এর স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা

11

স্লুটস্কি ম্যাট্রিক্সের দাম ভেক্টর দ্বারা গুণিত কেন একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স দেয় তার কোনও স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা দিতে পারে?

আমি জানি এটি সত্য তবে কেন এটি সত্য তা আমি সত্যি বুঝতে পারি না। এখানে কেউ সাহায্য করতে পারেন?

microeconomics

— Microhelp
সূত্র

8

এটি মাল্টিভারিয়েট ফাংশনগুলির দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভ / হেসিয়ান ম্যাট্রিক্সের একটি সাধারণ গাণিতিক সম্পত্তি যা ডিগ্রি একের সমজাতীয়।

ব্যয় ফাংশন দামের ক্ষেত্রে এক ডিগ্রি সমজাতীয়। কেন? যদি সমস্ত দাম একই অনুপাতে পরিবর্তিত হয় (যা আমরা একজাতীয়তার গাণিতিক সম্পত্তি অনুসন্ধান করি), আপেক্ষিক দামগুলি পরিবর্তন হয় না change আপেক্ষিক দামগুলি পরিবর্তন না হলে, প্রদত্ত ইউটিলিটি অর্জনের জন্য ন্যূনতম-ব্যয় ক্ষতিপূরণ খরচ বান্ডেলের পরিমাণগত রচনাটি কোনও পরিবর্তন হয় না । তারপরে, যেহেতু সমস্ত দাম একই অনুপাতে বৃদ্ধি পেয়েছে, বাজেটের শেয়ারগুলি একই থাকে, এবং একই ইউটিলিটি অর্জনের জন্য ব্যয়গুলি একই অনুপাতে বৃদ্ধি পায়: এক ডিগ্রি এর একজাতীয়তা। $E$

দ্বৈততার দ্বারা, হিক্সিয়ান ডিমান্ড ভেক্টর ব্যয় ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট, । $H = \nabla_p E$

হিক্সিয়ান চাহিদা ভেক্টর, আমাদের দাবি ন্যূনতম-ব্যয় পরিমাণ দেয়। ব্যয় ফাংশনের এক ডিগ্রির একজাততার কারণে, হিক্সিয়ান অভ্যন্তরীণ পণ্য ভেক্টরের দাম ভেক্টরের চেয়ে বহুগুণ ব্যয় কার্যের সমান হয় demand এটিও স্বজ্ঞাত হওয়া উচিত: আমরা কেবলমাত্র ইউনিট দামের জন্য দাবি করা প্রতিটি পরিমাণকে এর জন্য প্রদান করতে হবে কেবল তার গুণক করব এবং এই পণ্যগুলির সংমিশ্রণের মাধ্যমে প্রদত্ত ইউটিলিটির জন্য সর্বনিম্ন ব্যয়ের বান্ডিল অর্জন করার জন্য আমাদের অবশ্যই ব্যয় করতে হবে Exp

সুতরাং আমাদের (পার্থক্য স্বরলিপি সরলকরণ) পাশাপাশি $E = H\cdot p$ । সুতরাং $\frac {\partial}{\partial p}E = H$

\frac{\partial}{\partial p} (H \cdot p) = H ⟹ H + \frac{\partial এইচ}{\partial পি} \cdot পি = এইচ

$\frac {\partial}{\partial p}(H\cdot p) = H \implies H + \frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = H$

এবং এটি অবশ্যই সেই ক্ষেত্রেই হবে

\frac{\partial এইচ}{\partial পি} \cdot পি = 0

$\frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = 0$

সুতরাং Hicksian চাহিদা ভেক্টর ডিগ্রী সজাতি শূন্য দাম (গাণিতিকভাবে, এই সজাতি ফাংশন, অর্থাত যে একটা ফাংশন সমসত্ত্বতা ডিগ্রী সঙ্গে সজাতি হলে জন্য ইউলার উপপাদ্য একটি ফল , তার গ্রেডিয়েন্ট সমসত্ত্বতা ডিগ্রী রয়েছে )। $k$ $k-1$

তবে হিক্সিয়ান চাহিদার 1 ম ডেরিভেটিভ (জ্যাকবিয়ান) (যা ব্যয়ের ফাংশনের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভসের হেসিয়ান-ম্যাট্রিক্স) স্লুটস্কি ম্যাট্রিক্স, । সুতরাং। $\frac {\partial^2 E}{\partial p^2}=\frac {\partial H}{\partial p} = S(p,w)$ $S(w,p) \cdot p = 0$

সুতরাং ফলাফল ব্যয় ফাংশন এক ডিগ্রী একজাতীয় থেকে উদ্ভূত। ব্যয় কার্যকারিতা এক ডিগ্রি এর সাদৃশ্য পিছনে স্বজ্ঞাত সহ একটি অন্তর্নিহিত ব্যাখ্যা আছে? ঠিক আছে, প্রাক্তন সরাসরি পরবর্তী থেকে আসে , সুতরাং একটি "পৃথক" স্বজ্ঞাত যুক্তি সঙ্গে আসা কঠিন। কেউ অনানুষ্ঠানিকভাবে বলতে পারেন যে ক্ষতিপূরণযুক্ত পরিমাণ দাবি তুলনামূলকভাবে একই থাকলে দামের পরিবর্তনের "স্বতন্ত্র" not তারপর জ্যামিতিক পদ মানে হল এই যে ক্ষতিপূরণ পরিমাণে পরিবর্তনের হারের ভেক্টর দাবি (যা কি Slutsky ম্যাট্রিক্স প্রতিটি সারি থাকে), হয় লম্ব মূল্য ভেক্টর করতে।

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস
সূত্র

কি দারুন. এটি একটি দুর্দান্ত উত্তর।

— 123

1

আপনি এটিকে ব্যাখ্যা হিসাবে প্রমাণ হিসাবে বিবেচনা করবেন বা প্রমাণ হিসাবে বিবেচনা করবেন কিনা তা আমি জানি না।

অবিচ্ছিন্ন ক্যালকুলাস থেকে আমাদের কী আরও ভাল বোঝার দরকার তা হ'ল প্রথম আদেশ হ'ল টেলর আনুমানিকতা, অর্থাত্ কিছু নিয়মিততার শর্ত পূরণকারী একটি ফাংশনটি একটি বিন্দুতে লিনিয়ার ফাংশন দ্বারা ভালভাবে অনুমান করা যায়। বলুন , তারপরে (অর্থাত্ যখন ছোট) $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ $p^\ast$ $\delta$

চ ({পি}^{*} + + δ) ≃ চ ({পি}^{*}) + + δ \times {\frac{ঘ চ}{ঘ পি} |}_{পি = {পি}^{*}}

$f(p^\ast+\delta)\simeq f(p^\ast)+\delta\times \left.\frac{df}{dp}\right|_{p=p^\ast}$

এখন, আমরা মাল্টিভারেবল ফাংশনগুলির জন্য অনুরূপ কিছু করতে পারি। যদি , তবে $h_i:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$

জ_{আমি} ({পি}^{*} + + δ) ≃ জ_{আমি} ({পি}^{*}) + + {\frac{\partial জ_{আমি} (পি)}{\partial {পি}_{1}} δ_{1} |}_{পি = {পি}^{*}} + + \dots + + {\frac{\partial জ_{আমি} (পি)}{\partial {পি}_{এন}} δ_{এন} |}_{পি = {পি}^{*}}

$h_i(\mathbf{p^\ast+\delta})\simeq h_i(\mathbf{p^\ast})+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_1}\delta_1\right|_{p=p^\ast}+\dots+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_n} \delta_n\right|_{p=p^\ast}$

$\mathbf{p^\ast}$ $\mathbf{p^\ast(1+\Delta)}$ ${p_j^\ast}$ $\Delta \times {p_j^\ast}$ $h_i$ $\delta$ $\Delta \mathbf{p^\ast}$ $S(\mathbf{p},w)\cdot \mathbf{p}=0$

অন্য একটি উপায় রাখুন, যেহেতু হিক্সিয়ান যে কোনও দামের চাহিদা তুলনামূলকভাবে দাম একই রাখে এমন দামের পরিবর্তনের জন্য প্রতিক্রিয়াশীল নয়, তবে আমরা যদি এই দামের পরিবর্তনের জন্য স্বতন্ত্র প্রভাবের সামগ্রিক দিকে নজর রাখি তবে আমাদের লক্ষ্য করা উচিত 0 পরিবর্তন।

— রামাযান
সূত্র

1

$x(\alpha p,\alpha w)=x(p,w) \forall \alpha > 0$ $D_px(p,w)p+D_wx(p,w)w=0$ $p'x(p,w)=w$ $x(p,w)'p=w$ $S(p,w)p=0$

— user157623
সূত্র