গতিশীল অপ্টিমাইজেশন: দ্বিতীয় অর্ডার শর্তটি ধরে না রাখলে কী হবে?

নিম্নলিখিত গতিশীল অপ্টিমাইজেশান সমস্যাটি বিবেচনা করুন

\begin{aligned} max_{u} \int_{0}^{T} F (x, u) d t \\ s.t. & \dot{x} = f (x, u) \end{aligned}

$\begin{align} &\max_u \int^T_0{F(x,u)dt}\\ \text{s.t.}~& \dot{x} = f(x,u) \end{align}$

FOCs

হ্যামিলটোনিয়ান দ্বারা দেওয়া হয়েছে

\begin{aligned} H (x, u, λ) = F (x, u) + λ f (x, u) \end{aligned}

$\begin{align} H(x,u,\lambda) = F(x,u) + \lambda f(x,u) \end{align}$ অনুকূলতার জন্য প্রয়োজনীয় কনডেশন সর্বাধিক দ্বারা দেওয়া হয় নীতি

\begin{aligned} \frac{\partial H}{\partial u} & = 0 \\ \frac{\partial H}{\partial x} & = - \dot{λ} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial u} &= 0\\[2mm] \frac{\partial H}{\partial x} &= -\dot{\lambda} \end{align}$

ধরুন $u^*=\arg\max_u H(x,u,\lambda)$ একটি , অর্থ্যাৎ $H_{uu} < 0$ ।

SOC

তীর পর্যাপ্ত উপপাদ্যটিতে বলা হয়েছে, সর্বাধিক হ্যামিলটোনীয়

\begin{aligned} H^{0} (x, λ) = max_{u} H (x, u, λ) \end{aligned}

$\begin{align} H^0(x,\lambda) = \max_u H(x,u,\lambda) \end{align}$ অবতল থাকে তবে প্রয়োজনীয়

যথেষ্ট

x

$x$ , অর্থাত্ যদি

H_{x x} < 0

$H_{xx} < 0$ ।

সমস্যা

ধরুন, এফওসিগুলি ধরে রাখে তবে এসওসি হোল্ড করতে ব্যর্থ হয়।

সমাধানের অনুকূলতা সম্পর্কে কী বলা যেতে পারে?

optimization

— পুনের
সূত্র

উত্তলতা অবসন্নতা নয় is

— মাইকেল গ্রিনেক্কার

আমি ভুল অংশটি সরিয়েছি, আমি আশা করি আপনি কিছু মনে করবেন না। উত্তরটি হ'ল: খুব বেশি নয়, অন্য কিছু চেষ্টা করুন (উদাহরণস্বরূপ অন্য পর্যাপ্ততা শর্ত বা, যদি আপনি মনে করেন এটি উত্তল দেখান যে এটি উত্তল)

— সর্বশক্তিমান বব

একটিও উত্তর নেই, এটি প্রতিটি সমস্যার বিবরণের উপর নির্ভর করবে। আসুন একটি আদর্শ উদাহরণ তাকান।

রামসী মডেলের জন্য মানদণ্ডের আন্তঃদেশীয় অপ্টিমাইজেশান সমস্যাটি বিবেচনা করুন

\begin{aligned} max_{u} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c) d t \\ s.t. \dot{k} = i - δ k \\ s.t. y = f (k) = c + i \end{aligned}

$\begin{align} &\max_u \int^{\infty}_0{e^{-\rho t}u(c)dt}\\ \\ & \text{s.t.}\;\; \dot{k} = i-\delta k\\ & \text{s.t.}\;\; y = f(k)=c+i \end{align}$

হ্যামিলটনিয়ান বর্তমান মান

\tilde{H} = u (c) + λ [f (k) - c - δ k]

$\tilde H = u(c) +\lambda [f(k)-c-\delta k]$

ওভার পূর্ণবিস্তার একা আমরা আছে $c$

\frac{\partial \tilde{H}}{\partial c} = u^{'} (c) - λ = 0 ⟹ u^{'} (c^{*}) = λ ⟹ c^{*} = (u^{'})^{- 1} (λ)

$\frac {\partial \tilde H}{\partial c} = u'(c) - \lambda =0 \implies u'(c^*) = \lambda \implies c^* = (u')^{-1}(\lambda)$

এবং ২ য়-অর্ডার শর্তটি যদি ইউটিলিটি ফাংশন অবতল হয়,

\frac{\partial^{2} H}{\partial c^{2}} = u^{″} (c^{*}) < 0

$\frac {\partial^2 H}{\partial c^2} = u''(c^*) < 0$

তদুপরি, ক্ষেত্রে প্রথম অর্ডার শর্ত থেকে, mb লাম্বদা যদি স্থানীয় অ-তৃপ্তি ধরে থাকে। ধরে নিন যে আমাদের এমন "স্বাভাবিক" পছন্দ আছে। $\lambda >0$

হ্যামিলটোনিয়ান হ'ল সর্বাধিক ব্যবহার

{\tilde{H}}^{0} = u [(u^{'})^{- 1} (λ)] + λ [f (k) - (u^{'})^{- 1} (λ) - δ k]

$\tilde H^0 = u[(u')^{-1}(\lambda)]+\lambda [f(k)-(u')^{-1}(\lambda)-\delta k]$

রাষ্ট্র পরিবর্তনশীল থেকে সম্মান সঙ্গে আংশিক ডেরাইভেটিভস, হয় $k$

\frac{\partial {\tilde{H}}^{0}}{\partial k} = λ [f^{'} (k) - δ], \frac{\partial^{2} {\tilde{H}}^{0}}{\partial k^{2}} = λ f^{″} (k)

$\frac {\partial \tilde H^0}{\partial k} = \lambda[f'(k) - \delta], \;\;\;\; \frac {\partial^2 \tilde H^0}{\partial k^2} = \lambda f''(k)$

সুতরাং এখানে, অ্যারো-কুর্জ পর্যাপ্ততার শর্তটি মূলধনের প্রান্তিক পণ্য হ্রাস, ধ্রুবক বা বৃদ্ধি পাচ্ছে কিনা (যা উত্পাদন ফাংশনের দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভের চিহ্নের উপর নির্ভর করবে) কিনা তা ফুটিয়ে তোলে। স্ট্যান্ডার্ড ক্ষেত্রে এবং আমাদের পর্যাপ্ত শর্ত রয়েছে। $f''(k) < 0$

বিচ্যুতি সবচেয়ে বিখ্যাত ক্ষেত্রে, রোমের এ মডেল যা এন্ডোজেনাস গ্রোথ সাহিত্যের সূচনা করেছিল, , এবং মূলধনের প্রান্তিক পণ্য একটি ইতিবাচক ধ্রুবক। $AK$ $f''(k) =0$

তাহলে আমরা এই ক্ষেত্রে কী বলতে পারি?

এখানে, সিয়ারস্টাড, এ।, এবং সিডসিয়েটার, কে। (1977)। অনুকূল নিয়ন্ত্রণ তত্ত্বের পর্যাপ্ত শর্তাদি। আন্তর্জাতিক অর্থনৈতিক পর্যালোচনা, 367-391। আমাদের সহায়তা করতে পারে এমন বিভিন্ন ফলাফল সরবরাহ করুন।

বিশেষ করে, কোন প্রমাণ তারা নিজেরাই যে যদি হ্যামিল্টনিয়ান হয় যৌথভাবে অবতল মধ্যে এবং , এটি একটি সর্বাধিক জন্য একটি যথেষ্ট অবস্থা। হ্যামিলটোনিয়ান হেসিয়ান হলেন $c$ $k$

(আমরা ছাড়ের শব্দটিকে উপেক্ষা করতে পারি)

{H e}_{H} = [\begin{matrix} u^{″} (c) & 0 \\ 0 & λ f^{″} (k) \end{matrix}]

${\rm He}_H = \left [ \begin{matrix} u''(c) & 0\\ 0 & \lambda f''(k)\\ \end{matrix} \right]$

with সহ স্ট্যান্ডার্ড ক্ষেত্রে এই নেতিবাচক নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স এবং যৌথভাবে কঠোরভাবে মধ্যে অবতল তাই হ্যামিল্টনিয়ান হয় এবং । $u''(c) <0, \; f''(k) <0$ $c$ $k$

যখন , ম্যাট্রিক্স নেতিবাচক-সেমাইডাইফিনেট হয় তা পরীক্ষা করে সংজ্ঞাটি ব্যবহার করে সোজা। এবং পণ্যটির একটি ভেক্টর Consider বিবেচনা করুন $f''(k) =0$ $\mathbf z = (z_1, z_2)^T \in \mathbb R^2$

z^{T} {H e}_{H} z = z_{1}^{2} u^{″} (c) \leq 0

$\mathbf z^T{\rm He}_H\mathbf z = z_1^2u''(c) \leq 0$

এই দুর্বল বৈষম্যটি ধারণ করে এবং সুতরাং হেসিয়ান যৌথভাবে এবং । $\forall \mathbf z \in \mathbb R^2$ $c$ $k$

সুতরাং অন্তঃসত্ত্বা বৃদ্ধির মডেলে, সমাধানটি অবশ্যই সর্বাধিক (সমস্যাটি অবশ্যই ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করার জন্য প্রয়োজনীয় প্যারামিটার সীমাবদ্ধতার সাপেক্ষে)। $AK$

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র

ধন্যবাদ। তবে আমি মনে করি আমার উদ্দেশ্যগুলি পরিষ্কার করা উচিত। আমি জানি যে হ্যামিলটোনিয়ান কঠোর অবতল নয়, যৌথভাবে যৌথভাবে । এখানে ড্রাইভ হ্যামিল্টনিয়ান আকৃতি যেহেতু bounded হয়। এটা তোলে ছোট একটি কঠোর উত্তল ফাংশন এবং কোন এবং বৃহৎ জন্য একটি কঠোর অবতল ফাংশন এবং কোন । আমি ভাবছিলাম যে আমরা যদি এমন ক্ষেত্রে অনুকূলতা সম্পর্কে জেনারেল স্টেটমেন্ট দিতে পারি?

x

$x$

(x, u)

$(x,u)$

x

$x$

u

$u$

x

$x$

u

$u$

x

$x$

u

$u$

— ক্লাইলেস

@ ক্লুলেস এটি একটি আলাদা (এবং আকর্ষণীয়) প্রশ্ন, তাই এটি আলাদা পোস্টে জিজ্ঞাসা করা ভাল be

— অ্যালেকোস পাপাদোপ্লোস