কোশ-ডগলাসের মার্শালিয়ান ডিমান্ড

ইউটিলিটি ফাংশন সহ ইউটিলিটি যখন সহ সর্বাধিক করার চেষ্টা করছিলাম তখন আমি নিম্নলিখিত সূত্রগুলি খুঁজে পেয়েছি ( উইকিপিডিয়া: মার্শালিয়ান ডিমান্ড ): $u=x_1^ax_2^b$ $a+b = 1$

$x_1 = \frac{am}{p_1}\\ x_2 = \frac{bm}{p_2}$

আমার একটি বইতে আমি একই উদ্দেশ্যে এই সূত্রগুলিও খুঁজে পাই:

$x_1 = \frac{a}{a+b}\frac{m}{p_1} \\ x_2= \frac{b}{a+b}\frac{m}{p_2}$

সঙ্গে : পণ্যের দাম; : বাজেট $p_i$ $m$

আমি তাদের সকলকে পরীক্ষা করেছি এবং তারা একই ফলাফল প্রকাশ করেছে।
তাহলে কি কোনও মতভেদ আছে?

— user1170330
সূত্র

নেই কহা একচেটিয়াভাবে? থেকে

a

$a$

x_{1}

$x_1$

b

$b$

x_{2}

$x_2$

— জাম্জি

আপনি কিছু স্বরলিপি সোজা করতে পারেন? দ্বিতীয় উদাহরণে, a এবং b কী ইউটিলিটি ফাংশন x1 এবং x2 এর এক্সটেনশন? তাদের যোগফল 1? প্রথম সমস্যাটিতে y কি দ্বিতীয়র মতো মি?

— বিকে

@ জামজি: হ্যাঁ, তা হয়।

— ব্যবহারকারী 1170330

@ বি কে: দয়া করে আমার আপডেট হওয়া স্বরলিপিগুলি দেখুন।

— ব্যবহারকারী 1170330

উত্তর:

যেহেতু সমীকরণগুলি হুবহু একই। তৃতীয় এবং চতুর্থ সমীকরণের সহ বিতে প্রতিস্থাপন প্রথম এবং দ্বিতীয় সমীকরণ দেয়। $a + b=1$ $a+b$ $1$

— BKay
সূত্র

এই সূত্রগুলিও কি মতো কোনও ইউটিলিটি ফাংশনের সাথে কাজ করার জন্য সম্পাদনা করা যেতে পারে ? আগে একটি অতিরিক্ত নম্বর নিয়ে ?

u = 5 x_{1}^{0.5} * 2 x_{2}^{0.5}

$u=5x_1^{0.5}*2x_2^{0.5}$

x_{i}

$x_i$

— ব্যবহারকারী 1170330

আমি এটি একটি নতুন প্রশ্ন হিসাবে জিজ্ঞাসা পরামর্শ।

— বিকে

হলে কী হবে ? এই ক্ষেত্রে আমার 3 এবং 4 সূত্র ব্যবহার করা উচিত?

a + b \neq 1

$a+b \neq 1$

— ব্যবহারকারী 1170330

@ ব্যবহারকারী 1170330 যদি এটি এখনও কাজ করে

a + b \neq 1

$a+b\neq1$

— জামজি

আপনার প্রথম সমীকরণ থেকে দ্বিতীয় পর্যন্ত আপনি এভাবেই পান। আপনার ইউটিলিটি ফাংশনটি হ'ল যেহেতু আমি এটিকে সামান্য পরিবর্তন করব এবং (1-এ) এই দুটি পছন্দ অপ্টিমাইজ করার জন্য, আপনাকে ইউটিলিটি সর্বাধিক বাড়ানো দরকার , আপনার পছন্দসই ভেরিয়েবলগুলিকে আঁকুন। $u(x_1, x_2)=x_1^a x_2^b$ $a+b=1$

সাপেক্ষে Walras আইন ব্যবহার করে। মূলত, ইউটিলিটি অনুকূল করতে, সমস্ত অর্থ ব্যয় করা হবে। $p_1x_1 + p_2x_2 = w$

কোব-ডগলাস ফাংশনগুলি অপ্টিমাইজেশান সমস্যার জন্য সাধারণত কঠিন। ফাংশনের অর্ডিনাল বৈশিষ্ট্য সংরক্ষণ করে এমন একঘেয়ে রূপান্তর ব্যবহার করা যেতে পারে।

$aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2)$

এটি পরিবর্তে ব্যবহৃত হবে। একই বাজেটের সীমাবদ্ধতা প্রয়োগ করা হবে।

নীচে লাগরঞ্জ এবং প্রথম আদেশ শর্তাবলী

$L = aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2) − \lambda(w − p_1x_1 − p_2x_2)$

$\frac{δL} {δx_1}= \frac{a} {x_1} − \lambda p_1 = 0$

$\frac {δL} {δx_2}=\frac{1 − a} {x_2} − \lambda p_2 = 0$

প্রথম অর্ডার শর্তের কারসাজির ফলস্বরূপ

$\lambda = \frac{a} {x_1p_1}$

$\lambda =\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

$\frac{a} {x_1p_1}=\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

বাজেটের সীমাবদ্ধতার পরিবর্তে $p_2x_2 = w − p_1x_1$

$\frac{a}{ x_1p_1}=\frac{(1 − a)} {w − p_1x_1}$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

এবং

$p_1x_1 = w − p_2x_2$

$\frac{a} {w − p_2x_2}=\frac{(1 − a)}{ p_2x_2}$

$w =\frac{a}{(1 − α)}p_2x_2 + p_2x_2$

$w(1 − a) = p_2x_2$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

এই ফলাফলগুলি ব্যবহার করে, আমরা প্রদত্ত দাম, সম্পদের সংমিশ্রণের জন্য এবং এর সর্বোত্তম নিয়ে কাজ করতে পারি । $x_1$ $x_2$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

— Jamzy
সূত্র