ফুরিয়ার সিরিজের কাজ কী?

Question

ফুরিয়ার সিরিজ কী? এটি কি জন্য ব্যবহার করা হয়?

Answer 1

ফুরিয়ার সিরিজ:

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t) + b_i cos(i \omega_0 t) ]$

শব্দটি একটি ধ্রুবক, এটি ডিসি স্তর। এটি দুটি দ্বারা ভাগ না করেও লেখা যেতে পারে তবে এটি কনভেনশন। অসীম যোগফলের শর্তাবলী একই ফ্রিকোয়েন্সি সহ একটি ভারযুক্ত সাইন এবং ভারযুক্ত কোস্টিনের যোগফল। আপনি যদি জটিল আরগান্দ বিমানের পর্যায়ক্রমে এটি আঁকেন তবে আপনি দেখতে পাবেন যে ফলাফলটি আবার একটি সাইন, তবে ভিন্ন প্রশস্ততা সহ এবং পর্যায় স্থানান্তরিত হয়েছে। সুতরাং সমীকরণ হিসাবে হিসাবে লেখা যেতে পারে $\dfrac{a_0}{2}$

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t + \phi_i) ]$

সুতরাং আমাদের সাইনসের যোগফল রয়েছে, একটি মৌলিক ফ্রিকোয়েন্সি এর সমস্ত একাধিক ফ্রিকোয়েন্সি , যার প্রত্যেকটির নিজস্ব প্রশস্ততা এবং পর্যায় রয়েছে। $\omega_0$

ফুরিয়ার প্রমাণিত হয়েছে যে আপনি প্রতিটি পুনরাবৃত্তি ফাংশনটি এভাবে বর্ণনা করতে পারেন। কখনও কখনও সিরিজ অসীম হয়, কখনও কখনও এটি একটি সীমাবদ্ধ পরিসংখ্যান আছে। কখনও কখনও পদগুলি অনুপস্থিত, যার অর্থ তাদের প্রশস্ততা শূন্য।

বৌদ্ধ তরঙ্গ থেকে সর্বাধিক পরিচিত ফুরিয়ার সিরিজ:

$V_t = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left[\dfrac{sin((2i - 1) \omega_0 t)}{2i - 1} \right]$

বা, প্রসারিত:

$V_t = sin(\omega_0 t) + \dfrac{1}{3} sin(3 \omega_0 t) + \dfrac{1}{5} sin(5 \omega_0 t) + \dfrac{1}{7} sin(7 \omega_0 t) + ...$

অনুপস্থিত পদগুলির সাথে এটি এমন একটি সিরিজ: বর্গাকার তরঙ্গের কোনও সুরও নেই। নিম্নলিখিত ডোমেনটি সময় ডোমেনে দেখতে কেমন লাগে তা দেখায়:

শীর্ষ অঙ্কনটি প্রথম দুটি পদগুলির যোগফল দেখায়, তারপরে তৃতীয় এবং নীচে একটি চতুর্থ পদ যুক্ত হয়। প্রতিটি যুক্ত শব্দটি তরঙ্গরূপটিকে একটি বর্গাকার তরঙ্গের কাছাকাছি এনে দেবে, এবং নিখুঁত বর্গ তরঙ্গ পেতে আপনার অনন্তের সিরিজের সীমা দরকার।

কখনও কখনও এটিতে মৌলিক সাইনটি দেখা মুশকিল। উদাহরণস্বরূপ একটি 3Hz সাইন এবং 4Hz সাইন যোগ করুন। ফলস্বরূপ তরঙ্গরূপ প্রতি সেকেন্ডে একবারে পুনরাবৃত্তি করবে, এটি 1Hz। 1Hz মৌলিক, এর প্রশস্ততা শূন্য হলেও। সিরিজ হিসাবে লেখা যেতে পারে

$V_t = 0 \cdot sin(\omega_0 t) + 0 \cdot sin(2 \omega_0 t) + sin(3 \omega_0 t) + sin(4 \omega_0 t)$

নিম্নলিখিত সমস্ত পদগুলিরও শূন্য প্রশস্ততা রয়েছে।

Comments

অনেক আছে $t$এই উত্তরে সমীকরণগুলি অনুপস্থিত।

— দিলীপ সরোতে

@ দিলিপ - ওফস, ডান। সংশোধন করা হয়েছে।

— স্টিভেনভ

Answer 2

প্রতিটি অনুধাবনযোগ্য অ্যানালগ সংকেত, ভোল্টেজ বনাম টাইম গ্রাফের উপর আপনি বৈধভাবে যা ভাবতে বা আঁকতে পারবেন তা গাণিতিক ভাষায় প্রকাশিত হতে পারে বিভিন্ন ফ্রিকোয়েন্সিগুলির সীমাহীন সংখ্যক সাইন ওয়েভের যোগফল হিসাবে - এই ফর্মের কিছু:

any_signal(t) = A*sin(f1*t) + B*sin(f2*t) + C*sin(f3*t) ....

ভিন্ন সংকেত মান পরিবর্তন করে নির্মাণ করা হয় A, B, Cইত্যাদি এবং f1, f2এবং অন্যদের।

যখন কেউ ফুরিয়ার সিরিজকে বোঝায় তারা উপরের মত সংযোজন ক্রিয়াকলাপ হিসাবে তরঙ্গরূপটি প্রকাশ করার কথা উল্লেখ করেন।

বাস্তবিকভাবে প্রতিটি অ্যানালগ সিগন্যালে প্রতিটি ফ্রিকোয়েন্সিতে কিছু বিষয়বস্তু থাকে - প্রশস্ততা .1e-67 হলেও এটি এখনও আছে। আদর্শভাবে এটি এতটা নয় - আমি যদি খাঁটি বর্গাকার তরঙ্গটি তৈরি করি তবে আমি জানি এটির জন্য কেবল এটির ফ্রিকোয়েন্সিগুলি থাকে যা তার সময়ের একক একাধিক। সুতরাং 1Hz বর্গ তরঙ্গটি 1Hz সাইন ওয়েভ প্লাস একটি 3Hz সাইন ওয়েভ এবং এর ফলে লাইনটির নিচে যোগফল। অন্যান্য সুপরিচিত তরঙ্গাকৃতির যেমন ত্রিভুজ তরঙ্গ এবং র‌্যাম্পগুলির জন্য লোকেরা কোন ফ্রিকোয়েন্সি উপস্থিত রয়েছে এবং কোন বিষয়বস্তুতে তা গণনা করেছে।

Comments

একেবারে কোনও এনালগ সিগন্যাল নয়, সিগন্যালটি পর্যায়ক্রমে প্রকৃতির হতে হবে (বা আপনাকে নিজের বিশ্লেষণকে সংকেতের কোনও অংশে আবদ্ধ করতে হবে যা পর্যায়ক্রমিক)। আপনারও অ্যানালগ সংকেতগুলির মধ্যেই সীমাবদ্ধ নয় এবং আমি কল্পনা করব যে সর্বাধিক ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মগুলি নমুনাযুক্ত (পৃথক) ডেটাতে সঞ্চালিত হয়, এটি একটি ডিএফটি 'সাধারণ' ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের পরিবর্তে সঞ্চালিত হয়।

— চিহ্নিত করুন

আপনি একটি অ পর্যায়ক্রমিক সংকেতের ফুরিয়ার রূপান্তর গ্রহণ করতে পারেন - তবে যেখানে পর্যায়ক্রমিক সংকেতের ফুরিয়ার রূপান্তর কেবল বেস ফ্রিকোয়েন্সিটির বিচ্ছিন্ন বহুগুণের সাথে অন্তর্ভুক্ত হয় ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম একটি ক্ষণস্থায়ী সংকেতটির ক্রমাগত ডোমেইনে অবিচ্ছিন্ন থাকে - সমস্ত ফ্রিকোয়েন্সিগুলির কিছু বিষয়বস্তু থাকে ।

— রাগান্বিত করুন

আমি মনে করি আপনি কেবলমাত্র এর ফুওরি সিরিজ গণনা করে নির্দিষ্ট পর্যায়ক্রমিক সংকেত বিশ্লেষণ করার জন্য তিনি কেবল পয়েন্টটি দেওয়ার চেষ্টা করেছিলেন, তবে একটি সাধারণ ফুরিয়ার রূপান্তর কোনও সংকেত পরিচালনা করে। ওপি ফুরিয়ার সিরিজ সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছিল। এটি পরিষ্কার করার জন্য কেবল একটি নোট।

— কর্টুক

সত্য সত্য, একটি পার্থক্য আছে যা সেখানে তৈরি করা যেতে পারে। আমি সবসময় সিরিজের বিষয়টি ভেবে ভেবেছিলাম যে এটি সীমারেখা যুক্ত করার একটি অসীম সিরিজ ছিল।

— রাগ করুন,

একটি ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মটি প্রতি হার্জ প্রতিবিস্তার একক (বা প্রতি রেড / গুলি) এর একক আকারের ঘনত্ব ফাংশন। F(w0) = Aএর অর্থ এই নয় যে সিগন্যালের একটি শব্দ রয়েছে A*exp(j*w0*t)। পরিবর্তে সংশ্লিষ্ট সময়-ডোমেন ফাংশন গণনা করতে আপনাকে বর্ণালি ব্যান্ডের সাথে একীকরণ করতে হবে। ব্যান্ডউইথ যেহেতু 0-এ সঙ্কুচিত হয়, সময়-ডোমেন মানটি অনির্দিষ্ট হয়ে যায় - বর্ণালী ব্যান্ডের একটি ডেল্টা ফাংশন না থাকলে। সাধারণভাবে আপনার অসীম প্রশস্ত প্রশস্ততা সাইনোসয়েডের যোগফল (এটি সূচনা করা যায় না) থাকে।

— এরিক সান

Answer 3

ফুরিয়ার সিরিজ একটি 'সামঞ্জস্যপূর্ণ' সাইনোসয়েডাল ওয়েভফর্মের যোগফল (সম্ভবত অসীম) হিসাবে সাময়িক তরঙ্গরূপটি প্রকাশ করার একটি মাধ্যম।

এটি সাইনোসয়েডাল ওয়েভফরমের অসীম যোগফল হিসাবে সীমাবদ্ধ (কমপ্যাক্ট) সময়ের ব্যবধানে সংকেত প্রকাশ করতে ব্যবহৃত হয়।

মূলত, টাইম ডোমেনে সিগন্যালের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে (যা একটি সময়ের সাথে কাজ করে এমন সংকেত) এবং ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনের সমতুল্য সংকেত (অর্থাৎ সংকেতটি ফ্রিকোয়েন্সিটির ফাংশন হিসাবে প্রকাশ করা হয়), ফুরিয়ার সিরিজগুলি সিগন্যাল এবং সিস্টেমগুলির সুরেলা বিশ্লেষণ সক্ষম করে, যা রেডিও ট্রান্সমিশন তত্ত্ব, কোডিং তত্ত্ব, নিয়ন্ত্রণ তত্ত্ব, কোয়ান্টাম তত্ত্ব এবং ইঞ্জিনিয়ারিংয়ের অনেকগুলি দরকারী ক্ষেত্রের ভিত্তি।

গনিতের হাতিয়ার হিসাবে প্রথমে সংকেতগুলির ফুরিয়ার সিরিজের প্রকাশটি আরও জটিল বলে মনে হচ্ছে, জটিল অঙ্ক এবং 'অসীম অঙ্ক' জড়িত, তারা ইঞ্জিনিয়ারদের এমন সমস্যা সমাধান করতে সক্ষম করে যা ক্লোড-ফর্ম এক্সপ্রেশনগুলি ব্যবহার করে সমাধান করা যায় না।

সহজ কথায় বলতে গেলে, কখনও কখনও স্থান এবং / অথবা সময়টিতে ফ্রিকোয়েন্সি এবং পর্যায়ে তারতম্য হিসাবে প্রকাশ করা দরকারী। বিশেষত পর্যায়ক্রমিক পরিবর্তনের জন্য। তবে এমনকি যখন বৈচিত্রটি পর্যায়ক্রমিক না হয় তবে শর্ত থাকে যে স্থানটি কিছুটা ব্যবধানে এবং / অথবা সময়ের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে, এটিও ফ্রিকোয়েন্সিতে সংশ্লিষ্ট বিরতি (ব্যান্ডউইথ) এর মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকবে।

যোগাযোগ সিস্টেমগুলির জন্য চ্যানেল ব্যান্ডউইদথ বুঝতে, চিত্র সংক্ষেপণ অ্যালগরিদমগুলি বিকাশ এবং বৈদ্যুতিক বিদ্যুৎ বিতরণ সিস্টেমের নির্ভরযোগ্যতা উন্নত করতে ফুরিয়ার সিরিজের প্রয়োগ কার্যকর ভূমিকা রেখেছে।

Comments

আমি আপনাকে ধন্যবাদ জানাই যদি আপনি আপনার শেষ অনুচ্ছেদটি অনুধাবন করার জন্য কিছু পাঠযোগ্য রেফারেন্সের পরামর্শ দেন "যোগাযোগ ব্যবস্থার জন্য চ্যানেল ব্যান্ডউইদথকে বোঝার ক্ষেত্রে" ফুরিয়ার সিরিজের অ্যাপ্লিকেশন সহায়ক ভূমিকা পালন করে ... "যার প্রধান খাঁটি গণিত।

— আলী বাঘেরি

Answer 4

উপরোক্ত মন্তব্যে কিছু কার্যকারিতা যুক্ত করতে, ফুরিয়ার টাইম-ডোমেন সিরিজটি এফএফটি (ফাস্ট ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম) এবং ডিএফটি (ডিসক্রেট ফিউরিয়ার ট্রান্সফর্ম) এর মতো অ্যালগোরিদমের মাধ্যমে ফ্রিকোয়েন্সি-ডোমেন উপাদানগুলিতে বিভক্ত করা যেতে পারে। অ্যালগরিদম প্রয়োগ করতে সক্ষম হওয়ার একটি গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহারিক ফলাফল হ'ল আর অ্যান্ড ডি এবং ল্যাব-পরীক্ষায় আমরা প্রায়শই কোনও শব্দ বা তল (যেমন এসএনআর বা স্পিউরিয়াস ফ্রি ডায়নামিক রেঞ্জ) এর বিরুদ্ধে সংকেতগুলির বর্ণালী বিশুদ্ধতা পরিমাপ করতে চাই যে খাঁটি বা প্রায়শই, Undistorted, আমাদের সংকেত সামগ্রী। আমাদের যদি কোনও সময় ডোমেন আউটপুট থাকে (যেমন একটি ডিএ রূপান্তরকারী প্রক্রিয়া করবে), আমরা কেবলমাত্র সময় ডোমেন প্রতিক্রিয়া দেখে এই মানগুলি নির্ধারণ করতে পারি না, প্রায়শই সিমুলেশন সাইডে, আমরা রূপান্তর করার জন্য একটি ডিএফটি মডিউল ব্যবহার করব বর্ণালী (ফ্রিকোয়েন্সি) ডোমেনে সময় ডোমেন সংকেত। পরীক্ষাগারে, একটি অসিলস্কোপে, আমাদের এমন কিছু সরঞ্জাম থাকা দরকার যা বর্ণালী বৈশিষ্ট্যগুলি দেখতে পারে (সাধারণত আমরা বর্ণালী বিশ্লেষক ব্যবহার করি)। এই সরঞ্জামগুলির হৃদয় ফুরিয়ার বিশ্লেষণ এবং বর্ণালী পচন পদ্ধতিগুলির উপর নির্ভর করে। সুতরাং সেখানে ফুরিয়ার বিশ্লেষণ EE তে কেন গুরুত্বপূর্ণ তা সম্পর্কে আপনার কাছে একটি ব্যবহারিক কারণ রয়েছে।