এখানে কিছুটা ভিন্ন পন্থা দেওয়া হল। আসুন দেখি কোন পর্যায়ক্রমিক ফাংশনটির ফ্রিকোয়েন্সি সাথে হুবহু রূপান্তর ঘটে ।−1
এটা তোলে ফাংশন জন্য টি ∈ [ 0 , 1 ] ।t↦e−2πit=cos(−2πt)+isin(−2πt)=cos(2πt)−isin(2πt)t∈[0,1]
লক্ষ্য করুন যে এই ফাংশনটির মতো একই আসল অংশ রয়েছে
। এই পরবর্তী কার্যটিতে কেবল একটি একক ফ্রিকোয়েন্সি উপাদান রয়েছে - ফ্রিকোয়েন্সি 1 ।t↦e2πit1
কেবলমাত্র আসল সংকেত বিবেচনা করার সময় এই নেতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সিগুলি প্রদর্শিত হওয়ার কারণ হ'ল তারা এর কার্যক্ষেত্রে ইউনিট বৃত্তের ক্রিয়াকলাপের কঠোরভাবে জটিল ইগনুয়ালগুলি বর্ণনা করার একটি সহজ উপায় দেয় give
সম্পাদনা করুন: আমরা যা করতে চেয়েছিলাম তা ফ্রিকোয়েন্সি বিশ্লেষণের জন্য সর্বশেষ মন্তব্যের উপর প্রসারিত করা হল , এফ ( [ 0 , 1 ] , আর ) এর উপর বাস্তব মূল্যবান ফাংশনগুলির স্থান গ্রহণ করা এবং সক্ষম হতে কোন ফাংশন প্রকাশ চ ∈ এফ ( [ 0 , 1 ] , আর ) কিছু প্রাকৃতিক ভিত্তি পরিপ্রেক্ষিতে এফ ( [ 0 , 1 ] , আর )[0,1]F([0,1],R)f∈F([0,1],R)F([0,1],R)। আমরা একমত যে, এটা সত্যিই না অনেক যদি আমরা শুরু আমাদের সময়ের থেকে 1 বা 1 / 2 থেকে 3 / 2 তাই আমরা সত্যিই বাসনা যে ভাল শিফট অপারেটর থেকে সম্মান সঙ্গে এই ভিত্তিতে আচরণ চ ( এক্স ) ↦ চ ( a + x ) ।011/23/2f(x)↦f(a+x)
সমস্যাটি হ'ল যথাযথ বিশেষণগুলির সাথে, সরাসরি ফাংশনের সমষ্টি নয় যা স্থানান্তরিত হওয়ার ক্ষেত্রে ভাল আচরণ করে। এটি দ্বিমাত্রিক ভেক্টর স্পেসগুলির একটি (সমাপ্ত) প্রত্যক্ষ যোগফল যা শিফ্ট অপারেটরের সাথে সম্মানজনকভাবে আচরণ করে। এটি হ'ল ম্যাপের প্রতিনিধিত্বকারী ম্যাট্রিক্স f ( x ) ↦ f ( a + x ) এর জটিল ইগেনভ্যালু রয়েছে। যদি আমরা পরিস্থিতি জটিল করি তবে এই ম্যাট্রিকগুলি তির্যক হবে (উপযুক্ত ভিত্তিতে)। এজন্যই আমরা F ( [ 0 , 1 ] অধ্যয়ন করিF([0,1],R)f(x)↦f(a+x) পরিবর্তে। জটিল সংখ্যার উপস্থাপনের একটি দণ্ড রয়েছে যদিও - আমরা নেতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সিগুলির ধারণা পাই।F([0,1],C)
এগুলি কিছুটা বিমূর্ত তবে আমার দুটি প্রিয় ফাংশন বিবেচনা করে আমি কী বলছি তা দৃ concrete ়ভাবে দেখার জন্য :
( 2 π টি ) = 1পাপ(2πটি)=1
cos(2πt)=12(e2πit+e−2πit)
sin(2πt)=12i(e2πit−e−2πit)
1 দ্বারা শিফট বিবেচনা করুন ,এস(এফ(এক্স))=এফ(এক্স+1)14।
s(cos(2πt))=-sin(2πt)s(sin(2πt))=cos(2πt)কোস(2πt)এবংপাপের(2π)
আসল ভেক্টর স্পেস স্প্যানt)একটি দ্বিমাত্রিক ভেক্টর ফাংশন যাএসদ্বারা সংরক্ষণ করা হয়s(f(x))=f(x+14)
s(cos(2πt))=−sin(2πt)
s(sin(2πt))=cos(2πt)
cos(2πt)sin(2πt)s। আমরা দেখতে পারি যে
তাই
গুলি eigenvalues করেছে
± আমিs2=−1s±i
ফাংশন এই দ্বিমাত্রিক স্পেসের জন্য eigenspaces মধ্যে পচে যাবে না যদি না আমরা এটা complexify। এই ক্ষেত্রে ইগেনভেেক্টরগুলি ই 2 π i টি এবং ই - 2 π i টি হবে ।se2πite−2πit
সংক্ষিপ্তবৃত্তি করার জন্য, আমরা দুই ইতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সি সঙ্গে কিন্তু আদেশের কর্ম diagonalize করার জন্য শুরু আমরা নেতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সি ফাংশন যোগ করার জন্য ছিল ই - 2 π আমি টন ।se−2πit
