রূপান্তর ম্যাট্রিক্স: বিযুক্ত -> অবিচ্ছিন্ন সময়

আমি কোডটি Tauchen (1986) সংশ্লিষ্ট (এর পাইথন সমতুল্য আছে এই যা বিযুক্ত সময় শিরোণামে (1) প্রক্রিয়ার একটি বিযুক্ত পড়তা উত্পন্ন)।

উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি গ্রিডের আকার 3 হিসাবে সেট করেন তবে এটি আপনাকে উত্পাদনশীলতার একটি ভেক্টর দেয়

[A_1, A_2, A_3,]

এবং রূপান্তর সম্ভাবনার একটি ম্যাট্রিক্স

A_11, A_12, A_13
A_21, A_22, A_23
A_31, A_32, A_33

কোথায় সারি i, কলাম jআপনি রূপান্তরের সম্ভাবনা থেকে দেয় iকরার j, এবং এটি সন্তুষ্ট প্রতিটি সারির যোগফল প্রায় এক হয়।

আমি ভাবছি কীভাবে আমি এটি রূপান্তর ম্যাট্রিক্সের অবিচ্ছিন্ন সময়ের সমতুল্যে রূপান্তর করতে পারি; রাজ্যগুলির মধ্যে প্রবাহের হার নিয়ন্ত্রণ করে পোয়েসন সম্ভাবনার একটি সেট।

আমি এই বিষয়ে যা মনে করি তা হ'ল আমরা ব্যবহার করে পয়জন সম্ভাব্যতার সাথে রৈখিক সমীকরণ পেতে পারি

P r o b (i \to j) = lim_{Δ \to 0} \exp (- λ_{i j} Δ) \approx 1 - λ_{i j} Δ

$Prob(i \to j) = \lim_{\Delta\to0} \exp(-\lambda_{ij}\Delta) \approx 1-\lambda_{ij}\Delta$

তবে আমি দেখতে পাচ্ছি না যে এটি কীভাবে আমাকে সেই প্রাক্তন ম্যাট্রিক্সকে $\lambda$ এস- তে রূপান্তরিত করতে সহায়তা করে ... আমি কোনও পরামর্শের অপেক্ষায় আছি।

computation stochastic-processes

— FOOBAR
সূত্র

ধরুন, পয়সন ট্রানজিশন হারের একটি ম্যাট্রিক্স, যেখানে জন্য যে রাজ্যটিতে রাজ্যকে রূপান্তর , এবং রেট দেয় যা রাষ্ট্র এ অন্য সব রাজ্যের রূপান্তরের। প্রতিটি সারি 0 এর যোগফল। $B$ $n\times n$ $B_{ij}\geq 0$ $i\neq j$ $i$ $j$ $B_{ii}\leq 0$ $i$ $B$

যদি সময়ে সম্ভাব্যতা বিতরণের নির্দেশ সংজ্ঞা দ্বারা, আমরা ODE আছে আমরা জানি কি মত ODE সৌন্দর্য এই ধরনের সমাধান: , যেখানে হয় ম্যাট্রিক্স সূচকীয় এর । সুতরাং, আমরা যদি পরে মার্কভ ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স জেনারেট করতে চাই , আমাদের । $p(t)$ $t$ $B$

\dot{p} (t) = B p (t)

$\dot{p}(t) = Bp(t)$

p (t) = e^{B t} p (0)

$p(t)=e^{Bt}p(0)$

e^{B t}

$e^{Bt}$

B t

$Bt$

B

$B$

A

$A$

t = 1

$t=1$

e^{B} = A

$e^B=A$

বস্তুত, পেতে , আমরা ম্যাট্রিক্স সূচকীয় উল্টানো, গ্রহণ প্রয়োজন ম্যাট্রিক্স লগারিদম এর । সমস্যাটি হ'ল প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের অনেক ম্যাট্রিক্স লোগারিদম থাকে - এক-মাত্রিক জটিল স্পেসে লোগারিদমের অসীম বহু শাখা থাকে এবং আমরা যখন ডাইমেনশনাল স্পেসে ম্যাট্রিক্সের বিষয়ে কথা বলি তখন এটি আরও জটিল হয় । এই লগারিদমগুলির বেশিরভাগই পয়সন ট্রানজিশন ম্যাট্রিকগুলি সন্তোষজনক হবে না: সম্ভবত এগুলি সত্য হবে না, বা এন্ট্রিগুলিতে সঠিক চিহ্ন থাকবে না। তবুও এটি সম্ভব যে তাদের মধ্যে একটিরও বেশি হবে: কিছু ক্ষেত্রে মার্কোভ সাথে সম্পর্কিত একাধিক পোইসন , ঠিক তেমন কিছু ক্ষেত্রে পোইসন নেই as $B$ $A$ $n$ $B$ $A$ $B$ সংশ্লিষ্ট । এটা অগোছালো। $A$

সৌভাগ্যবসত, একটি অবস্থা যেখানে প্রাণের অপেক্ষাকৃত সহজ, এবং এটা প্রায় অবশ্যই আপনার নিজের ক্ষেত্রে রয়েছে: যখন সব eigenvalues ইতিবাচক, স্বতন্ত্র reals হয় $A$ । এই ক্ষেত্রে, সেখানে মাত্র এক লগারিদম হয় যে বাস্তব হতে হবে, এবং এটা গনা সহজ: আপনি ঠিক যেমন ম্যাট্রিক্স diagonalize এবং eigenvalues প্রকৃত লগারিদম নিয়ে পেয়ে , যেখানে । প্রকৃতপক্ষে, আপনার নিজের এটি করার দরকার নেই: আপনি মতলব (সম্ভবতঃ কমান্ডটি ব্যবহার করলে এটি আপনাকে অবশ্যই এই প্রদান করবে । $A$ $A=V\Sigma V^{-1}$ $B=V\Omega V^{-1}$ $\omega_{ii} = \log(\sigma_{ii})$ $\text{logm}(A)$ $B$

এই দেওয়া , আপনাকে যা যা করতে হবে তা হ'ল এটি একটি পয়সন ম্যাট্রিক্স যাচাই করে। প্রথম প্রয়োজন, যে সারিগুলি সমস্ত শূন্যের সমষ্টি হয়, নির্মাণের কারণে স্বয়ংক্রিয়ভাবে সন্তুষ্ট হয় * ), তবে চেক করা আপনার পক্ষে সহজ। $B$ $B$

এটি কার্যকরভাবে দেখতে, আমি একটি 3-রাষ্ট্রের মার্কভ প্রক্রিয়ার জন্য একটি বিবেচনা করব যা একটি বিচক্ষণ এআর (1) এর অনুরূপ। এখন, আমি যদি টাইপ করি তবে I পেতে নিশ্চয়, একটি বৈধ পইসন রূপান্তরটি ম্যাট্রিক্স হিসাবে আমরা সহজেই যে পরীক্ষা করতে পারবেন সারিগুলি শূন্যের সমান এবং সঠিক চিহ্ন রয়েছে - সুতরাং এটি আমাদের উত্তর। $A$

A = (\begin{matrix} 0.5 & 0.4 & 0.1 \\ 0.2 & 0.6 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 & 0.5 \end{matrix})

$A = \begin{pmatrix}0.5 & 0.4 & 0.1 \\ 0.2 & 0.6 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 & 0.5\end{pmatrix}$

B = logm (A)

$B=\text{logm}(A)$

B = (\begin{matrix} - 0.86 & 0.80 & 0.06 \\ 0.40 & - 0.80 & 0.40 \\ 0.06 & 0.80 & - 0.86 \end{matrix})

$B = \begin{pmatrix}-0.86 & 0.80 & 0.06 \\ 0.40 & -0.80 & 0.40 \\ 0.06 & 0.80 & -0.86\end{pmatrix}$

পজিটিভ ইগেনভ্যালুগুলির কেসটি বেশ গুরুত্বপূর্ণ, যেহেতু এটি সমস্ত ক্ষেত্রে ছড়িয়ে পড়ে যেখানে মার্কোভ চেইনে কোনও ধরণের দোলনমূলক আচরণ না হয় (যার জন্য নেতিবাচক বা জটিল ইগেনুয়ালুগুলির প্রয়োজন হবে) সম্ভবত আপনার বিবিধ এআর (1) সহ।

আরও সাধারণভাবে, মতলব- এ কমান্ডটি মূল ম্যাট্রিক্স দেবে , মূল স্কেলার একটি অ্যানালগ যা এবং মধ্যে সমস্ত ইগনালভালগুলিকে কাল্পনিক অংশ পেতে নেয় । সমস্যাটি হ'ল এটি আমাদের প্রয়োজনীয় লগারিদম অগত্যা নয় এবং এটি দেখে আমরা একটি পয়সন মিস করতে পারি যা জেনারেট করে । (এজন্য পজিটিভ ইগেনভ্যালু কেস, যেখানে আমাদের এটি নিয়ে চিন্তা করতে হবে না, তা খুব সুন্দর ছিল)) তবুও, এই অন্যান্য ক্ষেত্রেও এটি চেষ্টা করে দেখে বোঝা যায় না যে এটি কাজ করে কিনা। $\text{logm}$ $-\pi$ $\pi$ $B$ $A$

যাইহোক, এমন কোনও যা কিছু মার্কভ ম্যাট্রিক্স উত্পন্ন করে কিনা তা দেখার সমস্যাটি ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে। একে এম্বেডিবিলিটি সমস্যা বলা হয় : ডেভিসের দুর্দান্ত জরিপ নিবন্ধে কিছু সংক্ষিপ্ত বিবরণ এবং রেফারেন্স দেখুন । যদিও আমি সমস্যার প্রযুক্তিগত দিকগুলি সম্পর্কে বিশেষজ্ঞ নই; এই উত্তরটি আমার নিজের হ্যাকিশ অভিজ্ঞতা এবং স্বজ্ঞাততার উপর ভিত্তি করে। $B$ $A$

আমি একসকের মন্তব্যকে দ্বিতীয় স্থানে রেখে বলেছি যে, আলাদাভাবে লাগানো এআর (1) কে একটি সীমাবদ্ধ-স্থির সময় প্রক্রিয়াতে রূপান্তর করার আরও ভাল, আরও সরাসরি উপায় হতে পারে - তাউচেন পদ্ধতির মাধ্যমে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্স গ্রহণের চেয়ে এবং এটি অবিচ্ছিন্ন করে তোলে। তবে আমি ব্যক্তিগতভাবে জানি না যে এর চেয়ে ভাল উপায় কী!

** ব্যাখ্যা (যদিও আমি মরিচা হয়েছি): এর একটি অনন্য পেরোন-ফ্রোবেনিয়াস ইগন্যাল্যুয়ু আছে 1, এবং যেহেতু স্টোকাস্টিক এই ইগেনালুয়ের ডান ইগেনভেেক্টরটি ইউনিট ভেক্টর । আমরা ম্যাট্রিক্স লোগারিদম যখন নিই তখন এটি 0 এর ইগেনুয়ালু সহ এখনও ডান ইগেনভেেক্টর। $A$ $A$ $e$

— নামমাত্র অনমনীয়
সূত্র

মন্তব্য করতে পারবেন না, বা আমি আরও বিশদ জানতে চাই যদি আপনি একটি বিচ্ছিন্ন সময় সিরিজের সাথে লাগানো একটি এআর (1) প্রক্রিয়াটিকে অবিচ্ছিন্ন সময় প্রক্রিয়াতে রূপান্তর করতে চেষ্টা করেন তবে আমি এখানে পৃষ্ঠায় 4 একটি প্রাসঙ্গিক সংস্থান পেয়েছি ।

একটি এআর (2) প্রক্রিয়া থেকে একটি সিএআর (2) প্রক্রিয়াটির সহগের অনুমানের জন্য গণনা সরবরাহ করা হয়, তবে অবশ্যই আপনার রূপান্তরটি পাওয়ার জন্য আপনি দ্বিতীয় সহগের জন্য একটি 0 প্রতিস্থাপন করতে পারেন।

যদি আপনি একটি বিচ্ছিন্ন সময় মার্কোভ চেইনকে অবিচ্ছিন্ন সময়ে রূপান্তরিত করার চেষ্টা করছেন তবে এটি আরও জটিল হতে চলেছে এবং আরও সহায়তা দেওয়ার আগে আমাকে আরও কিছু পড়তে হবে। :) মাঝামাঝি সময়ে, অবিচ্ছিন্ন সময় মার্কভ চেইন সম্পর্কিত কিছু ভাল পঠন সামগ্রী আমি এখানে পেয়েছি।

— ecksc
সূত্র