একনোমেট্রিক মডেলের হ্রাসযুক্ত ফর্ম, সনাক্তকরণ সমস্যা এবং পরীক্ষার

Question

একনোমেট্রিক্সে নীচের সমস্যাটি এবং কীভাবে হ্রাস করা ফর্মটি ব্যবহার করতে পারেন তার জন্য কিছু সহায়তার সন্ধান করছেন

কোনও ব্যক্তির স্বাস্থ্যের জন্য একটি মডেল বিবেচনা করুন:

$$health = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + (b_6)exercise + u$$

অনুমান করুন যে অনুশীলন ব্যতীত সমীকরণের সমস্ত ভেরিয়েবলগুলি আপনার সাথে সম্পর্কযুক্ত নয়।

ক) অনুশীলনের জন্য হ্রাস করা ফর্মটি লিখুন এবং সমীকরণের পরামিতিগুলি চিহ্নিত করা হয়েছে এমন অবস্থার কথা উল্লেখ করুন।

খ) অংশ গ এর সনাক্তকরণ অনুমান কিভাবে পরীক্ষা করা যেতে পারে?

---

অনুমান করা কি সঠিক:

$$exercise = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + u$$ কমে ফর্ম হিসাবে ?

এবং সহজেই পরামিতিগুলির শনাক্তকরণের শর্ত

$E(exercise|u)=0$

এবং আমি কীভাবে এটি পরীক্ষা করতে পারি? তবে আরও কি এটা ভাল?

Answer 1

এটি একক-সমীকরণ লিনিয়ার মডেলগুলির ইনস্ট্রুমেন্টাল ভেরিয়েবলগুলিতে খুব স্ট্যান্ডার্ড প্রশ্ন। আপনার প্রশ্নের আদিমতা দেওয়া, একমাত্র অন্তঃসত্ত্বা পরিবর্তনশীল ব্যায়াম । এই নির্দিষ্ট প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আপনার একটি বহির্মুখী ভেরিয়েবল, জেড দরকার যা দুটি শর্ত পূরণ করে:

1. cov (Z, U) = 0।
2. অন্তঃসত্ত্বা ভেরিয়েবল এবং এই বহির্মুখী ভেরিয়েবলের মধ্যে আপনার অবশ্যই প্রস্তাব রয়েছে তবে এটি সত্য পোস্টুলেটেড মডেলের (কাঠামোগত মডেল) অংশ ছিল না between অন্য কথায়, $$exercise=\beta_0+\beta_1 age +\beta_2 weight + \beta_3 height + \beta_4 male + \beta_5 work + \phi z + \varepsilon_{exercise}$$ সঙ্গে $\phi\ne 0$, $\mathbb{E}\,( \varepsilon_{exercise})=0$এবং সব আপনার ব্যাখ্যামূলক ভেরিয়েবল (ব্যায়াম ছাড়া) থেকে লম্ব এবং z- র জন্য।

এগিয়ে যাওয়ার আগে, একটি মন্তব্য। দ্বারা কাঠামোগত মডেল আমি বলতে চাচ্ছি, নিম্নলিখিত Wooldridge এবং Goldberger প্রচলিত রীতি অনুযায়ী, বংশগৌরবের মডেল। এটি হ'ল এমন মডেল যা স্বাস্থ্য এবং আপনার সমবায়ীদের মধ্যে কার্যকারক সম্পর্ককে বর্ণনা করে । এটি একটি মূল পার্থক্য এবং পূর্ববর্তী উত্তরগুলির সাথে একমত নয়।

এখন, সমস্যাটির দিকে ফিরে শর্ত ২ যা একই সাথে সমীকরণের সাহিত্যে হ্রাসিত ফর্ম সমীকরণকে ডাকে , যা জেড সহ সমস্ত বহির্মুখী ভেরিয়েবলের মধ্যে অন্তঃসত্ত্বা একটি রৈখিক প্রক্ষেপণ ছাড়া কিছুই নয়।

এখন, হ্রাস করা ফর্মটি আপনার পোস্টুলেটেড মডেলটিতে প্লাগ করুন এবং আপনি পাবেন

$$health=\alpha_0 + \alpha_1 age + \alpha_2 weight + \alpha_3 height + \alpha_4 male + \alpha_5 work + \delta z + \nu$$ কোথায় $\alpha_i = b_i + b_6\beta_i,\: \forall i \in \{1,\dots,5\}$, $\delta=b_6\phi$ এবং $\nu = u+b_6\varepsilon_{exercise}$। লিনিয়ার প্রজেকশন সংজ্ঞা দ্বারা,$\nu$ সমস্ত ব্যাখ্যামূলক ভেরিয়েবলের সাথে সম্পর্কযুক্ত নয় এবং সুতরাং এই শেষ সমীকরণের ওএলএস এর জন্য ধারাবাহিক অনুমান তৈরি করবে $\alpha_i$ এবং $\delta$অন্তর্নিহিত নয় $b_i$ সত্য মডেল।

সনাক্তকরণের জন্য ম্যাট্রিক্স ফর্মটিতে কিছুটা হেরফের দরকার হয় তবে মূলত এটি তথাকথিত র‌্যাঙ্ক শর্তে হ্রাস পায় । নির্ধারণ করা$\mathbf{b}=(b_0,\dots,b_6)'$ এবং $\mathbf{x}=(1, age, \dots, exercise)'$ যাতে আপনার কাঠামোগত মডেল হয় $health=\mathbf{x}'\mathbf{b}+u$। এখন সংজ্ঞা দিন$\mathbf{z}\equiv(1,age,\dots,work,z)'$। শর্ত অনুযায়ী 1 (কোভ (জেড, ইউ) = 0 যাতে ই (জেড, ইউ) = 0),

$$\mathbb{E}(\mathbf{z}u)=0$$ আপনি যদি কাঠামোগত মডেলের বট দিকগুলি দ্বারা গুণ করেন $\mathbf{z}$ এবং আপনার প্রত্যাশা নিন $$\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')\mathbf{b}=\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$$ র‌্যাঙ্ক শর্তটি বলে যে $\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')$সম্পূর্ণ কলাম র‌্যাঙ্ক। এই বিশেষ উদাহরণে এবং z এর উপর প্রদত্ত শর্তগুলি এটির সমতুল্য$rank(\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')=6$। অতএব আমাদের 6 টি অজানাতে 6 টি সমীকরণ রয়েছে। সুতরাং সিস্টেমের জন্য একটি অনন্য সমাধান বিদ্যমান$\mathbf{b}$ চিহ্নিত এবং সমান $[\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')]^{-1}\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$হিসাবে, পছন্দসই।

মন্তব্যসমূহ: কন্ডিশন 1 মুহুর্তের শর্তটি পেতে কার্যকর তবে সাথে ফর্ম মডেলটি হ্রাস করতে $\phi$র‌্যাঙ্ক শর্তের জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। উভয় শর্তই স্বাভাবিক।

এই মুহুর্তে এটি পরিষ্কার হওয়া উচিত কেন আমাদের এটি প্রয়োজন। একদিকে, সত্যিকারের মডেলের z ওএলএস অনুমানকারী ছাড়া কেবলমাত্র নয়, অবিচ্ছিন্ন অনুমানকারীও তৈরি করবে$b_6$ তবে সবার জন্য $b_i$। অন্যদিকে (এবং কিছুটা সম্পর্কিত), আমাদের প্যারামিটারগুলি স্বতন্ত্রভাবে চিহ্নিত করে তাই আমরা নিশ্চিত যে আমরা আমাদের সত্যিকারের মডেল হিসাবে বর্ণিত সত্যিকারের কার্যকারিতা সম্পর্কে অনুমান করছি।

পরীক্ষার বিষয়ে, শর্ত ২ (জেড এবং ব্যায়াম আংশিকভাবে সম্পর্কিত) সরাসরি পরীক্ষা করা যেতে পারে এবং আপনার সর্বদা আগের উত্তরের মন্তব্যের বিপরীতে সেই পদক্ষেপের প্রতিবেদন করা উচিত। এই পদক্ষেপের সাথে একটি বিশেষ সাহিত্যের রয়েছে বিশেষত দুর্বল-সাহিত্যের সাহিত্য।

দ্বিতীয় শর্তটি তবুও সরাসরি পরীক্ষা করা যায় না। কখনও কখনও আপনি অর্থনৈতিক তত্ত্বকে ন্যায়সঙ্গত বা বিকল্প অনুমানগুলি জেড ব্যবহারের পক্ষে সমর্থন করতে অনুরোধ করতে পারেন of

Answer 2

প্রশ্নটি আমার কাছে যেমনটি বলা হয়েছে তেমন তাৎপর্যপূর্ণ নয়। যদি সমস্যাটি বলে যে অনুশীলনটি অন্তঃসত্ত্বা (ত্রুটির শর্তের সাথে সম্পর্কিত), তবে আপনি সমাধানটির বিপরীতটি ধরে নিতে পারবেন না। এছাড়াও, একজন সাধারণত IV অনুমানের প্রসঙ্গে হ্রাস বনাম কাঠামোগত ফর্ম সম্পর্কে কথা বলে। যদি ব্যায়াম এন্ডোজেন চলে এলে, আপনি জন্য একটি দলিল (পরিবর্তনশীল যে ব্যায়াম অনুমান, কিন্তু অন্যথায় স্বাস্থ্য প্রভাবিত করে না) কার্যকারণ প্রভাব প্রাপ্ত করা প্রয়োজন। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনার নমুনার কিছু লোক এলোমেলোভাবে জিমের সদস্যপদ কুপন জিতে থাকে তবে এটি একটি বৈধ উপকরণ হতে পারে।

সনাক্তকরণ অনুমান তখন হবে

1. কুপন সত্যিই অনুশীলন অনুমান করে

2. কুপন অরথোগোনাল হয়$u$

স্ট্রাকচারাল ফর্ম যাকে বলা হয় তা দুটি সমীকরণ হবে, একটি আপনার আসল মডেল, অন্যটি কুপনের উপর অনুশীলনের রিগ্রেশন এবং মূল মডেল (প্রথম পর্যায়ে) থেকে অন্যান্য ব্যাখ্যামূলক পরিবর্তনশীল। হ্রাস করা ফর্মটি হ'ল যখন আপনি প্রথম পর্যায়টিকে মূল সমীকরণের বিকল্প হিসাবে রাখবেন, সুতরাং আপনি বয়স, ওজন, ..., কাজ এবং কুপনের ক্ষেত্রে স্বাস্থ্য পুনরুদ্ধার করুন (তবে অনুশীলন নয় , কারণ এটি প্রতিস্থাপন করা হয়েছে)। হ্রাস করা ফর্মটি কখনও কখনও চতুর্থ অনুমানের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যাখ্যা করার জন্য ব্যবহৃত হয়, কিন্তু এএফআইএকি এটি অনুশীলনে খুব বেশি ব্যবহৃত হয় না।