এটি আপনি সমস্ত হিসাবে বাজেট সীমাবদ্ধতা আচরণ কিনা তা নির্ভর করে সমতা অথবা অসাম্য বাধ্যতা। এই দুটি ভিন্ন সমস্যা, এই ক্ষেত্রে দুটি বিভিন্ন সমাধান সঙ্গে।
সমস্যাটির একটি সংস্করণ (স্বচ্ছতার জন্য সংশোধন করে প্রস্তাবিত ফর্মটি পুনঃলিখন করা, এবং ধ্রুবকটি ড্রপ করা)
\ শুরু {সারিবদ্ধ}
\ max ~ & amp; -4 (x-4.5) ^ 2 -2 (y-1.5) ^ 2 \\\ পাঠ {s.t। } এবং; 5x + + 7y = 40
\ শেষ {সারিবদ্ধ}
এর সাথে সমতা সীমাবদ্ধতা, সর্বোত্তম হয় $ (x, y) = (4.78,2.29) $ আপনি Lagrange গুণক এবং Wolfram আলফা পদ্ধতি ব্যবহার করে খুঁজে পেয়েছেন। এটা সত্য যে আপনি কম খাওয়া এবং সুখী অবস্থায় থাকতে পছন্দ করেন, কিন্তু যদি আমরা মনে করি যে বাজেটের সীমাবদ্ধতা সমান তবে আপনার কম খরচে ব্যবহার করার অনুমতি নেই।
সমস্যা আরেকটি সংস্করণ
\ শুরু {সারিবদ্ধ}
\ max ~ & amp; -4 (x-4.5) ^ 2 -2 (y-1.5) ^ 2 \\\ পাঠ {s.t। } এবং; 5x + + 7y \ leq40
\ শেষ {সারিবদ্ধ}
একটি সঙ্গে অসাম্য বাজেট সীমাবদ্ধতা। এখানে, আপনি উল্লেখ করেছেন যে, সর্বোত্তমটি $ (x, y) = (4.5,1.5) $, কারণ এটি সেই ভোক্তা প্রোফাইল যা বিশ্বব্যাপী ইউটিলিটি ফাংশনকে সর্বাধিক করে (এবং এটি বাজেট বৈষম্যকে মান্য করে)।
বাজেট সীমাবদ্ধতা একটি বৈষম্য সাধারণত অধিক উপযুক্ত (অনুমান করা যে আপনি সবসময় অতিরিক্ত সম্পদ "নিক্ষেপ" করতে পারেন) অনুমান করা হয়।
যখন সীমাবদ্ধ অপ্টিমাইজেশান সমস্যার সমাধান করা হয় যেখানে কিছু বাধা অসমতা হয়, তখন আমাদের Lagrange গুণকগুলির মৌলিক পদ্ধতির সাধারণীকরণ প্রয়োজন কারশে-কুহুন-টাকার (কেকেটি) শর্তাবলী যা সম্ভবত আপনার কোর্সে আচ্ছাদিত করা হয়েছে। আপনি এই সম্পর্কিত উইকিপিডিয়া নিবন্ধে আরও বিস্তারিতভাবে পড়তে পারেন, তবে মূল ধারণাটি সহজ: আমরা এখনও Lagrangian সেট আপ করতে পারি, যেখানে আমরা $ g (x, y) = 5x + 7x-40 \ leq হিসাবে সীমাবদ্ধতা লিখতে পারি $ 0 এবং তারপর উদ্দেশ্য থেকে $ \ lambda g (x, y) $ বিয়োগ করুন:
$$ \ mathcal {L} = -4 (x-4.5) ^ 2 -2 (y-1.5) ^ 2 - \ lambda (5x + 7y-40) $$
তারপরে আমরা দুটি শর্ত পেতে আংশিক ডেরিভেটিভকে 0 ($ \ partial \ mathcal {L} / \ partial x = 0 $ এবং $ \ partial \ mathcal {L} / \ partial y = 0 $) সমীকরণ করতে পারি।
\ শুরু {সারিবদ্ধ}
\ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial x} & amp; = 0 \ long leftrightarrow 8 (x-4.5) = - 5 \ lambda \ tag {1} \\
\ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial y} & amp; = 0 \ long leftrightarrow 4 (y-1.5) = - 7 \ lambda \ tag {2}
\ শেষ {সারিবদ্ধ}
প্রশ্ন, তারপর, কিভাবে $ lambda $ পিন করা হয়। আপনি সম্ভবত $ \ lambda $ খুঁজে পেতে ব্যবহার করেন যা কোনও মূল্য সমানতার সাথে বাজেট সীমাবদ্ধতাকে ধরে রাখতে পারে। এই ক্ষেত্রে, তবে, যে বোঝায় $ \ lambda & $ 0। KKT শর্তগুলির অধীনে একটি বৈষম্য সীমাবদ্ধতার জন্য এটি অনুমোদিত নয়, যার জন্য $ \ lambda \ geq 0 ডলার প্রয়োজন। ** $ \ lambda $ সম্পদের সীমিত উপযোগ হিসাবে পরিণত হয়, তাই এই সীমাবদ্ধতাটি আরও বলার অপেক্ষা রাখে না যে আরো সম্পদ ( যেটি অবসর যাপনের বৈষম্য) আমাদের আঘাত করা উচিত নয়।
KKT অবস্থার এছাড়াও একটি প্রয়োজন বলা আছে পরিপূরক slackness , যা ইঙ্গিত দেয় যে বৈষম্যটি সর্বোত্তম (যুক্তিসঙ্গতভাবে সমানতার সাথে) আবদ্ধ হওয়া উচিত, অথবা অন্যথায় $ \ lambda $ 0. অবশ্যই হওয়া উচিত। ($ \ lambda $ সীমাবদ্ধতার "খরচ" পরিমাপ করে, এটি লজিক্যাল: যদি সীমাবদ্ধতা থাকে বাধ্যতামূলক নয়, তারপরে খরচটি অবশ্যই 0 হতে হবে এবং এটি আপনার স্থানীয় অপ্টিমাইজেশান সমস্যাটিকে প্রভাবিত করবে না।) আমরা ইতিমধ্যে দেখেছি যে যদি বাজেটের সীমাবদ্ধতার সমানতা থাকে তবে আমরা $ lambda $ 0 পেতে পারি যা যা নয় অনুমোদিত, তাই পরিপূরক slackness আমাদের শুধুমাত্র অবশিষ্ট বিকল্প $ \ lambda = 0 $ বোঝায়। এটি (1) এবং (2) এর মধ্যে প্লাগিং করে আমরা $ (x, y) = (4.5,1.5) $ পেয়েছি, যা আপনি সমাধানটি ইতিমধ্যেই অন্তর্নিহিতভাবে পেয়েছেন।
সাধারণত, সম্পূর্ণ কেকেটি অবস্থার ব্যবহার করার জন্য প্রারম্ভিক মাইক্রোতে কোন প্রয়োজন নেই, কারণ আমরা ইউটিলিটি ফাংশনগুলির সাথে কাজ করে যা একক, যেখানে আপনি সর্বদা আপনার বাজেট সীমাবদ্ধতা নিষ্কাশন করতে চান। একটি অভ্যন্তরীণ আনন্দ বিন্দু সহ, সহজ অবতল চতুর্থাংশ উপযোগ, এই ক্ষেত্রে মত, একটি ব্যতিক্রম যেখানে আমাদের কেকিটি শর্তগুলির একটি খুব সহজ কেস অপ্টিমাইজেশান সঠিকভাবে করতে হবে।
** দ্রষ্টব্য: অবশ্যই, যদি আমরা Lagrangian এটিকে বাদ দেওয়ার পরিবর্তে $ \ lambda g (x) $ যোগ করি তবে লক্ষণগুলি বিপরীত। আমি অনেক বিভিন্ন সম্মেলন দেখেছি, এবং আমি $ \ lambda $ nonnegative করে তোলে যে এক সঙ্গে যাচ্ছি। উইকিপিডিয়া নিবন্ধ বিপরীত কনভেনশন ব্যবহার করে।