {\partial u}{\partial x} = \lambda p_x$$

$$\frac {\partial u}{\partial y} = \lambda p_y$$

ল্যাম্বদার সাথে , এটি দ্রুত মৌলিক সম্পর্ক সরবরাহ করে$\lambda$

$$\frac {\partial u/\partial x} {\partial u/\partial y}= \frac {p_x}{p_y}$$

এই সর্বোত্তম সম্পর্কটি বাজেটের সীমাবদ্ধতার সাথে দুটি অজানাতে একটি দ্বি-সমীকরণ সিস্টেম সরবরাহ করে এবং তাই এক্সোজনেসিয়াস প্যারামিটারের (ইউটিলিটি প্যারামিটার , দামগুলি হিসাবে ফাংশন হিসাবে সমাধান করে prices এবং প্রদত্ত সম্পদ )।α ( p x , p y ) $(x^*, y^*)$$\alpha$$(p_x,p_y)$$w$

মান নির্ধারণ করতে , প্রতিটি প্রথম-ক্রমের শর্তটি যথাক্রমে এবং এবং তারপরে যোগফলগুলি যোগ করুনx $\lambda$$x$$y$

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = \lambda (p_xx+p_yy) = \lambda w$$

ডিগ্রি একের ইউটিলিটি সমজাতীয় হিসাবে, যেমন কোব-ডগলাস ফাংশনগুলির ক্ষেত্রে এটি আমাদের রয়েছে

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = u(x,y)$$

এবং তাই আমাদের কাছে সর্বোত্তম বান্ডেলে

$$u(x^*,y^*) =\lambda^*w$$

এবং এভাবেই ল্যাঞ্জরেঞ্জ গুণক একটি অর্থনৈতিকভাবে অর্থবোধক ব্যাখ্যা অর্জন করে: এর মান সম্পদের প্রান্তিক উপযোগ । এখন, প্রেক্ষাপটে পূরণবাচক ইউটিলিটি, প্রান্তিক উপযোগ না সত্যিই অর্থপূর্ণ (এছাড়াও দেখতে আলোচনা এখানে )। তবে উপরোক্ত পদ্ধতিটি ব্যয়-ন্যূনতম সমস্যার জন্য উদাহরণস্বরূপ প্রয়োগ করা যেতে পারে, যেখানে ল্যাঞ্জরেঞ্জ গুণক উত্পাদিত পরিমাণের প্রান্তিক বৃদ্ধি দ্বারা মোট ব্যয়ের বৃদ্ধি প্রতিফলিত করে এবং তাই এটি প্রান্তিক ব্যয়।

Comments

এটি একটি দুর্দান্ত ব্যাখ্যা ছিল। প্রশ্ন: লাগারজিয়ান মাল্টিপ্লায়ারদের উইকিপিডিয়ায় পৃষ্ঠায় এটি উল্লেখ করেছে তবে, সমস্ত স্থির পয়েন্টগুলি মূল সমস্যার সমাধান দেয় না। সুতরাং, ল্যাঞ্জরেঞ্জ গুণকগুলির পদ্ধতিটি সীমাবদ্ধ সমস্যার ক্ষেত্রে অনুকূলতার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত দেয়। এর অর্থ "সর্বোচ্চকরণ" শব্দটি কি ভুল? কারণ আমি ভেবেছিলাম প্রয়োজনীয় যথেষ্ট বোঝায় না তবে কথোপকথনটি ঘটেছে।

— স্টান শুনপিকে

@ স্টানশুনপাইক আসলে, এগুলি কেবল প্রয়োজনীয়। বস্তুনিষ্ঠ ফাংশন এবং সীমাবদ্ধতার নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য থাকলে তারা পর্যাপ্ত হয়ে ওঠে। উদাহরণস্বরূপ, লিনিয়ার সীমাবদ্ধতা এবং অর্ধ-অবতল উদ্দেশ্য ফাংশন সহ এগুলিও যথেষ্ট।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লো

লেখার আরেকটি উপায় @AlecosPapadopoulos হয় পরোক্ষ ইউটিলিটি ফাংশন , সঠিক? সুতরাং, আমি যদি ভুল না হয়ে থাকি তবে এটি খামের উপপাদকের প্রয়োগ, না? $u(x^*,y^*)$ $v$

— গণিত

Answer 4

আমি আপনাকে অনুচ্ছেদে এই উত্তর অনুচ্ছেদে কাজ করার পরামর্শ দিচ্ছি, তা নিশ্চিত করে যে আপনি প্রত্যেকেই পেয়েছেন, অথবা আপনি বিভ্রান্ত হয়ে পড়বেন। এমনকি যদি আপনার উদ্দেশ্যটির জন্য এটি প্রয়োজনীয় না হয় তবে আপনি পরবর্তীগুলিকে উপেক্ষা করতেও পারেন।

মূল ধারণাটি শুনতে পারা যায় যে বিন্দুটি শর্তসাপেক্ষে চূড়ান্ত হয়, এটির চেয়ে অগত্যা ল্যাঙ্গরজিয়ামের একটি স্থির বিন্দু, যেমন এই জাতীয় বিন্দুটি হ'ল লাগরজিয়ানিয়ার সমস্ত আংশিক ডেরাইভেটিভগুলি এর মধ্যে শূন্য। সমস্যা সমাধানের জন্য আপনার সমস্ত স্থির পয়েন্টগুলি সনাক্ত করা উচিত এবং এর মধ্যে সর্বাধিক সন্ধান করুন।

তবে সাধারণভাবে এই রেসিপিটি সত্তা নির্ভরযোগ্য নয়, কারণ সর্বাধিক অস্তিত্ব থাকতে পারে। সাধারণত আপনি ওয়েয়ারস্ট্রেস উপপাদ্য দ্বারা এটির অস্তিত্ব যাচাই করতে পারেন। এর জন্য প্রয়োজন যে কথাসাহিত্যটি অবিচ্ছিন্ন এবং সেটটি কমপ্যাক্ট যা এখানে ক্ষেত্রে। সাধারণভাবে এর অর্থ হ'ল আপনাকে প্রশ্নে সেটটির কোনও সীমানা পয়েন্ট, পয়েন্ট এবং পয়েন্ট ।y = $x= 0$$y = 0$

সেক্ষেত্রে আপনার সমীকরণটি সমাধানের জন্য অপর্যাপ্ত, কারণ আপনি যে সেটটি বিবেচনা করছেন সেটাকে সাম্যতার পরিবর্তে অসমতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। আপনি বাতলান পারে, ফাংশনে একঘেয়ে যে এবং , তাই সর্বাধিক উপরের ডান সীমানা চালু আছে। এছাড়াও ইউটিলিটি 0 যদি বা হয় তবে সম্ভাব্য পয়েন্ট রয়েছে যেখানে এটি কঠোরভাবে ইতিবাচক, সুতরাং বাম বা নিম্ন সীমানায় সর্বাধিক অর্জন করা যায় না। তাহলে এই পদ্ধতির সম্পূর্ণ ন্যায়সঙ্গত।y x = 0 y = $x$$y$$x = 0$$y=0$

ভবিষ্যতে আপনার সচেতন হওয়া উচিত যে যদি এই ধরণের সমস্যাটি সাধারণত কুহন-টাকার উপপাদ্য প্রয়োগ করে সমাধান করা উচিত এবং আমি আপনাকে এই উপাদানটি উপলব্ধি করার পরে তার সাথে পরিচিত হওয়ার জন্য পুনঃসংশোধন করি।

Answer 5

অন্যরা যেমন উল্লেখ করেছে, ল্যাঞ্জরেজ পদ্ধতির সারমর্ম হ'ল একটি সীমাবদ্ধ-চূড়ান্ত সমস্যাটিকে এমন একটি রূপে রূপান্তর করা যাতে মুক্ত-চূড়ান্ত সমস্যার FOC প্রয়োগ করা যায়। আপনার সেটআপে, আপনি অ-সীমাবদ্ধ সমস্যা ( ) এ রূপান্তর করেছেন :$\max u(x,y)$

$$\Lambda = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-(xp_x+yp_y))$$

আপনি অনুমান সীমাবদ্ধতা পূরণ করা হবে, যে, যে , তারপর গত মেয়াদের মান স্বাধীনভাবে বিলুপ্ত করা হবে , যাতে অভিন্ন হতে হবে । কৌতুক আচরণ হয় অতিরিক্ত পছন্দ পরিবর্তনশীল হিসাবে এইভাবে পূর্ণবিস্তার । যেহেতু প্রথম অর্ডার অবস্থা হয়$xp_x+yp_y=w$$\lambda$$\Lambda$$u$$\lambda$$\Lambda(x,y,\lambda)$$\lambda$

$$\frac{\partial Z}{\partial \lambda} = w-(xp_x+yp_y) = 0$$ আমরা সীমাবদ্ধতার সন্তুষ্টি এবং অন্তর্ধানের বিষয়ে নিশ্চিত হতে পারি ।$\lambda$

হিসাবে ব্যাখ্যা এর (Lagrange, গুণক), প্রশস্ত অর্থনৈতিক পরিপ্রেক্ষিতে এটা ছায়া মূল্য এর তম বাধ্যতা। আপনার সেটআপে, যেখানে কেবলমাত্র বাজেটের সীমাবদ্ধতা রয়েছে, সেখানে ছায়ার মূল্য হ'ল বাজেটের সীমাবদ্ধতার সুযোগ ব্যয়, অর্থাত্, বাজেটের অর্থের উপার্জন (আয়) এর প্রান্তিক উপযোগ।$\lambda_i$$i$

এটি দেখতে হলে আরেকটি উপায় হল যে ব্যবস্থা সংবেদনশীলতা (বাজেট) বাধ্যতা পরিবর্তনের। বাস্তবে এটি প্রমাণিত হতে পারে$\lambda$$\Lambda$

$$\frac{d\Lambda^*}{dw}=\lambda^*$$

লক্ষ করুন যে, এই ব্যাখ্যার জন্য জানার জন্য আপনি সবসময় যেমন বাধ্যতা প্রকাশ আবশ্যক , না যেমন (যেমন আপনি আপনার সেটআপ লিখেছেন)। w - ( x p x + y p y ) ( x p x + y p y ) - $\lambda^*$$w-(xp_x+yp_y)$$(xp_x+yp_y)-w$